HYPERBOLICKÝ PARABOLOID: DEFINICE, VLASTNOSTI A PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Hyperbolický paraboloid je plocha, jejíž obecná rovnice v kartézských souřadnicích (x, y, z) splňuje následující rovnice:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0.

Název „paraboloid“ vychází ze skutečnosti, že proměnná z závisí na čtvercích proměnných xay. Zatímco přídavné jméno „hyperbolic“ je způsobeno skutečností, že při pevných hodnotách z máme rovnici hyperboly. Tvar této plochy je podobný tvaru sedla koně.

Obrázek 1. Hyperbolický paraboloid z = x ² - y ². Zdroj: F. Zapata pomocí Wolfram Mathematica.

Popis hyperbolického paraboloidu

Abychom pochopili povahu hyperbolického paraboloidu, provede se následující analýza:

1.- Vezmeme konkrétní případ a = 1, b = 1, to znamená, že karteziánská rovnice paraboloidu zůstává jako z = x ² - y ².

2.- Roviny jsou považovány za rovnoběžné s rovinou ZX, tj. Y = ctte.

3.- S y = ctte zůstává z = x ² - C, které představují paraboly s větvemi nahoru a vrcholem pod rovinou XY.

Obrázek 2. Rodina křivek z = x ² - C. Zdroj: F. Zapata pomocí Geogebry.

4.- S x = ctte zůstává z = C - y ², které představují paraboly s větvemi dolů a vrcholem nad rovinou XY.

Obrázek 3. Rodina křivek z = C - y ². Zdroj: F. Zapata přes Geogebra.

5.- Při z = ctte zůstává C = x ² - y ², které představují hyperbolas v rovinách rovnoběžných s rovinou XY. Když C = 0, existují dvě přímky (+45 ° a -45 ° vzhledem k ose X), které se protínají na počátku v rovině XY.

Obrázek 4. Rodina křivek x ² - y ² = C. Zdroj: F. Zapata pomocí Geogebry.

Vlastnosti hyperbolického paraboloidu

1. - Čtyři různé body v trojrozměrném prostoru definují jeden a pouze jeden hyperbolický paraboloid.

2. Hyperbolický paraboloid je dvojnásobně ovládaný povrch. To znamená, že navzdory tomu, že je to zakřivený povrch, prochází každý bod hyperbolického paraboloidu, který zcela patří k hyperbolickému paraboloidu, dvě různé linie. Druhým povrchem, který není rovinou a je dvojnásobně ovládán, je hyperboloid revoluce.

Je to právě druhá vlastnost hyperbolického paraboloidu, která umožnila jeho široké použití v architektuře, protože povrch může být generován z přímých paprsků nebo řetězců.

Druhá vlastnost hyperbolického paraboloidu umožňuje jeho alternativní definici: je to povrch, který může být vytvořen pohybující se přímkou ​​rovnoběžnou s pevnou rovinou a řezá dvě pevné čáry, které slouží jako vodítko. Následující obrázek objasňuje tuto alternativní definici hyperbolického paraboloidu:

Obrázek 5. Hyperbolický paraboloid je dvojitě ovládaný povrch. Zdroj: F. Zapata.

Pracované příklady

- Příklad 1

Ukažte, že rovnice: z = xy odpovídá hyperbolickému paraboloidu.

Řešení

Transformace bude použita na proměnné xay odpovídající rotaci karteziánských os vzhledem k ose Z + 45 °. Staré souřadnice xay jsou transformovány do nových souřadnic x 'a y' podle následujících vztahů:

x = x '- y'

y = x '+ y'

zatímco souřadnice z zůstává stejná, tj. z = z '.

Nahrazením v rovnici z = xy máme:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Použitím pozoruhodného součinu rozdílu součtem rovnajícím se rozdílu čtverců máme:

z '= x' ² - y ' ²

což jasně odpovídá původně dané definici hyperbolického paraboloidu.

Zachycení rovin rovnoběžných s osou XY hyperbolickým paraboloidem z = xy určuje rovnostranné hyperbolasy, které mají asymptoty rovin x = 0 a y = 0.

- Příklad 2

Určete parametry aab b hyperbolického paraboloidu, který prochází body A (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) a D (2, -1, 32/9).

Řešení

Podle svých vlastností určují čtyři body v trojrozměrném prostoru jediný hyperbolický paraboloid. Obecná rovnice je:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

Nahrazujeme dané hodnoty:

Pro bod A máme 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ², rovnici, která je splněna bez ohledu na hodnoty parametrů aab.

Nahrazující bod B získáme:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

Zatímco pro bod C zůstává:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Nakonec pro bod D získáme:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Což je identické s předchozí rovnicí. Nakonec je třeba systém rovnic vyřešit:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Odečtením druhé rovnice od první dává:

27/9 = 3 / a ^2, což znamená, že a ² = 1.

Podobným způsobem se druhá rovnice odečte od čtyřnásobku první a získá se:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

Což je zjednodušeno jako:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

Zkrátka, hyperbolický paraboloid, který prochází danými body A, B, C a D, má kartézskou rovnici danou:

z = x ² - (4/9) y ²

- Příklad 3

Podle vlastností hyperbolického paraboloidu prochází každý řádek dvěma řádky, které jsou v něm úplně obsaženy. V případě z = x ^ 2 - y ^ 2 najděte rovnici dvou čar, které prochází bodem P (0, 1, -1), jasně patřících k hyperbolickému paraboloidu, takže všechny body těchto čar také patří do stejný.

Řešení

Pomocí pozoruhodného součinu rozdílu čtverců lze rovnici pro hyperbolický paraboloid napsat takto:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

Kde c je nenulová konstanta.

Rovnice x + y = cz a rovnice x - y = 1 / c odpovídají dvěma rovinám s normálními vektory n = <1,1, -c> a m = <1, -1,0>. Vektorový produkt mxn = <- c, -c, -2> nám dává směr průnikové linie obou rovin. Pak jedna z linií, která prochází bodem P a patří k hyperbolickému paraboloidu, má parametrickou rovnici:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

Pro stanovení c nahradíme bod P v rovnici x + y = cz, získáme:

c = -1

Podobným způsobem, ale s ohledem na rovnice (x - y = kz) a (x + y = 1 / k) máme parametrickou rovnici přímky:

= <0, 1, -1> + s s k = 1.

Stručně řečeno, dva řádky:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> a = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

Jsou zcela obsaženy v hyperbolickém paraboloidu z = x ² - y ² procházejícím bodem (0, 1, -1).

Jako kontrolu předpokládejme t = 1, což nám dává bod (1,2, -3) na prvním řádku. Musíte zkontrolovat, zda je také na paraboloidu z = x ² - y ²:

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

Což potvrzuje, že skutečně patří na povrch hyperbolického paraboloidu.

Hyperbolický paraboloid v architektuře

Obrázek 6. Oceánografický obraz ve Valencii (Španělsko) Zdroj: Wikimedia Commons.

Hyperbolický paraboloid byl v architektuře používán velkými avantgardními architekty, mezi nimiž vynikají jména španělského architekta Antoniho Gaudího (1852-1926) a zvláště také španělského Félixe Candely (1910–1997).

Níže jsou uvedena některá díla založená na hyperbolickém paraboloidu:

-Chapel města Cuernavaca (Mexiko) práce architekta Félixe Candely.

- oceánografický obraz ve Valencii (Španělsko), také Félix Candela.

Reference

1. Encyklopedie matematiky. Vyrovnaný povrch. Obnoveno z: encyclopediaofmath.org
2. Llera Rubén. Hyperbolický paraboloid. Obnoveno z: rubenllera.wordpress.com
3. Weisstein, Eric W. "Hyperbolický paraboloid." Z MathWorld - Wolfram webový zdroj. Obnoveno z: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedia. Paraboloid. Obnoveno z: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Paraboloid. Obnoveno z: es.wikipedia.com
6. Wikipedia. Řízená plocha. Obnoveno z: en.wikipedia.com