UZAMKNOUT VLASTNOST ALGEBRY: DŮKAZ, PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Zámek vlastnost algebry je jev, který se týká dva prvky sady s operací, kde je nutnou podmínkou je, že po 2 prvky jsou zpracovány v uvedeném provozu, je výsledek také patří do výchozí řady.

Například pokud jsou sudá čísla považována za množinu a součet jako operace, získáme zámek této množiny s ohledem na součet. Je to proto, že součet 2 sudých čísel vždy získá jiné sudé číslo, čímž splní podmínku uzamčení.

Zdroj: unsplash.com

vlastnosti

Existuje mnoho vlastností, které určují algebraické prostory nebo těla, například struktury nebo prsteny. Vlastnost lock je však jednou z nejznámějších v základní algebře.

Ne všechny aplikace těchto vlastností jsou založeny na numerických prvcích nebo jevech. Mnoho každodenních příkladů lze zpracovat z čistě algebraicko-teoretického přístupu.

Příkladem mohou být občané země, kteří mají mezi sebou právní vztahy jakéhokoli druhu, například obchodní partnerství nebo manželství. Po provedení této operace nebo řízení zůstávají občany země. Tímto způsobem představují operace občanství a řízení s ohledem na dva občany zámek.

Numerická algebra

Pokud jde o čísla, existuje mnoho aspektů, které byly předmětem studia v různých proudech matematiky a algebry. Z těchto studií vyplynulo velké množství axiomů a vět, které slouží jako teoretický základ pro současný výzkum a práci.

Pokud pracujeme s numerickými množinami, můžeme pro vlastnost lock stanovit další platnou definici. Soubor A je považován za zámek jiné sady B, pokud A je nejmenší sada, která obsahuje všechny sady a operace, které B obsahuje.

Demonstrace

Důkaz zámku se použije pro prvky a operace přítomné v sadě reálných čísel R.

Nechť A a B jsou dvě čísla, která patří do množiny R, uzavření těchto prvků je definováno pro každou operaci obsaženou v R.

Součet

- Součet: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R

Toto je algebraický způsob, jak říci, že pro všechny A a B, které patří ke skutečným číslům, máme součet A plus B se rovná C, který také patří ke skutečným.

Je snadné zkontrolovat, zda je tento návrh pravdivý; stačí provést součet mezi jakýmkoli skutečným číslem a ověřit, zda výsledek také patří ke skutečným číslům.

3 + 2 = 5 ∈R

-2 + (-7) = -9 ° R

-3 + 1/3 = -8/3 ∈R

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈R

Je pozorováno, že podmínka zámku je splněna pro reálná čísla a součet. Tímto způsobem lze dojít k závěru: Součet reálných čísel je algebraický zámek.

Násobení

- Násobení: ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C = R

Pro všechny A a B, které patří do realit, máme, že násobení A B je rovno C, které také patří realům.

Při ověřování se stejnými prvky jako v předchozím příkladu jsou pozorovány následující výsledky.

3 x 2 = 6 ∈R

-2 x (-7) = 14 ° R

-3 x 1/3 = -1 ∈R

5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈R

To je dost důkazů k závěru, že: Násobení reálných čísel je algebraický zámek.

Tuto definici lze rozšířit na všechny operace reálných čísel, i když najdeme určité výjimky.

Zdroj: pixabay.com

Zvláštní případy v R

Divize

Prvním zvláštním případem je rozdělení, kde je vidět následující výjimka:

∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

Pro všechny A a B, které patří do R, máme, že A mezi B nepatří do realit, pokud a pouze tehdy, když B je rovna nule.

Tento případ se týká omezení nemožnosti dělení nulou. Protože nula patří k reálným číslům, znamená to, že dělení není zámkem reálných čísel.

Podání

Existují také potenciační operace, konkrétně operace radikalizace, kde jsou uvedeny výjimky pro radikální síly rovnoměrného indexu:

Pro všechny A, které patří do realit, n-tý kořen A patří do realů, a pouze tehdy, pokud A patří k pozitivním realům spojeným s množinou, jejíž jediný prvek je nula.

Tímto způsobem se označuje, že sudé kořeny platí pouze pro pozitivní realitu a dochází k závěru, že potenciace není zámkem v R.

Logaritmus

Homologním způsobem to lze vidět pro logaritmickou funkci, která není definována pro hodnoty menší nebo rovné nule. Chcete-li zkontrolovat, zda je logaritmus zámkem R, postupujte takto:

Pro všechny A, které patří k realitám, patří logaritmus A k realitům, pouze tehdy, pokud A patří k pozitivním realitům.

Vyloučením záporných hodnot a nuly, které také patří do R, lze konstatovat, že:

Logaritmus není zámkem reálných čísel.

Příklady

Zkontrolujte zámek pro sčítání a odčítání přirozených čísel:

Součet v N

První věcí je kontrola stavu zámku pro různé prvky dané sady, kde pokud je pozorováno, že některý prvek praskne s podmínkou, může být existence zámku automaticky zamítnuta.

Tato vlastnost platí pro všechny možné hodnoty A a B, jak je vidět v následujících operacích:

1 + 3 = 4 ∈ N

5 + 7 = 12 ° N

1000 + 10000 = 11000 ∈N

Neexistují žádné přirozené hodnoty, které by narušily stav zámku, a proto se dochází k závěru:

Součet je zámek v N.

Odečtěte v N

Hledají se přírodní prvky, které jsou schopny tento stav narušit; A - B patří k domorodcům.

Ovládání je snadné najít páry přírodních prvků, které nesplňují stav zámku. Například:

7 - 10 = -3 ∉ a N

Tímto způsobem můžeme dojít k závěru, že:

Odčítání není zámkem na množině přirozených čísel.

Navrhovaná cvičení

1-Ukaž, zda je vlastnost zámku splněna pro množinu racionálních čísel Q, pro operace sčítání, odčítání, násobení a dělení.

2-Vysvětlete, zda je sada reálných čísel uzamčením celé sady čísel.

3-Určete, která číselná sada může být zámkem reálných čísel.

4-Dokažte vlastnost zámku pro množinu imaginárních čísel s ohledem na sčítání, odčítání, násobení a dělení.

Reference

1. Panorama čisté matematiky: Bourbakistova volba. Jean Dieudonné. Reverte, 1987.
2. Algebraická teorie čísel. Alejandro J. Díaz Barriga, Ana Irene Ramírez, Francisco Tomás. Národní autonomní univerzita v Mexiku, 1975.
3. Lineární algebra a její aplikace. Sandra Ibeth Ochoa García, Eduardo Gutiérrez González.
4. Algebraické struktury V: teorie těla. Hector A. Merklen. Organizace amerických států, generální sekretariát, 1979.
5. Úvod do komutativní algebry. Michael Francis Atiyah, IG MacDonald. Reverte, 1973.