ŠESTIÚHELNÍKOVÁ PYRAMIDA: DEFINICE, VLASTNOSTI A PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Šestihranné pyramida je polyhedron vytvořený v šestiúhelníku, který je základem, a šest trojúhelníky, které začínají od vrcholech šestiúhelníku a setkají v bodě nad rovinou, která obsahuje základnu. Tento bod souběžnosti je známý jako vrchol nebo vrchol pyramidy.

Mnohostěn je uzavřené trojrozměrné geometrické tělo, jehož plochy jsou rovinné postavy. Šestiúhelník je uzavřená rovinná postava (mnohoúhelník) složená ze šesti stran. Pokud je všech šest stran stejné délky a mají stejné úhly, říká se, že je to pravidelné; jinak je nepravidelný.

Definice

Šestiúhelníková pyramida obsahuje sedm obličejů, základnu a šest postranních trojúhelníků, z nichž základna je jediná, která se nedotýká vrcholu.

Pyramida je řekl, aby byl rovný jestliže všechny postranní trojúhelníky jsou rovnoramenné. V tomto případě je výška pyramidy segment, který vede od vrcholu ke středu šestiúhelníku.

Obecně je výška pyramidy vzdálenost mezi vrcholem a rovinou základny. Pyramida je řekl, aby byl šikmý jestliže ne všechny postranní trojúhelníky jsou rovnoramenné.

Pokud je hexagon pravidelný a pyramida je rovná, říká se, že jde o pravidelnou hexagonální pyramidu. Podobně, pokud je hexagon nepravidelný nebo je pyramida šikmá, říká se, že jde o nepravidelnou hexagonální pyramidu.

vlastnosti

Konkávní nebo konvexní

Mnohoúhelník je konvexní, pokud je míra všech vnitřních úhlů menší než 180 stupňů. Geometricky je to rovnocenné s tím, že vzhledem k dvojici bodů v mnohoúhelníku je úsečka, která je spojuje, obsažena v mnohoúhelníku. Jinak je mnohoúhelník označen jako konkávní.

Pokud je hexagon konvexní, je pyramida považována za konvexní hexagonální pyramidu. Jinak to bude řečeno konkávní hexagonální pyramida.

Hrany

Okraje pyramidy jsou strany šesti trojúhelníků, které ji tvoří.

Apothem

Apothem pyramid je vzdálenost mezi vrcholem a stranami základny pyramidy. Tato definice má smysl pouze tehdy, je-li pyramida pravidelná, protože pokud je nepravidelná, mění se tato vzdálenost v závislosti na uvažovaném trojúhelníku.

Na druhé straně, v pravidelných pyramidách bude apotém odpovídat výšce každého trojúhelníku (protože každý z nich je rovnoramenný) a bude stejný ve všech trojúhelnících.

Apothem základny je vzdálenost mezi jednou ze stran základny a jejím středem. Od způsobu, jak je definován, má apotém základny také smysl pouze v pravidelných pyramidách.

Označení

Výška hexagonální pyramidy bude označena h, apothem základny (v běžném případě) APb a apothem pyramidy (také v běžném případě) AP.

Charakteristickým rysem pravidelných hexagonálních pyramid je to, že h, APb a AP tvoří pravoúhlý trojúhelník s předponou AP a končetinami h a APb. Podle Pythagorovy věty máme AP = √ (h ^ 2 + APb ^ 2).

Výše uvedený obrázek představuje pravidelnou pyramidu.

Jak vypočítat oblast? Vzorce

Zvažte pravidelnou hexagonální pyramidu. Nechť A je měřítkem každé strany šestiúhelníku. Pak A odpovídá míře základny každého trojúhelníku pyramidy, a tedy i okrajům základny.

Plocha polygonu je součinem obvodu (součet stran) a apothem základny, děleno dvěma. V případě šestiúhelníku by to byl 3 * A * APb.

Je vidět, že plocha pravidelné šestiúhelníkové pyramidy je rovna šestinásobku plochy každého trojúhelníku pyramidy plus plochy základny. Jak již bylo zmíněno, výška každého trojúhelníku odpovídá apothemu pyramidy, AP.

Proto je plocha každého trojúhelníku v pyramidě dána A * AP / 2. Oblast pravidelné hexagonální pyramidy je tedy 3 * A * (APb + AP), kde A je okraj základny, APb je apothem základny a AP apothem pyramid.

Výpočet v nepravidelných hexagonálních pyramidách

V případě nepravidelné hexagonální pyramidy neexistuje přímý vzorec pro výpočet plochy jako v předchozím případě. Je to proto, že každý trojúhelník v pyramidě bude mít jinou oblast.

V tomto případě musí být plocha každého trojúhelníku vypočítána samostatně a plocha základny. Pak plocha pyramidy bude součtem všech dříve vypočítaných ploch.

Jak vypočítat objem? Vzorce

Objem pyramidy pravidelného hexagonálního tvaru je součinem výšky pyramidy a plochy základny děleno třemi. Objem pravidelné hexagonální pyramidy je tedy dán A * APb * h, kde A je okraj základny, APb je apothem základny a h je výška pyramidy.

Výpočet v nepravidelných hexagonálních pyramidách

Analogicky k oblasti v případě nepravidelné hexagonální pyramidy neexistuje přímý vzorec pro výpočet objemu, protože okraje základny nemají stejné měření, protože se jedná o nepravidelný mnohoúhelník.

V tomto případě musí být plocha základny počítána samostatně a objem bude (h * Plocha základny) / 3.

Příklad

Najděte plochu a objem pravidelné hexagonální pyramidy s výškou 3 cm, jejíž základna je pravidelný šestiúhelník 2 cm na každé straně a apothem základny je 4 cm.

Řešení

Nejprve je třeba vypočítat apothem pyramidy (AP), což jsou jediné chybějící údaje. Při pohledu na výše uvedený obrázek je vidět, že výška pyramidy (3 cm) a apothem základny (4 cm) tvoří pravoúhlý trojúhelník; Proto se pro výpočet apothem pyramidy používá Pythagorova věta:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

Z výše uvedeného vzorce tedy vyplývá, že plocha se rovná 3 * 2 * (4 + 5) = 54 cm ^ 2.

Na druhé straně se pomocí objemového vzorce získá, že objem dané pyramidy je 2 * 4 * 3 = 24 cm ^ 3.

Reference

1. Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, JW (2013). Matematika: přístup k řešení problémů pro učitele základní školy. Editoři López Mateos.
2. Fregoso, RS, a Carrera, SA (2005). Matematika 3. Redakční program.
3. Gallardo, G., & Pilar, PM (2005). Matematika 6. Redakční program.
4. Gutiérrez, CT, a Cisneros, MP (2005). 3. matematický kurz. Editorial Progreso.
5. Kinsey, L., a Moore, TE (2006). Symetrie, tvar a prostor: Úvod do matematiky přes geometrii (ilustrovaný, dotisk ed.). Springer Science & Business Media.
6. Mitchell, C. (1999). Oslňující vzory matematických linií (ilustrovaná ed.). Scholastic Inc.
7. R., MP (2005). Kreslím 6.. Editorial Progreso.