MULTIPLIKAČNÍ PRINCIP: TECHNIKY POČÍTÁNÍ A PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Multiplikativní princip je technika používaná k řešení problémů počítání najít řešení, aniž by bylo nutné uvést její prvky. To je také známé jako základní princip kombinatorické analýzy; je založeno na postupném násobení k určení toho, jak může dojít k události.

Tato zásada stanoví, že pokud lze rozhodnutí (d ₁) učinit n a jiné rozhodnutí (d ₂) lze učinit m, celkový počet způsobů, jak lze učinit rozhodnutí d ₁ a d _2, bude stejný vynásobit od n _* m. Podle zásady se každé rozhodnutí přijímá jeden po druhém: počet způsobů = N _{1 *} N ₂ … _* N _x způsobů.

Příklady

Příklad 1

Paula plánuje jít se svými přáteli do kina a vybrat si oblečení, které bude nosit, oddělím 3 halenky a 2 sukně. Kolik způsobů se může Paula oblékat?

Řešení

V tomto případě musí Paula učinit dvě rozhodnutí:

d ₁ = Vyberte si ze 3 halenek = n

d ₂ = Vyberte si mezi 2 sukněmi = m

Tímto způsobem má Paula n _* m rozhodnutí dělat různé způsoby oblékání.

n _* m = 3 _* 2 = 6 rozhodnutí.

Multiplikační princip se rodí z techniky stromového diagramu, což je diagram, který se vztahuje na všechny možné výsledky, takže každý z nich může nastat konečný početkrát.

Příklad 2

Mario byl velmi žíznivý, a tak šel do pekárny koupit džus. Luis se o něj stará a říká mu, že má dvě velikosti: velká a malá; a čtyři příchutě: jablko, pomeranč, citron a hroznový. Kolik způsobů může Mario vybrat šťávu?

Řešení

Na obrázku je vidět, že Mario má 8 různých způsobů výběru šťávy a že, jako v multiplikačním principu, je tento výsledek získán vynásobením n _* m. Jediným rozdílem je, že v tomto diagramu můžete vidět, jaké jsou způsoby, jak si Mario vybere šťávu.

Na druhou stranu, pokud je počet možných výsledků velmi vysoký, je praktičtější použít multiplikativní princip.

Techniky počítání

Techniky počítání jsou metody používané k přímému počítání, a tedy znát počet možných uspořádání, která mohou mít prvky dané množiny. Tyto techniky jsou založeny na několika principech:

Princip sčítání

Tento princip uvádí, že pokud nemohou existovat dvě události m a n současně, bude počet způsobů, ve kterých může nastat první nebo druhá událost, součtem m + n:

Počet tvarů = m + n… + x různých tvarů.

Příklad

Antonio chce podniknout výlet, ale nerozhoduje se do kterého cíle; v jižní turistické agentuře vám nabízejí propagaci pro cesty do New Yorku nebo Las Vegas, zatímco východní cestovní agentura doporučuje cestovat do Francie, Itálie nebo Španělska. Kolik různých alternativ cestování vám Antonio nabízí?

Řešení

S agenturou pro jižní turistiku má Antonio 2 alternativy (New York nebo Las Vegas), zatímco u agentury pro východní turistiku má 3 možnosti (Francie, Itálie nebo Španělsko). Počet různých alternativ je:

Počet alternativ = m + n = 2 + 3 = 5 alternativ.

Zásada permutace

Jedná se konkrétně o uspořádání všech nebo některých prvků, které tvoří sadu, pro usnadnění počítání všech možných uspořádání, která mohou být s prvky vytvořena.

Počet permutací n různých prvků, vzatých najednou, je reprezentován jako:

_n P _n = n!

Příklad

Čtyři přátelé chtějí vyfotit a chtějí vědět, kolik různých způsobů, jak mohou být uspořádány.

Řešení

Chcete znát sadu všech možných způsobů, jakými mohou být 4 osoby umístěny pro pořízení snímku. Musíte tedy:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 různých tvarů.

Pokud počet permutací n dostupných prvků je převzat částmi souboru, který je složen z r prvků, je reprezentován jako:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Příklad

Ve třídě je 10 míst. Pokud 4 studenti navštěvují třídu, kolik různých způsobů mohou studenti obsadit pozice?

Řešení

Máme, že celkový počet židlí je 10 a z nich bude použito pouze 4. Pro stanovení počtu permutací se použije daný vzorec:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 způsobů vyplnění pozic.

Existují případy, kdy se některé z dostupných prvků sady opakují (jsou stejné). Pro výpočet počtu polí, které berou všechny prvky současně, se použije následující vzorec:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

Příklad

Kolik různých čtyřpísmenných slov lze vytvořit ze slova „vlk“?

Řešení

V tomto případě existují 4 prvky (písmena), z nichž dva jsou přesně stejné. Při použití daného vzorce je známo, kolik různých slov vede:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ !… n _r !

₄ P2 _{, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P2 _{, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 různých slov.

Princip kombinace

Jde o uspořádání všech nebo některých prvků, které tvoří sadu bez konkrétního pořadí. Například, pokud máte uspořádání XYZ, bude to mezi jiným totožné s dohodami ZXY, YZX, ZYX; je tomu tak proto, že i když nejsou ve stejném pořadí, prvky každého uspořádání jsou stejné.

Když jsou některé prvky (r) převzaty ze sady (n), je princip kombinace dán následujícím vzorcem:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

Příklad

V obchodě prodávají 5 různých druhů čokolády. Kolik různých způsobů výběru 4 čokolády?

Řešení

V tomto případě musí být vybrány 4 čokolády z 5 typů, které prodávají v obchodě. Nezáleží na pořadí, v jakém jsou vybírány, a navíc, druh čokolády může být vybrán více než dvakrát. Při použití vzorce musíte:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 různých způsobů výběru 4 čokolády.

Když se vezmou všechny prvky (r) množiny (n), je kombinační princip dán následujícím vzorcem:

_n C _{n =} n!

Řešená cvičení

Cvičení 1

K dispozici je tým baseballu se 14 členy. Kolik způsobů může být hře přiřazeno 5 pozic?

Řešení

Sada se skládá ze 14 prvků a chcete přiřadit 5 konkrétních pozic; to znamená, na záležitostech záleží. Permutační vzorec se použije tam, kde n dostupné prvky jsou převzaty částmi souboru, který je tvořen r.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Kde n = 14 a r = 5. Ve vzorci je nahrazeno:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 způsobů, jak přiřadit 9 herních pozic.

Cvičení 2

Pokud rodina devíti cestuje a kupuje si lístky s po sobě jdoucími sedadly, kolik různých způsobů se může posadit?

Řešení

Je to asi 9 prvků, které obsadí postupně 9 křesel.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 různých způsobů sezení.

Reference

1. Hopkins, B. (2009). Zdroje pro výuku diskrétní matematiky: Projekty ve třídě, historické moduly a články.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskrétní matematika. Pearson Education,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Řešení konečných a diskrétních matematických problémů. Editoři Asociace pro výzkum a vzdělávání.
4. Padró, FC (2001). Diskrétní matematika. Politèc. Catalunya.
5. Steiner, E. (2005). Matematika pro aplikované vědy. Reverte.