VLASTNOSTI ROVNOSTI - MATEMATIKA - 2025

Tyto vlastnosti rovnosti se vztahují na vztah mezi dvěma matematickými objekty, ať už jsou čísla nebo proměnné. Označuje se symbolem „=“, který vždy přechází mezi těmito dvěma objekty. Tento výraz se používá k prokázání, že dva matematické objekty představují stejný objekt; jinými slovy, že dva objekty jsou to samé.

Existují případy, kdy je používání rovnosti rovné. Například je zřejmé, že 2 = 2. Pokud však jde o proměnné, není již triviální a má konkrétní použití. Například, pokud máme, že y = x a na druhé straně x = 7, můžeme dojít k závěru, že y = 7.

Výše uvedený příklad je založen na jedné z vlastností rovnosti, jak brzy uvidíte. Tyto vlastnosti jsou nezbytné pro řešení rovnic (rovnice zahrnující proměnné), které tvoří velmi důležitou součást matematiky.

Jaké jsou vlastnosti rovnosti?

Reflexní vlastnost

Reflexní vlastnost v případě rovnosti uvádí, že každé číslo se rovná sobě samému a je vyjádřeno jako b = b pro jakékoli reálné číslo b.

V konkrétním případě rovnosti se tato vlastnost jeví jako zřejmá, ale v jiných typech vztahů mezi čísly tomu tak není. Jinými slovy, ne každý vztah reálných čísel splňuje tuto vlastnost. Například takový případ vztahu „méně než“ (<); žádné číslo není menší než samotné.

Symetrická vlastnost

Symetrická vlastnost pro rovnost říká, že pokud a = b, pak b = a. Bez ohledu na to, jaké pořadí je v proměnných použito, bude zachováno vztahem rovnosti.

V případě sčítání lze pozorovat určitou analogii této vlastnosti s komutativní vlastností. Například kvůli této vlastnosti je ekvivalentní zápisu y = 4 nebo 4 = y.

Přechodná vlastnost

Transitivní vlastnost na rovnosti uvádí, že pokud a = ba b = c, pak a = c. Například 2 + 7 = 9 a 9 = 6 + 3; proto, díky tranzitivní vlastnosti, máme 2 + 7 = 6 + 3.

Jednoduchá aplikace je následující: předpokládejme, že Julian má 14 let a že Mario je stejný jako Rosa. Pokud je Rosa stejná jako Julián, jak starý je Mario?

Za tímto scénářem je tranzitivní vlastnost použita dvakrát. Matematicky se interpretuje takto: nechť „a“ je věk Mario, „b“ věk Rosy a „c“ věk Juliana. Je známo, že b = ca c = 14.

Na základě tranzitivní vlastnosti máme b = 14; to znamená, Rosa je 14 let. Protože a = b a b = 14, při opětovném použití tranzitivní vlastnosti máme a = 14; to znamená, že Mario věk je také 14 let.

Jednotná vlastnost

Rovnoměrná vlastnost spočívá v tom, že pokud jsou obě strany rovnosti přidány nebo násobeny stejnou částkou, je rovnost zachována. Například pokud 2 = 2, pak 2 + 3 = 2 + 3, což je jasné, protože 5 = 5. Tato vlastnost je nejužitečnější při pokusu o vyřešení rovnice.

Předpokládejme například, že jste vyzváni k řešení rovnice x-2 = 1. Je vhodné si pamatovat, že řešení rovnice spočívá v výslovném určení proměnné (nebo proměnných), která je součástí, na základě konkrétního čísla nebo dříve určené proměnné.

Vrátíme-li se k rovnici x-2 = 1, musíme explicitně najít, kolik x stojí. Chcete-li to provést, musí být proměnná vymazána.

Bylo chybně učeno, že v tomto případě, protože číslo 2 je záporné, přechází na druhou stranu rovnosti s pozitivním znamením. Není však správné to říkat.

V zásadě to, co děláte, je použití jednotné vlastnosti, jak uvidíme níže. Záměrem je vyčistit „x“; to znamená, nechat to na jedné straně rovnice. Obvykle je obvykle ponechán na levé straně.

Za tímto účelem je číslo „eliminovat“ -2. Způsob, jak to udělat, by bylo přidání 2, protože -2 + 2 = 0 a x + 0 = 0. Aby to bylo provedeno beze změny rovnosti, musí být stejná operace použita na druhou stranu.

To nám umožňuje realizovat uniformní vlastnost: protože x-2 = 1, pokud je číslo 2 přidáno na obou stranách rovnosti, uniformní vlastnost říká, že se nezmění. Pak máme x-2 + 2 = 1 + 2, což je ekvivalentní tomu, že x = 3. Tím by se rovnice vyřešila.

Podobně, pokud chcete vyřešit rovnici (1/5) y-1 = 9, můžete pokračovat s použitím jednotné vlastnosti následujícím způsobem:

Obecněji lze učinit následující prohlášení:

- Pokud ab = cb, pak a = c.

- Pokud xb = y, pak x = y + b.

- Pokud (1 / a) z = b, potom z = a ×

- Pokud (1 / c) a = (1 / c) b, pak a = b.

Zrušení nemovitosti

Vlastnost zrušení je zvláštním případem jednotné vlastnosti, přičemž se bere v úvahu zejména případ odčítání a dělení (což v podstatě také odpovídá sčítání a násobení). Tato vlastnost zachází s tímto případem samostatně.

Například pokud 7 + 2 = 9, pak 7 = 9-2. Nebo pokud 2y = 6, pak y = 3 (děleno dvěma na obou stranách).

Obdobně jako v předchozím případě lze prostřednictvím vlastnosti stornovat následující prohlášení:

- Pokud a + b = c + b, pak a = c.

- Pokud x + b = y, pak x = yb.

- Pokud az = b, pak z = b / a.

- Pokud ca = cb, pak a = b.

Substituční vlastnost

Pokud známe hodnotu matematického objektu, vlastnost substituce uvádí, že tuto hodnotu lze nahradit libovolnou rovnicí nebo výrazem. Například, pokud b = 5 a a = bx, pak nahrazením hodnoty "b" ve druhé rovnosti máme tuto a = 5x.

Další příklad je následující: pokud "m" dělí "n" a také "n" dělí "m", pak musíme mít m = n.

Opravdu, říkat, že “m” dělí “n” (nebo rovnocenně, že “m” je dělitel “n”) znamená to divize m ÷ n je přesná; to znamená, že dělením „m“ na „n“ získáte celé číslo, nikoli desetinné číslo. To lze vyjádřit vyslovením, že existuje celé číslo "k", takže m = k × n.

Protože „n“ také dělí „m“, existuje celé číslo „p“, takže n = p × m. Kvůli substituční vlastnosti máme n = p × k × n, a k tomu dochází dvě možnosti: n = 0, v tomto případě bychom měli identitu 0 = 0; op × k = 1, tedy identita n = n.

Předpokládejme, že „n“ je nenulové. Pak nutně p × k = 1; proto p = 1 a k = 1. Opětovné použití substituční vlastnosti, substitucí k = 1 v rovnosti m = k × n (nebo ekvivalentně, p = 1 v n = p × m), konečně získáme to m = n, což jsme chtěli dokázat.

Majetek moci v rovnosti

Stejně jako dříve bylo vidět, že pokud se operace, jako je sčítání, násobení, odčítání nebo dělení, provádí v obou rovnostech, je zachována, stejným způsobem lze použít i jiné operace, které rovnost nemění.

Klíčem je vždy provést to na obou stranách rovnosti a předem se ujistit, že operace může být provedena. To je případ zmocnění; to znamená, že pokud jsou obě strany rovnice povýšeny na stejnou moc, stále máme rovnost.

Například od 3 = 3, takže 3 ² = 3 ² (9 = 9). Obecně platí, že vzhledem k celému číslu "n", pokud x = y, pak x ⁿ = y ⁿ.

Kořenová vlastnost v rovnosti

Toto je zvláštní případ zmocnění a aplikuje se, když je síla nečíselné racionální číslo, jako je ½, které představuje druhou odmocninu. Tato vlastnost uvádí, že pokud je stejný kořen aplikován na obě strany rovnosti (pokud je to možné), je rovnost zachována.

Na rozdíl od předchozího případu musíte být opatrní s paritou kořene, který se má použít, protože je dobře známo, že sudý kořen záporného čísla není dobře definován.

V případě, že je radikál sudý, není problém. Například pokud x ³ = -8, i když se jedná o rovnost, nemůžete například použít druhou odmocninu na obě strany. Pokud však můžete použít kořen krychle (což je ještě výhodnější, pokud chcete explicitně znát hodnotu x), získejte tedy x = -2.

Reference

1. Aylwin, UK (2011). Logika, množiny a čísla. Mérida - Venezuela: Rada pro publikace, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Math 1 SEP. Práh.
3. Lira, ML (1994). Simon a matematika: matematický text pro druhou třídu: studentská kniha. Andres Bello.
4. Preciado, CT (2005). Matematický kurz 3.. Editorial Progreso.
5. Segovia, BR (2012). Matematické aktivity a hry s Miguelem a Lucíou. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2. matematický kurz. Editorial Progreso.