TRANSCENDENTNÍ ČÍSLA: CO JSOU TO, VZORCE, PŘÍKLADY, CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Tyto čísla transcendentální, jsou ty, které nemohou být získán jako v důsledku polynomiální rovnice. Opakem transcendentního čísla je algebraické číslo, což jsou řešení polynomiální rovnice typu:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Kde koeficienty a _n, a _-1,….. a ₂, a ₁, a ₀ jsou racionální čísla, nazývaná koeficienty polynomu. Je-li číslo x řešením předchozí rovnice, pak toto číslo není transcendentní.

Obrázek 1. Dvě čísla, která jsou ve vědě velmi důležitá, jsou transcendentní čísla. Zdroj: publicdomainpictures.net.

Budeme analyzovat několik čísel a uvidíme, jestli jsou transcendentní nebo ne:

a) 3 není transcendentní, protože je řešením x - 3 = 0.

b) -2 nemůže být transcendentní, protože se jedná o řešení x + 2 = 0.

c) ⅓ je řešení 3x - 1 = 0

d) Řešení rovnice x ² - 2x + 1 = 0 je √2 -1, takže toto číslo podle definice není transcendentní.

e) Ani není √2, protože je výsledkem rovnice x ² - 2 = 0. Výsledkem druhé mocniny √2 je výsledek 2, který se odečte od 2 rovná nule. Takže √2 je iracionální číslo, ale není transcendentní.

Co jsou transcendentní čísla?

Problém je v tom, že neexistuje obecné pravidlo, jak je získat (řekneme to o něco později), ale některé z nejznámějších jsou číslo pi a Neperovo číslo, které jsou označeny: π a e.

Číslo π

Číslo π se přirozeně objevuje pozorováním toho, že matematický kvocient mezi obvodem P kruhu a jeho průměrem D, bez ohledu na to, zda se jedná o malý nebo velký kruh, vždy dává stejné číslo, nazvané pi:

π = P / D ≈ 3,14159 ……

To znamená, že pokud je průměr obvodu považován za jednotku měření, pro všechny z nich, velké nebo malé, bude obvod vždy P = 3,14… = π, jak je vidět na animaci na obrázku 2.

Obrázek 2. Délka obvodu kruhu je pí krát délka průměru, s pí přibližně 3,1416.

Aby bylo možné určit více desetinných míst, je nutné měřit P a D s větší přesností a poté vypočítat podíl, který byl proveden matematicky. Závěr je takový, že desetinná místa kvocientu nemají konec a nikdy se neopakují, takže číslo π kromě toho, že je transcendentní, je také iracionální.

Iracionální číslo je číslo, které nelze vyjádřit jako dělení dvou celých čísel.

Je známo, že každé transcendentní číslo je iracionální, ale není pravda, že všechna iracionální čísla jsou transcendentní. Například √2 je iracionální, ale není transcendentní.

Obrázek 3. Transcendentní čísla jsou iracionální, ale konverzace není pravdivá.

Číslo e

Transcendentní číslo e je základem přirozených logaritmů a jeho desetinná aproximace je:

a ≈ 2,718281828459045235360….

Pokud jste chtěli psát číslo e přesně, bylo by nutné psát nekonečná desetinná místa, protože každé transcendentní číslo je iracionální, jak bylo řečeno dříve.

Prvních deset číslic e je snadno zapamatovatelných:

2,7 1828 1828 a přestože se zdá, že se opakuje, nedosahuje se to v desetinných řádech větších než devět.

Formálnější definice e je následující:

To znamená, že přesná hodnota e se získá provedením operace uvedené v tomto vzorci, když přirozené číslo n má sklon k nekonečnu.

To vysvětluje, proč můžeme získat pouze přibližné hodnoty e, protože bez ohledu na to, jak velké je číslo n, lze vždy najít větší n.

Pojďme se podívat na některé aproximace sami:

-Když n = 100, pak (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2,70481, což se sotva shoduje s prvním desetinným číslem se „skutečnou“ hodnotou e.

-Pokud vyberete n = 10 000, máte (1 + 1/10 000) ^{10 000} = 2 71815, což se kryje s „přesnou“ hodnotou e na prvních třech desetinných místech.

Tento proces by musel být sledován nekonečně, aby se získala „skutečná“ hodnota e. Nemyslím si, že na to máme čas, ale zkusme ještě jednu:

Použijme n = 100 000:

(1 + 1/100 000) ^{100 000} = 2,7182682372

To má pouze čtyři desetinná místa, která odpovídají hodnotě považované za přesnou.

Důležité je pochopit, že čím vyšší je hodnota n zvolená pro výpočet e _n, tím blíže bude skutečné hodnotě. Ale tato skutečná hodnota bude mít pouze tehdy, když je n nekonečné.

Obrázek 4. Graficky je ukázáno, jak čím vyšší je hodnota n, tím blíže k e, ale pro dosažení přesné hodnoty n musí být nekonečná.

Další důležitá čísla

Kromě těchto slavných čísel existují i ​​další transcendentní čísla, například:

- 2 ^√2

-Číslo Champernowne v základně 10:

C_10 = 0,123456789101112131415161718192021….

-Číslo Champernowne v základně 2:

C_2 = 0,1101110010110111….

- Gama číslo γ nebo Euler-Mascheroniho konstanta:

y ^ 0,577 215 664 901 532 860 606

Což se získá následujícím výpočtem:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

Když je n velmi velké. Abychom dostali přesnou hodnotu gama čísla, bylo by nutné provést výpočet s n nekonečnem. Něco podobného tomu, co jsme udělali výše.

A existuje mnohem více transcendentních čísel. Velký matematik Georg Cantor, narozený v Rusku a žijící mezi lety 1845 a 1918, ukázal, že množina transcendentních čísel je mnohem větší než sada algebraických čísel.

Vzorce, kde se objeví transcendentní číslo π

Obvod obvodu

P = π D = 2 π R, kde P je obvod, D je průměr a R poloměr obvodu. Je třeba si uvědomit, že:

- Průměr obvodu je nejdelší segment, který spojuje dva stejné body a který vždy prochází jeho středem,

- Poloměr je polovina průměru a je segmentem, který jde od středu k okraji.

Plocha kruhu

A = π R ² = ¼ π D ²

Povrch koule

S = 4 π R2 .

Ano, i když se to nemusí zdát, povrch koule je stejný jako povrch čtyř kruhů se stejným poloměrem jako koule.

Objem koule

V = 4/3 π R ³

Cvičení

- Cvičení 1

Pizzerie „EXÓTICA“ prodává pizzy o třech průměrech: malé 30 cm, střední 37 cm a velké 45 cm. Chlapec je velmi hladový a uvědomil si, že dvě malé pizzy stojí stejně jako jedna velká. Co bude pro něj lepší, když si koupí dvě malé pizzy nebo jednu velkou?

Obrázek 5.- Plocha pizzy je úměrná čtverci poloměru, pi je konstanta proporcionality. Zdroj: Pixabay.

Řešení

Čím větší oblast, tím větší množství pizzy, z tohoto důvodu bude vypočtena plocha velké pizzy a porovnána s oblastí dvou malých pizz:

Plocha velké pizzy = ¼ π D ² = ¼.13,1416⋅45 ² = 1590,44 cm ²

Plocha malé pizzy = ¼ π d ² = ¼.13,1416⋅30 ² = 706,86 cm ²

Proto budou mít dvě malé pizzy plochu

2 x 706,86 = 1413,72 cm ².

To je jasné: budete mít větší množství pizzy na nákup jedné velké, než dvou malých.

- Cvičení 2

Pizzerie „EXÓTICA“ prodává také hemisférickou pizzu s poloměrem 30 cm za stejnou cenu jako pravoúhlá pizza o rozměrech 30 x 40 cm na každé straně. Který z nich byste si vybrali?

Obrázek 6.- Povrch hemisféry je dvakrát kruhový povrch základny. Zdroj: F. Zapata.

Řešení

Jak je uvedeno v předchozí části, povrch koule je čtyřikrát větší než plocha kruhu o stejném průměru, takže polokoule o průměru 30 cm bude mít:

30 cm polokoule na pizzu: 1413,72 cm ² (dvakrát kruhový kruh stejného průměru)

Obdélníkový pizza: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm ².

Půlkulatá pizza má větší plochu.

Reference

1. Fernández J. Číslo e. Původ a zvědavost. Obnoveno z: soymatematicas.com
2. Užijte si matematiku. Eulerovo číslo. Obnoveno z: enjoylasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Matematika 1.. Diverzifikován. Vydání CO-BO.
4. García, M. Číslo e v elementárním počtu. Obnoveno z: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Wikipedia. Číslo PI. Obnoveno z: wikipedia.com
6. Wikipedia. Transcendentní čísla. Obnoveno z: wikipedia.com