ARCHIMEDŮV PRINCIP: VZOREC, DŮKAZ, APLIKACE - FYZICKÝ - 2025

The Archimedes ' princip uvádí, že těleso ponořené zcela nebo částečně, působí svisle vzhůru síla názvem tah, který je ekvivalentní hmotnosti objemu kapaliny vytlačené v těle.

Některé objekty vznášejí ve vodě, jiné se umyvadlo a některé částečně ponoří. K potopení plážového míče je nutné vyvinout úsilí, protože okamžitě je vnímána ta síla, která se ho snaží vrátit na povrch. Místo toho kovová koule rychle klesá.

Obrázek 1. Plovoucí balóny: Archimedův princip v akci. Zdroj: Pixabay.

Na druhé straně se ponořené předměty zdají lehčí, a proto je zde tekutina, která působí proti hmotnosti, působící silou. Ale nemůže vždy plně kompenzovat gravitaci. A ačkoliv je to více patrné u vody, jsou plyny také schopny tuto sílu vyvolat u předmětů ponořených v nich.

Dějiny

Archimedes of Syrakusy (287-212 př.nl) byl ten, kdo musel objevit tento princip, být jedním z největších vědců v historii. Říká se, že král Hiero II ze Syrakus nařídil zlatníkovi, aby pro něj vytvořil novou korunu, za což mu dal určité množství zlata.

Archimedes

Když král obdržel novou korunu, byla to správná váha, ale měl podezření, že ho zlatník oklamal přidáním stříbra místo zlata. Jak to mohl dokázat, aniž by zničil korunu?

Hiero zavolal Archimedese, jehož pověst učence byla dobře známá, aby mu pomohl tento problém vyřešit. Legenda říká, že Archimedes byl ponořen ve vaně, když našel odpověď, a, stejně jako jeho emoce, že běžel nahý ulicemi Syrakus, aby hledal krále, a křičel „eureka“, což znamená „našel jsem ho“.

Co Archimedes našel? Když se vykoupal, hladina vody ve vaně stoupla, když vstoupil, což znamená, že ponořené tělo vytlačuje určitý objem kapaliny.

A pokud ponořil korunu do vody, muselo to také vytlačit určitý objem vody, pokud byla koruna vyrobena ze zlata a jiná, pokud byla vyrobena ze slitiny se stříbrem.

Vzorec

Zvedací síla, na kterou odkazuje Archimedesův princip, je známá jako hydrostatická síla nebo vztlaková síla a, jak jsme řekli, je ekvivalentní hmotnosti objemu tekutiny vytlačené tělem při ponoření.

Posunutý objem se rovná objemu objektu, který je ponořen, zcela nebo částečně. Protože váha všeho je mg a hmotnost tekutiny je hustota x objem, označující velikost tahu jako B, matematicky máme:

B = m _tekutina xg = hustota kapaliny x ponořený objem x gravitace

B = ρ _tekutina x V _ponořená xg

Kde řecké písmeno ρ ("rho") označuje hustotu.

Zdánlivá váha

Hmotnost objektů se počítá pomocí známého mg výrazu, ale věci se cítí lehčí, když jsou ponořeny do vody.

Zdánlivá váha předmětu je to, co má, když je ponořeno do vody nebo jiné kapaliny, a když je známo, lze získat objem nepravidelného předmětu, jako je koruna krále Hiera, jak bude vidět níže.

K tomu je zcela ponořena do vody a připojena k provázku připojenému k dynamometru - nástroj vybavený pružinou sloužící k měření sil. Čím větší je hmotnost předmětu, tím větší je prodloužení pružiny, které se měří na stupnici poskytované v zařízení.

Obrázek 2. Zdánlivá hmotnost ponořeného objektu. Zdroj: připravil F. Zapata.

Uplatnění Newtonova druhého zákona, který věděl, že objekt je v klidu:

ΣF _y = B + T - W = 0

Zdánlivá hmotnost W _{a se} rovná napětí v řetězci T:

Protože tah kompenzuje hmotnost, protože tekutinová část je v klidu, pak:

Z tohoto výrazu vyplývá, že tah je způsoben tlakovým rozdílem mezi horní stranou válce a spodní stranou. Protože W = mg = ρ tekutina. V. g, musí:

Což je přesně výraz tahu zmíněné v předchozí části.

Aplikace

Archimedův princip se objevuje v mnoha praktických aplikacích, mezi nimiž můžeme jmenovat:

- Aerostatický balón. Která v důsledku své průměrné hustoty menší než je okolní vzduch, vznáší se v ní v důsledku tlačné síly.

- Lodě. Trup lodí je těžší než voda. Pokud se však vezme v úvahu celé trup plus vzduch uvnitř, poměr mezi celkovou hmotností a objemem je menší než u vody a to je důvod, proč se lodě vznášejí.

- Záchranné vesty. Jsou konstruovány z lehkých a porézních materiálů a jsou schopny vznášet se, protože poměr hmotnosti a objemu je nižší než u vody.

- Plovák pro uzavření plnicího kohoutku vodní nádrže. Je to koule naplněná velkým objemem vzduchu, která vznáší na vodě, což způsobuje, že tlačná síla - násobená pákovým efektem - uzavře víčko plnicího kohoutku vodní nádrže, když dosáhne úrovně celkový.

Příklady

Příklad 1

Legenda říká, že král Hiero dal zlatníkovi určité množství zlata, aby vytvořil korunu, ale nedůvěřivý monarcha si myslel, že zlatník mohl podvádět umístěním kovu méně cenného než zlato dovnitř koruny. Jak ale mohl vědět, aniž by zničil korunu?

Král svěřil tento problém Archimedesovi a tím, že hledal řešení, objevil jeho slavný princip.

Předpokládejme, že korona váží 2,10 kg-f na vzduchu a 1,95 kg-f, když je zcela ponořena do vody. Je v tomto případě nebo není klam?

Obrázek 5. Schéma koruny krále Herona na volném těle. Zdroj: připravil F. Zapata

Schéma sil je znázorněno na obrázku výše. Těmito silami jsou: hmotnost P koruny, tah E a napětí T lana visícího na stupnici.

Je známo P = 2,10 kg-f a T = 1,95 kg-f, zbývá určit velikost tahu E:

Na druhou stranu, podle Archimedesova principu je tah E ekvivalentní hmotnosti vody vytlačené z prostoru obsazeného korunou, to znamená, že hustota vody je násobkem objemu korunky v důsledku zrychlení gravitace:

Odkud lze vypočítat objem koruny:

Hustota koruny je kvocient mezi hmotností koruny ven z vody a jejím objemem:

Hustota čistého zlata může být stanovena podobným postupem a výsledkem je 19300 kg / m3.

Porovnáním obou hustot je zřejmé, že koruna není čisté zlato!

Příklad 2

Na základě údajů a výsledku příkladu 1 je možné určit, kolik zlata ukradl zlatník v případě, že část zlata byla nahrazena stříbrem, které má hustotu 10 500 kg / m3.

Nazýváme hustotu koruny ρc, ρo hustotu zlata a ρ _p hustotu stříbra.

Celková hmotnost koruny je:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅Vp

Celkový objem koruny je objem stříbra plus objem zlata:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

Nahrazení hmotnosti v rovnici je:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ _p) Vo = (ρc - ρ _p) V

To znamená, že objem zlata Vo, který obsahuje korunu celkového objemu V, je:

Vo = V⋅ (ρc - ρ _p) / (ρo - ρ _p) =…

… = 0,00015 m3 (14000 - 10500) / (19300 - 10500) = 0,00005966 m3

Abychom našli váhu ve zlatě, kterou koruna obsahuje, vynásobíme Vo hustotou zlata:

Mo = 19300 * 0,00005966 = 1,1514 kg

Protože hmotnost koruny je 2,10 kg, víme, že zlatník ukradl 0,94858 kg zlata a nahradil jej stříbrem.

Řešená cvičení

Cvičení 1

Obrovský heliový balón je schopen udržet člověka v rovnováze (bez stoupání nebo klesání).

Předpokládejme, že hmotnost osoby plus koš, lana a balón jsou 70 kg. Jaký objem hélia je zapotřebí, aby k tomu došlo? Jak velký by měl být balón?

Řešení

Budeme předpokládat, že tah je produkován hlavně objemem helia a že tah ostatních složek je velmi malý ve srovnání s tahem helia, které zabírá mnohem větší objem.

V tomto případě to bude vyžadovat objem helia schopný poskytnout tah 70 kg + hmotnost helia.

Obrázek 6. Schéma volného těla balónku naplněného héliem. Zdroj: připravil F. Zapata.

Přítlak je součin objemu hélia krát hustoty hélia a zrychlení gravitace. Tento tlak musí vyrovnat hmotnost hélia plus hmotnost všech ostatních.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

z čehož se vyvozuje, že V = M / (Da - Dh)

V = 70 kg / (1,25 - 0,18) kg / m3 = 65,4 m3

To znamená, že je zapotřebí 65,4 m3 ^ hélia při atmosférickém tlaku, aby tam mohlo být zvednuto.

Pokud předpokládáme sférický glóbus, najdeme jeho poloměr z vztahu mezi objemem a poloměrem koule:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

Od kde R = 2,49 m. Jinými slovy, bude vyžadovat balón o průměru 5 m naplněný heliem.

Cvičení 2

V ní vznášejí materiály s nižší hustotou než voda. Předpokládejme, že máte polystyren (bílý korek), dřevo a kostky ledu. Jejich hustoty v kg na metr krychlový jsou: 20, 450 a 915.

Zjistěte, jaký zlomek celkového objemu je mimo vodu a jak vysoko stojí nad hladinou vody, přičemž jako hustotu této vody vezměte 1000 kilogramů na metr krychlový.

Řešení

Vztlak nastává, když se hmotnost těla rovná tahu způsobenému vodou:

E = M⋅g

Obrázek 7. Schéma volného těla částečně ponořeného objektu. Zdroj: připravil F. Zapata.

Hmotnost je hustota těla Dc vynásobená jeho objemem V a zrychlením gravitace g.

Tah je hmotnost tekutiny vytlačené podle Archimedesova principu a vypočítá se vynásobením hustoty D vody ponořeným objemem V 'a zrychlením gravitace.

To je:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

Což znamená, že podíl ponořeného objemu je roven kvocientu mezi hustotou těla a hustotou vody.

To znamená, že vynikající objemový zlomek (V '' / V) je

Jestliže h je výška převisu a L strana krychle, objemový zlomek může být zapsán jako

Výsledky pro objednané materiály jsou tedy:

Polystyren (bílý korek):

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98% z vody

Dřevo:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (450/1000) = 55% z vody

Led:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (915/1000) = 8,5% z vody

Reference

1. Bauer, W. 2011. Fyzika pro strojírenství a vědy. Svazek 1. Mc Graw Hill. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011. Fluid Mechanics. Základy a aplikace. První vydání. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Série: Fyzika pro vědu a techniku. Svazek 4. Kapaliny a termodynamika. Editoval Douglas Figueroa (USB). 1 - 42.
4. Giles, R. 2010. Mechanika tekutin a hydrauliky. McGraw Hill.
5. Rex, A. 2011. Základy fyziky. Pearson. 239-263.
6. Tippens, P. 2011. Fyzika: Koncepty a aplikace. 7. vydání. McGraw Hill.