ORTHOEDRON: VZORCE, PLOCHA, OBJEM, ÚHLOPŘÍČKA, PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Orthohedron je objemový nebo trojrozměrný geometrický číslo, které se vyznačuje tím, že má šest obdélníkové plochy, tak, že protilehlé plochy jsou v rovnoběžných rovinách a jsou stejné nebo kongruentní obdélníky. Na druhé straně jsou plochy přiléhající k dané ploše v rovinách kolmých k původní ploše.

Orthohedron lze také považovat za ortogonální hranol s pravoúhlou základnou, ve kterém jsou úhlové úhelníky tvořené rovinami dvou čel sousedících se společnou hranou měří 90 °. Úhel mezi dvěma plochami se měří na průsečíku ploch s kolmou rovinou, která je pro ně společná.

Obrázek 1. Orthoedron. Zdroj: F. Zapata s Geogebra.

Rovněž ortohedron je pravoúhlý rovnoběžník, protože takto je rovnoběžník definován jako objemová postava šesti ploch, které jsou rovnoběžné po dvou.

V jakémkoli rovnoběžnostěnu jsou plochy rovnoběžníky, ale v pravoúhlém rovnoběžníku musí být plochy pravoúhlé.

Části ortoedronu

Části polyhedronu, jako orthohedron, jsou:

-Aristas

-Vertices

-Faces

Úhel mezi dvěma hranami jedné plochy orthoedronu se shoduje s úhelem středového úhlu vytvořeným jeho dalšími dvěma stranami sousedícími s každou z hran, vytvářejícím pravý úhel. Následující obrázek objasňuje každý koncept:

Obrázek 2. Části ortoedronu. Zdroj: F. Zapata s Geogebra.

- Celkem ortoedron má 6 obličejů, 12 okrajů a 8 vrcholů.

- Úhel mezi dvěma hranami je pravý úhel.

- Úhel mezi dvěma tváři je také pravý.

- Na každé tváři jsou čtyři vrcholy a na každém vrcholu jsou tři vzájemně kolmé tváře.

Orthoedronové vzorce

Plocha

Povrch nebo plocha ortoedronu je součtem ploch jeho tváří.

Pokud mají tři hrany, které se setkávají ve vrcholu, opatření a, b a c, jak je znázorněno na obrázku 3, pak přední plocha má oblast c⋅b a spodní plocha také oblast c⋅b.

Poté mají obě boční plochy plochu a⋅b. A konečně, podlahové a stropní plochy mají plochu tienenc každý.

Obrázek 3. Orthoedron o rozměrech a, b, c. Vnitřní úhlopříčka D a vnější úhlopříčka d.

Přidáním oblasti všech ploch získáte:

Bereme společný faktor a objednáme si termíny:

Hlasitost

Pokud je ortoedron považován za hranol, pak se jeho objem počítá takto:

V tomto případě je dno o rozměrech c a a považováno za pravoúhlou základnu, takže plocha základny je c⋅a.

Výška je dána délkou b okrajů kolmých k plochám stran a a c.

Vynásobením plochy základny (a⋅c) výškou b se získá objem V ortohedronu:

Vnitřní úhlopříčka

V ortopedu existují dva druhy diagonálů: vnější diagonály a vnitřní diagonály.

Vnější úhlopříčky jsou na pravoúhlých plochách, zatímco vnitřní úhlopříčky jsou segmenty, které spojují dva protilehlé vrcholy, přičemž se rozumí protilehlými vrcholy, které nesdílejí žádnou hranu.

V ortopedu jsou čtyři vnitřní úhlopříčky, všechny stejné míry. Délka vnitřních úhlopříček může být získána použitím Pythagorovy věty pro pravé trojúhelníky.

Délka d vnější úhlopříčky podlahové plochy ortoedronu splňuje Pythagorův vztah:

d ² = a ² + c ²

Podobně vnitřní diagonál míry D splňuje Pythagorův vztah:

D ² = d ² + b ².

Kombinujeme dva předchozí výrazy, které máme:

D ² = a ² + c ² + b ².

Konečně, délka kterékoli z vnitřních úhlopříček orthoedronu je dána tímto vzorcem:

D = √ (a ² + b ² + c ²).

Příklady

- Příklad 1

Zedník staví nádrž ve tvaru orthoedronu, jehož vnitřní rozměry jsou: 6 mx 4 m v základně a 2 m na výšku. Ptá se:

a) Určete vnitřní povrch nádrže, pokud je zcela otevřený nahoře.

b) Vypočítejte objem vnitřního prostoru nádrže.

c) Najděte délku vnitřní úhlopříčky.

d) Jaký je objem nádrže v litrech?

Řešení

Budeme brát rozměry pravoúhlé základny a = 4 ma c = 6 ma výšku b = 2 m

Oblast ortoedronu s danými rozměry je dána následujícím vztahem:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m ⋅ 4 m)

To znamená:

A = 2⋅ (8 m ² + 12 m ² + 24 m ²) = ² ⋅ (44 m ²) = 88 m ²

Předchozí výsledek je plocha uzavřeného orthoedronu s danými rozměry, ale protože se jedná o nádrž zcela odkrytou v její horní části, aby se získal povrch vnitřních stěn nádrže, musí být odečtena plocha chybějícího víčka, což je:

c⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m ².

Nakonec se vnitřní povrch nádrže bude: S = 88 m ² - m otevřená 24 ² = 64 m ².

B. Řešení

Vnitřní objem nádrže je dán objemem ortoedronu vnitřních rozměrů nádrže:

V = a⋅b⋅c = 4 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 48 m ³.

Řešení c

Vnitřní úhlopříčka oktaedronu s rozměry vnitřku nádrže má délku D danou:

√ (a ² + b ² + c ²) = √ ((4 m) ² + (2 m) ² + (6 m) ²)

Provádíme uvedené operace:

D = √ (16 m ² + 4 m ² + 36 m ²) = √ (56 m ²) = 2√ (14), m = 7,48 m.

Řešení d

Pro výpočet objemu nádrže v litrech je nutné vědět, že objem krychlového decimetru se rovná objemu litru. Dříve byl vypočítán na objem v metrech krychlových, ale musí být převeden na krychlové decimetry a pak na litry:

V = 48 m ³ = 48 (10 dm), ³ = 4800 dm ³ = 4800 L

- Cvičení 2

Skleněné akvárium má tvar krychlový se stranou 25 cm. Určete plochu vm ², objem v litrech a délku vnitřní úhlopříčky v cm.

Obrázek 4. Skleněné akvárium ve tvaru krychle.

Řešení

Plocha se počítá pomocí stejného orthoedronového vzorce, ale s přihlédnutím k tomu, že všechny rozměry jsou totožné:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ ² = 6⋅ (25 cm), ² = 1250 cm ²

Objem krychle je dán:

V = a ³ = (25 cm), ³ = 15,625 cm ³ = 15,625 (0,1 dm) ³ = 15,625 dm ³ = 15,625 L.

Délka D vnitřní úhlopříčky je:

D = √ (3a ²) = 25√ (3) cm = 43,30 cm.

Reference

1. Arias J. GeoGebra: Prisma. Obnoveno z: youtube.com.
2. Výpočet.cc. Cvičení a řešené problémy oblastí a objemů. Obnoveno z: calclo.cc.
3. Salvador R. Pyramid + orthoedron s GEOGEBRA (IHM). Obnoveno z: youtube.com
4. Weisstein, Eric. "Orthoedron". MathWorld. Wolfram Research.
5. Wikipedia. Orthoedron Obnoveno z: es.wikipedia.com