JEDNOROZMĚRNÉ VLNY: MATEMATICKÝ VÝRAZ A PŘÍKLADY - FYZICKÝ - 2025

Jedno- rozměrové vlny jsou ty, které se šíří pouze v jednom směru, bez ohledu na to, zda dojde k vibracím ve stejném směru šíření, nebo ne. Dobrým příkladem je vlna, která prochází napjatým řetězcem jako je kytara.

V příčné rovinné vlně částice vibrují ve svislém směru (stoupají a klesají, viz červená šipka na obrázku 1), ale je to jednorozměrné, protože narušení se pohybuje pouze jedním směrem a sleduje žlutou šipku.

Obrázek 1: Obrázek představuje jednorozměrnou vlnu. Všimněte si, že hřebeny a údolí tvoří linie rovnoběžné k sobě navzájem a kolmé ke směru šíření. Zdroj: vlastní výroba.

Jednorozměrné vlny se objevují poměrně často v každodenním životě. V následující části jsou popsány jejich příklady a také vlny, které nejsou jednorozměrné, aby se jasně stanovily rozdíly.

Příklady jednorozměrných vln a jednorozměrných vln

Jednorozměrné vlny

Zde je několik příkladů jednorozměrných vln, které lze snadno pozorovat:

- Zvukový pulz, který prochází přímou tyčí, protože se jedná o poruchu, která se šíří po celé délce lišty.

- Vlna, která prochází vodním kanálem, i když posun vodní hladiny není rovnoběžný s kanálem.

- Vlny, které se šíří na povrchu nebo trojrozměrným prostorem, mohou být také jednorozměrné, pokud jsou jejich vlnové čelní roviny vzájemně rovnoběžné a pohybují se pouze jedním směrem.

Non-jednorozměrné vlny

Příklad non-jednorozměrné vlny je nalezený ve vlnách, které se tvoří na hladině vodní hladiny, když kámen je upuštěn. Je to dvourozměrná vlna s válcovitou vlnou.

Obrázek 2. Obrázek představuje příklad toho, co NENÍ jednorozměrná vlna NENÍ. Všimněte si, že hřebeny a údolí tvoří kruhy a směr šíření je radiální směrem ven, jedná se tedy o kruhovou dvourozměrnou vlnu. Zdroj: Pixabay.

Dalším příkladem jednorozměrné vlny je zvuková vlna, kterou žabka generuje explozí v určité výšce. Toto je trojrozměrná vlna s frontami sférických vln.

Matematické vyjádření jednorozměrné vlny

Nejobecnějším způsobem vyjádření jednorozměrné vlny, která se šíří bez útlumu v kladném směru osy x rychlostí v, je matematicky:

V tomto výrazu y představuje narušení v poloze x v čase t. Tvar vlny je dán funkcí f. Například vlnová funkce znázorněná na obrázku 1 je: y (x, t) = cos (x - vt) a obraz vlny odpovídá okamžitému t = 0.

Vlna jako je tato, popsaná kosinusovou nebo sinusovou funkcí, se nazývá harmonická vlna. Ačkoli to není jediný tvar vlny, který existuje, je nanejvýš důležitý, protože jakoukoli jinou vlnu lze reprezentovat jako superpozici nebo součet harmonických vln. Je to známá Fourierova věta, která se tak široce používá k popisu signálů všeho druhu.

Když se vlna pohybuje v záporném směru osy x, jednoduše změňte argument v na -v a ponechte:

Obrázek 3 ukazuje animaci vlny pohybující se vlevo: je to forma zvaná Lorentzianova funkce a její matematický výraz je:

V tomto příkladu je rychlost šíření v = 1, jedna jednotka prostoru pro každou jednotku času -.

Obrázek 3. Příklad Lorentzianovy vlny, která se pohybuje doleva rychlostí v = 1. Zdroj: Připravil F. Zapata s Geogebra.

Jednorozměrná vlnová rovnice

Vlnová rovnice je parciální derivační rovnice, jejíž řešení je samozřejmě vlna. Stanovuje matematický vztah mezi prostorovou částí a časovou částí a má tvar:

Příklad práce

Toto je obecný výraz y (x, t) pro harmonickou vlnu:

a) Popište fyzikální význam parametrů A, k, ω a θo.

b) Jaký význam mají příznaky ± v kosinovském argumentu?

c) Ověřte, že daný výraz je skutečně řešením vlnové rovnice předchozí sekce a najděte rychlost v šíření.

Řešení)

Charakteristiky vlny jsou uvedeny v následujících parametrech:

Druhá derivace podle t: ∂ ² a / ∂t ² = -ω ². A ⋅ cos (k ⋅ x ± ω ⋅ t + θo)

Tyto výsledky jsou nahrazeny vlnovou rovnicí:

Obě A a kosinus jsou zjednodušeny, protože se objevují na obou stranách rovnosti a argument kosinus je stejný, proto se výraz snižuje na:

Což umožňuje získat rovnici pro v, pokud jde o ω a k:

Reference

1. E-vzdělávací. Rovnice jednorozměrných harmonických vln. Obnoveno z: e-ducativa.catedu.es
2. Koutek fyziky. Wave třídy. Obnoveno z: fisicaparatontos.blogspot.com.
3. Figueroa, D. 2006. Vlny a kvantová fyzika. Série: Fyzika pro vědu a techniku. Editoval Douglas Figueroa. Univerzita Simona Bolivara. Caracas Venezuela.
4. Fyzikální laboratoř. Obnoveno z: fisicalab.com.
5. Peirce, A. Přednáška 21: Jednorozměrná vlnová rovnice: D'Alembertovo řešení. Obnoveno z: ubc.ca.
6. Vlnová rovnice. Obnoveno z: en.wikipedia.com