KONVEXNÍ MNOHOÚHELNÍK: DEFINICE, PRVKY, VLASTNOSTI, PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Konvexní polygon je geometrický údaj obsažený v rovině, která se vyznačuje tím, protože má všechny úhlopříčky ve svém vnitřku a jeho úhly měří méně než 180 °. Mezi jeho vlastnosti patří:

1) Sestává z n po sobě jdoucích segmentů, kde se poslední ze segmentů spojí s prvním. 2) Žádný ze segmentů se protíná tak, že vymezuje rovinu ve vnitřní oblasti a vnější oblasti. 3) Každý úhel ve vnitřní oblasti je přísně menší než úhel roviny.

Obrázek 1. Polygony 1, 2 a 6 jsou konvexní. (Připravil Ricardo Pérez).

Jednoduchý způsob, jak určit, zda je mnohoúhelník konvexní nebo ne, je vzít v úvahu čáru, která prochází jednou z jeho stran, která určuje dvě půlky. Pokud v každé linii, která prochází jednou stranou, jsou ostatní strany mnohoúhelníku ve stejné polovině roviny, jedná se o konvexní mnohoúhelník.

Prvky mnohoúhelníku

Každý mnohoúhelník se skládá z následujících prvků:

- Strany

- Vrcholy

Strany jsou každý z po sobě jdoucích segmentů, které tvoří mnohoúhelník. V mnohoúhelníku žádný ze segmentů, které jej tvoří, nemůže mít otevřený konec, v tom případě by existovala polygonální linie, ale nikoli mnohoúhelník.

Vrcholy jsou spojovací body dvou po sobě jdoucích segmentů. V mnohoúhelníku se počet vrcholů vždy rovná počtu stran.

Pokud se protínají dvě strany nebo segmenty mnohoúhelníku, máte zkřížený mnohoúhelník. Průsečík se nepovažuje za vrchol. Křížový mnohoúhelník je nekonvexní mnohoúhelník. Hvězdné polygony jsou křížové polygony, a proto nejsou konvexní.

Když má mnohoúhelník všechny jeho strany stejnou délku, máme pravidelný mnohoúhelník. Všechny pravidelné polygony jsou konvexní.

Konvexní a nekonvexní polygony

Obrázek 1 ukazuje několik polygonů, některé z nich jsou konvexní a některé z nich nejsou. Pojďme je analyzovat:

Číslo 1 je trojstranný mnohoúhelník (trojúhelník) a všechny vnitřní úhly jsou menší než 180 °, jedná se tedy o konvexní mnohoúhelník. Všechny trojúhelníky jsou konvexní mnohoúhelníky.

Číslo 2 je čtyřstranný mnohoúhelník (čtyřúhelník), kde se žádná ze stran protíná a každý vnitřní úhel je menší než 180 °. Jedná se o konvexní mnohoúhelník se čtyřmi stranami (konvexní čtyřúhelník).

Na druhé straně číslo 3 je mnohoúhelník se čtyřmi stranami, ale jeden z jeho vnitřních úhlů je větší než 180 °, takže nesplňuje podmínku konvexnosti. To znamená, že se jedná o nekonvexní čtyřstranný mnohoúhelník nazývaný konkávní čtyřúhelník.

Číslo 4 je mnohoúhelník se čtyřmi segmenty (stranami), z nichž dva se protínají. Čtyři vnitřní úhly jsou menší než 180 °, ale protože se dvě strany protínají, jedná se o nekonvexní zkřížený mnohoúhelník (zkřížený čtyřúhelník).

Dalším případem je číslo 5. Toto je mnohoúhelník s pěti stranami, ale protože jeden z jeho vnitřních úhlů je větší než 180 °, máme konkávní mnohoúhelník.

Konečně číslo 6, které má také pět stran, má všechny své vnitřní úhly menší než 180 °, takže se jedná o konvexní mnohoúhelník s pěti stranami (konvexní pětiúhelník).

Vlastnosti konvexního mnohoúhelníku

1- Nekřížený mnohoúhelník nebo jednoduchý mnohoúhelník rozdělí rovinu, která jej obsahuje, do dvou oblastí. Vnitřní oblast a vnější oblast, přičemž mnohoúhelník je hranicí mezi těmito dvěma oblastmi.

Pokud je však polygon navíc konvexní, pak máme vnitřní oblast, která je jednoduše spojena, což znamená, že pokud vezmeme jakékoli dva body z vnitřní oblasti, může být vždy spojena segmentem, který zcela patří do vnitřní oblasti.

Obrázek 2. Konvexní mnohoúhelník je jednoduše připojen, zatímco konkávní není. (Připravil Ricardo Pérez).

2 - Každý vnitřní úhel konvexního mnohoúhelníku je menší než úhel roviny (180 °).

3 - Všechny vnitřní body konvexního mnohoúhelníku vždy patří k jednomu ze semiplanet definovaných čarou, která prochází dvěma po sobě jdoucími vrcholy.

4 - V konvexním mnohoúhelníku jsou všechny úhlopříčky zcela obsaženy ve vnitřní polygonální oblasti.

5- Vnitřní body konvexního mnohoúhelníku patří výhradně do konvexního úhlového sektoru definovaného každým vnitřním úhlem.

6- Každý mnohoúhelník, ve kterém jsou všechny jeho vrcholy na obvodu, je konvexní mnohoúhelník, který se nazývá cyklický mnohoúhelník.

7- Každý cyklický mnohoúhelník je konvexní, ale ne každý konvexní mnohoúhelník je cyklický.

8- Jakýkoli nekřížený mnohoúhelník (jednoduchý mnohoúhelník), který má všechny své strany stejné délky, je konvexní a je známý jako pravidelný mnohoúhelník.

Diagonály a úhly v konvexních polygonech

9- Celkový počet N úhlopříček konvexního polygonu s n stranami je dán následujícím vzorcem:

N = 1/2 n (n - 3)

Důkaz: V konvexním mnohoúhelníku s n stranami každého vrcholu je nakreslena n - 3 úhlopříček, protože samotný vrchol a dva sousední jsou vyloučeny. Protože existuje n vrcholů, n (n - 2) diagonálů se kreslí celkem, ale každá diagonála byla nakreslena dvakrát, takže počet diagonálů (bez opakování) je n (n-2) / 2.

10- Součet S vnitřních úhlů konvexního mnohoúhelníku s stranami n je dán následujícím vztahem:

S = (n - 2) 180 °

Příklady

Příklad 1

Cyklický hexagon je mnohoúhelník se šesti stranami a šesti vrcholy, ale všechny vrcholy jsou na stejném obvodu. Každý cyklický mnohoúhelník je konvexní.

Cyklický hexagon.

Příklad 2

Určete hodnotu vnitřních úhlů pravidelného enegonu.

Řešení: Enegon je 9-stranný mnohoúhelník, ale pokud je také pravidelný, všechny jeho strany a úhly jsou stejné.

Součet všech vnitřních úhlů 9-stranného mnohoúhelníku je:

S = (9 - 2) 180 ° = 7 * 180 ° = 1260 °

Existuje však 9 vnitřních úhlů stejné míry α, takže musí být splněna následující rovnost:

S = 9 a = 1260 °

Z čehož vyplývá, že míra α každého vnitřního úhlu pravidelného kružnice je:

a = 1260 ° / 9 = 140 °