PARALLELEPIPED: VLASTNOSTI, TYPY, PLOCHA, OBJEM - MATEMATIKA - 2025

Rovnoběžnostěn je geometrický těleso tvořeno šesti stranách, jejichž hlavním rysem je, že všechny jeho povrchů jsou rovnoběžníky, a také to, že její protilehlé plochy jsou vzájemně rovnoběžné. Je to běžný polyhedron v našem každodenním životě, protože ho můžeme najít v krabicích na boty, ve tvaru cihly, ve tvaru mikrovlnné trouby atd.

Jako polyhedron uzavírá rovnoběžnostník konečný objem a všechny jeho tváře jsou ploché. Je součástí skupiny hranolů, což jsou polyhedry, ve kterých jsou všechny jeho vrcholy obsaženy ve dvou rovnoběžných rovinách.

Prvky rovnoběžníku

Tváře

Jedná se o každou z oblastí vytvořených rovnoběžníky, které omezují rovnoběžnost. Paralelní trubka má šest ploch, kde každá plocha má čtyři sousední plochy a jednu protilehlou. Každá tvář je rovnoběžná se svým protikladem.

Hrany

Jsou společnou stranou dvou tváří. Celkově má ​​paralelní trubka dvanáct hran.

Vrchol

Jedná se o společný bod tří tváří, které spolu sousedí dva po dvou. Rovnoběžník má osm vrcholů.

Úhlopříčka

Vzhledem ke dvěma plochám rovnoběžnostěn protilehlých k sobě můžeme nakreslit úsečku, která vede od vrcholu jedné plochy k opačnému vrcholu druhé.

Tento segment je známý jako úhlopříčka rovnoběžníku. Každý rovnoběžník má čtyři úhlopříčky.

Centrum

Je to bod, ve kterém se protínají všechny úhlopříčky.

Vlastnosti rovnoběžky

Jak jsme již zmínili, toto geometrické tělo má dvanáct hran, šest ploch a osm vrcholů.

V rovnoběžnostech lze identifikovat tři sady tvořené čtyřmi hranami, které jsou vzájemně rovnoběžné. Kromě toho mají okraje uvedených sad také vlastnost, že mají stejnou délku.

Jinou vlastností, kterou mají rovnoběžníky, je, že jsou konvexní, to znamená, že pokud vezmeme jakoukoli dvojici bodů patřících do vnitřku rovnoběžky, bude segment, určený uvedenou dvojicí bodů, také uvnitř rovnoběžky.

Kromě toho jsou rovnoběžné kroužky konvexní polyhedry v souladu s Eulerovou větou pro polyhedra, což nám dává vztah mezi počtem ploch, počtem hran a počtem vrcholů. Tento vztah je dán ve formě následující rovnice:

C + V = A + 2

Tato vlastnost je známá jako Eulerova charakteristika.

Kde C je počet ploch, V počet vrcholů a A počet hran.

Typy

Můžeme třídit rovnoběžky na jejich tváře do následujících typů:

Orthoedron

Jsou to rovnoběžky, jejichž tváře jsou tvořeny šesti obdélníky. Každý obdélník je kolmý k těm, které sdílejí hranu. Jsou to nejčastější v našem každodenním životě, protože jde o obvyklou formu krabic na boty a cihel.

Pravidelná krychle nebo hexahedron

Toto je zvláštní případ předchozího, kde každá z ploch je čtvercová.

Krychle je také součástí geometrických těl nazývaných platonické pevné látky. Platonická pevná látka je konvexní mnohostěn, takže obě její plochy i vnitřní úhly jsou si navzájem stejné.

Rhombohedron

Je to rovnoběžník s kosočtverci na obličeji. Tyto kosočtverce jsou si vzájemně rovné, protože sdílejí hrany.

Rhombohedron

Jeho šest obličejů jsou kosočtverci. Připomeňme, že kosočtverec je mnohoúhelník se čtyřmi stranami a čtyřmi úhly, které se rovnají dvěma až dvěma. Rhomboidy jsou rovnoběžníky, které nejsou ani čtverečky, ani obdélníky ani kosočtverce.

Na druhé straně, Oblique Parallelepipeds jsou ty, u kterých alespoň jedna výška nesouhlasí s jejich hranou. Do této klasifikace můžeme zařadit rhombohedru a rhombohedru.

Výpočet úhlopříček

Pro výpočet úhlopříčky z orthohedron můžeme použít Pythagorovy věty pro R ³.

Připomeňme, že ortoedron má charakteristiku, že každá strana je kolmá ke stranám, které sdílejí hranu. Z této skutečnosti můžeme odvodit, že každá hrana je kolmá k těm, které sdílejí vrchol.

Při výpočtu délky úhlopříčky orthoedronu postupujeme takto:

1. Vypočítáme úhlopříčku jedné z tváří, kterou položíme jako základ. K tomu používáme Pythagorovu větu. Pojmenujme tuto úhlopříčku d _b.

2. Pak pomocí d _b můžeme vytvořit nový pravoúhlý trojúhelník, takže předělem tohoto trojúhelníku je diagonální D, kterou hledáme.

3. Znovu použijeme Pythagorovu větu a máme délku této úhlopříčky:

Dalším způsobem, jak vypočítat úhlopříčky grafičtějším způsobem, je přidání volných vektorů.

Připomeňme, že dva volné vektory A a B se přidají umístěním ocasu vektoru B špičkou vektoru A.

Vektor (A + B) je ten, který začíná na konci A a končí na špičce B.

Uvažujme rovnoběžník, pro který chceme vypočítat úhlopříčku.

Hrany identifikujeme pomocí pohodlně orientovaných vektorů.

Pak přidáme tyto vektory a výsledný vektor bude úhlopříčka rovnoběžníku.

Plocha

Plocha rovnoběžníku je dána součtem každé z oblastí jeho ploch.

Pokud určíme jednu ze stran jako základnu, A _L + 2A _B = celková plocha

V případě, že _L je rovna součtu ploch všech stran přilehlých k základně, zvané boční část a _B je plocha základny.

V závislosti na typu paralelního potrubí, se kterým pracujeme, můžeme tento vzorec přepsat.

Oblast ortoedronu

Je to dáno vzorcem

A = 2 (ab + bc + ca).

Příklad 1

Vzhledem k následujícímu orthedronu se stranami a = 6 cm, b = 8 cm ac = 10 cm se vypočte plocha rovnoběžky a délka její úhlopříčky.

S použitím vzorce pro oblast ortohedronu to máme

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ².

Všimněte si, že vzhledem k tomu, že se jedná o orthoedron, je délka kterékoli z jeho čtyř úhlopříček stejná.

Používáme Pythagorovu větu pro vesmír

D = (6 ² + 8 ² + 10 ²) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Plocha krychle

Protože každá hrana má stejnou délku, máme a = b a a = c. Nahrazování v předchozím vzorci máme

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ²) = 6 a ²

A = 6a ²

Příklad 2

Krabice na herní konzoli má tvar krychle. Pokud chceme zabalit tuto krabici balicím papírem, kolik papíru bychom strávili s vědomím, že délka okrajů krychle je 45 cm?

Získáme to pomocí vzorce pro oblast krychle

A = 6 (45 cm), ² = 6 (2025 cm ²) = 12150 cm ²

Oblast kosočtverce

Protože všechny jejich tváře jsou stejné, vypočítejte pouze plochu jedné z nich a vynásobte ji šesti.

Máme, že plocha kosočtverce může být vypočtena pomocí úhlopříček s následujícím vzorcem

A _R = (Dd) / 2

Z tohoto vzorce vyplývá, že celková plocha rhombohedronu je

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Příklad 3

Obličeje následujícího rhombohedronu jsou tvořeny kosočtvercem, jehož úhlopříčky jsou D = 7 cm a d = 4 cm. Vaše oblast bude

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm ².

Oblast kosočtverce

K výpočtu plochy kosočtverců musíme vypočítat plochu kosočtverců, které ji tvoří. Jelikož rovnoběžníky splňují vlastnost, že protilehlé strany mají stejnou oblast, můžeme je spojit do tří párů.

Tímto způsobem máme, že vaše oblast bude

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Kde b _i jsou báze spojené se stranami a h _i jejich relativní výška odpovídající těmto základnám.

Příklad 4

Zvažte následující rovnoběžník,

kde strana A a strana A '(její protější strana) mají základnu b = 10 a výšku h = 6. Označená plocha bude mít hodnotu

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

B a B 'mají b = 4 a h = 6, takže

₂ = 2 (4), (6) = 48

YC a C 'tedy mají b = 10 a h = 5

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Konečně oblast kosočtverce je

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Objem rovnoběžky

Vzorec, který nám dává objem rovnoběžnostěn, je součinem plochy jedné z jeho ploch podle výšky odpovídající této ploše.

V = A _C h _C

V závislosti na typu rovnoběžnostěn lze tento vzorec zjednodušit.

Máme tedy například to, že objem orthoedronu bude dán

V = abc.

Kde a, bac představují délku hran ortoedru.

A v konkrétním případě krychle je

V = a ³

Příklad 1

Existují tři různé modely pro soubory cookie a chcete vědět, do kterých z těchto modelů můžete uložit více souborů cookie, tj. Který z polí má největší objem.

První je kostka, jejíž hrana má délku a = 10 cm

Jeho objem bude V = 1 000 cm ³

Druhý má hrany b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

A tudíž jeho objem je V = 765 cm ³

A třetí má e = 9 cm, f = 9 cm a g = 13 cm

A jeho objem je V = 1053 cm ³

Proto je pole s největším svazkem třetí.

Další metodou pro získání objemu rovnoběžnostěn je použití vektorové algebry. Zejména produkt se třemi tečkami.

Jednou z geometrických interpretací, které má trojitý skalární produkt, je objem rovnoběžníkového tvaru, jehož hrany jsou tři vektory, které sdílejí stejný vrchol jako počáteční bod.

Tímto způsobem, pokud máme rovnoběžník a chceme znát jeho objem, stačí jej reprezentovat v souřadném systému v R3 ^tím, že jeden z jeho vrcholů se bude shodovat s původem.

Pak reprezentujeme hrany, které se shodují na počátku s vektory, jak je znázorněno na obrázku.

A tímto způsobem máme, že objem řečeného rovnoběžníku je dán

V = - AxB ∙ C-

Nebo ekvivalentně je objem determinantem matice 3 × 3 tvořené součástmi okrajových vektorů.

Příklad 2

Při představuje následující rovnoběžnostěnu v R ³ je vidět, že vektory, které je určují, jsou následující

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) a w = (-0,25, -4, 4)

Používáme trojitý skalární produkt, který máme

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Z toho usoudíme, že V = 60

Podívejme se nyní na následující rovnoběžník v R3, jehož okraje jsou určeny vektory

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) a C = (3, 4, 4)

Použití determinantů nám to dává

Máme tedy, že objem uvedeného rovnoběžníku je 112.

Oba jsou ekvivalentní způsoby výpočtu objemu.

Perfektní rovnoběžník

Orthohedron je známý jako Eulerova cihla (nebo Eulerův blok), která splňuje vlastnost, že jak délka jejích hran, tak délka diagonálů každé z jejích ploch jsou celá čísla.

Přestože Euler nebyl prvním vědcem, který studoval ortoedru, která tuto vlastnost splňuje, našel o nich zajímavé výsledky.

Nejmenší Eulerovu cihlu objevil Paul Halcke a její okraje jsou a = 44, b = 117 a c = 240.

Otevřený problém v teorii čísel je následující

Existují perfektní ortohedry?

V současné době tato otázka nebyla zodpovězena, protože nebylo možné prokázat, že taková těla neexistují, ale ani nebyla nalezena.

Doposud se ukázalo, že existují dokonalé rovnoběžky. První objevený má délku svých okrajů hodnot 103, 106 a 271.

Bibliografie

1. Guy, R. (1981). Nevyřešené problémy teorie čísel. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometrie. Pokrok.
3. Leithold, L. (1992). Výpočet s analytickou geometrií. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Technický výkres: Kniha činností 3 2. Bachillerato. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Mexico: Continental.