SLOŽENÁ PROPORCIONALITA: VYSVĚTLENÍ, SLOŽENÉ PRAVIDLO TŘÍ, CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Kompozitní nebo vícenásobné úměrnosti je poměr více než dvou veličin, které lze pozorovat přímo a nepřímé úměrnosti mezi daty a neznáma. Toto je pokročilejší verze jednoduché proporcionality, ačkoli techniky použité v obou postupech jsou podobné.

Například, pokud je potřeba 7 lidí k vyložení 10 tun zboží za 3 hodiny, lze pomocí poměrné proporcionality vypočítat, kolik lidí bude potřebovat k vyložení 15 tun za 4 hodiny.

Zdroj: pixabay.com

Pro zodpovězení této otázky je vhodné vytvořit tabulku hodnot, která bude studovat a spojovat velikosti a neznámé hodnoty.

Pokračujeme v analýze typů vztahů mezi každou velikostí a přítomností neznámou, což v tomto případě odpovídá počtu lidí, kteří budou pracovat.

Jak se váha zboží zvyšuje, zvyšuje se také počet lidí potřebných k jeho vyložení. Z tohoto důvodu je vztah mezi váhou a pracovníky přímý.

Na druhé straně se s rostoucím počtem pracovníků snižuje pracovní doba. Z tohoto důvodu je vztah mezi lidmi a pracovní dobou inverzní.

Jak vypočítat složené proporcionality

K řešení příkladů, jako je ten výše, se většinou používá složené pravidlo tří. To spočívá v nastolení typů vztahů mezi veličinami a neznámými a pak představováním produktu mezi zlomky.

S ohledem na počáteční příklad jsou zlomky odpovídající tabulce hodnot uspořádány takto:

Před vyřešením a vyřešením neznámého však musí být frakce odpovídající inverznímu vztahu obráceny. Které v tomto případě odpovídají variabilnímu času. Tímto způsobem bude řešená operace:

Čí jediný rozdíl je inverze zlomku odpovídající časové proměnné 4/3. Pokračujeme v provozu a vyčistíme hodnotu x.

Aby bylo možné vyložit 15 tun zboží za 4 hodiny nebo méně, je potřeba více než jedenáct lidí.

Vysvětlení

Proporcionalita je stálý vztah mezi veličinami, které podléhají změnám, které budou symetrické pro každé z dotčených veličin. Existují přímo a nepřímo proporcionální vztahy, které definují parametry jednoduché nebo složené proporcionality.

Přímé pravidlo tří

Skládá se z poměrného vztahu mezi proměnnými, které vykazují stejné chování při změně. Je velmi častý při výpočtu procentuálních hodnot s odkazem na velikosti jiné než sto, kde je oceňována jeho základní struktura.

Jako příklad lze vypočítat 15% z 63. Na první pohled nelze toto procento snadno ocenit. Ale při implementaci pravidla tří lze vytvořit následující vztah: pokud 100% je 63, pak 15%, kolik to bude?

100% ---- 63

15% ---– X

A odpovídající operace je:

(15%, 63) / 100% = 9,45

Pokud jsou procentuální znaky zjednodušeny a získá se údaj 9.45, což představuje 15% ze 63.

Inverzní pravidlo tří

Jak již název napovídá, v tomto případě je vztah mezi proměnnými opačný. Před provedením výpočtu musí být vytvořen inverzní vztah. Jeho postup je homologní s postupem přímého pravidla tří, s výjimkou investice do vypočtené frakce.

Například 3 malíři potřebují k dokončení stěny 5 hodin. Za kolik hodin by to dokončili 4 malíři?

V tomto případě je vztah inverzní, protože se zvyšujícím se počtem malířů by se pracovní doba měla snižovat. Vztah je navázán;

3 malíři - 5 hodin

4 malíři - X hodin

Když je vztah obrácen, pořadí operací je obráceno. To je správná cesta;

(3 malíři). (5 hodin) / 4 malíři = 3,75 hodiny

Výraz malíři je zjednodušený a výsledkem je 3,75 hodin.

Stav

Abychom byli v přítomnosti sloučeniny nebo vícenásobné proporcionality, je nutné najít oba typy vztahů mezi velikostmi a proměnnými.

- Direct: Proměnná má stejné chování jako neznámá. To znamená, že když jeden roste nebo klesá, druhý se mění stejně.

- Inverzní: Proměnná má antonymské chování jako chování neznámého. Zlomek, který definuje uvedenou proměnnou v tabulce hodnot, musí být převrácen, aby reprezentoval nepřímo úměrný vztah mezi proměnnou a neznámým.

Ověření výsledků

Při práci se složenými proporcemi je velmi běžné zaměňovat řádovou velikost, na rozdíl od toho, co se děje při obvyklých výpočtech poměrů, jejichž povaha je většinou přímá a řešitelná jednoduchým pravidlem tří.

Z tohoto důvodu je důležité prozkoumat logické pořadí výsledků a ověřit koherenci čísel vytvořených složeným pravidlem tří.

V počátečním příkladu by provedení takové chyby vedlo k výsledku 20. To znamená, že 20 lidí vyloží 15 tun zboží za 4 hodiny.

Na první pohled se to nezdá být šíleným výsledkem, ale je zvědavé zvýšení počtu zaměstnanců téměř o 200% (ze 7 na 20 osob), když je nárůst zboží o 50%, a to i s větším časovým odstupem na provedení práce.

Logické ověření výsledků tedy představuje důležitý krok při implementaci složeného pravidla tří.

Odbavení

Přestože má základní povaha s ohledem na matematický výcvik, povolení představuje důležitý krok v případech proporcionality. Chybná vůle postačuje ke zneplatnění výsledků získaných jednoduchým nebo složeným pravidlem tří.

Dějiny

Vláda tří stala se známá na Západě přes Araby, s publikacemi různých autorů. Mezi nimi Al-Jwarizmi a Al-Biruni.

Al-Biruni měl díky svým multikulturním znalostem při svých cestách do Indie přístup k rozsáhlým informacím o této praxi a byl zodpovědný za nejrozsáhlejší dokumentaci o pravidlech tří.

Ve svém výzkumu uvádí, že Indie byla prvním místem, kde se začalo používat pravidlo tří. Spisovatel ujišťuje, že to bylo provedeno plynule v jeho přímé, inverzní a dokonce i složené verzi.

Přesné datum, kdy se pravidlo tří stalo součástí matematických znalostí Indie, je stále neznámé. Nejstarší dokument věnující se této praxi, Bakhshaliho rukopis, však byl objeven v roce 1881. V současné době je v Oxfordu.

Mnoho historiků matematiky tvrdí, že tento rukopis pochází ze začátku současné doby.

Řešená cvičení

Cvičení 1

Letecká společnost musí přepravit 1 535 osob. Je známo, že se 3 letadly bude trvat 12 dní, než se poslední cestující dostane do cíle. Na leteckou společnost dorazilo 450 dalších lidí a je nařízeno opravit 2 letadla, aby pomohly s tímto úkolem. Kolik dní bude trvat, než letecká společnost převede každého posledního cestujícího na místo určení?

Vztah mezi počtem lidí a pracovními dny je přímý, protože čím větší je počet lidí, tím déle bude na provedení této práce trvat.

Na druhé straně je vztah mezi letadly a dny nepřímo úměrný. S rostoucím počtem letadel klesá počet dní potřebných k přepravě všech cestujících.

Je vytvořena tabulka hodnot vztahujících se k tomuto případu.

Jak je podrobně uvedeno v počátečním příkladu, čitatel a jmenovatel musí být převeden na zlomek odpovídající inverzní proměnné vzhledem k neznámému. Operace je následující:

X = 71460/7675 = 9,31 dnů

Přenášení 1985 lidí pomocí 5 letadel trvá více než 9 dní.

Cvičení 2

Do nákladních vozů se vezme kukuřice o hmotnosti 25 tun. Je známo, že v předchozím roce jim trvalo 8 hodin se mzdou 150 pracovníků. Pokud se v letošním roce mezd zvýší o 35%, jak dlouho bude trvat, než se nákladní automobily naplní 40tunovou plodinou?

Před představením tabulky hodnot musí být definován počet pracovníků pro tento rok. To se zvýšilo o 35% z původních 150 pracovníků. K tomu se používá přímé pravidlo tří.

100% ---- 150

35% ---– X

X = (35,100) / 100 = 52,5. Toto je počet dalších pracovníků v porovnání s předchozím rokem a po zaokrouhlování získané částky je celkový počet 203 pracovníků.

Pokračujeme v definování odpovídající datové tabulky

V tomto případě představuje hmotnost proměnnou přímo související s neznámým časem. Na druhé straně má proměnná pracovníci inverzní vztah s časem. Čím větší počet pracovníků, tím kratší pracovní den.

Bereme-li v úvahu tyto úvahy a převracíme zlomek odpovídající proměnné pracovníků, přistoupíme k výpočtu.

X = 40600/6000 = 6,76 hodin

Cesta bude trvat necelých 7 hodin.

Navrhovaná cvičení

- Definujte 73% z 2875.

- Vypočítejte počet hodin, které Teresa spí, pokud je známo, že za den spí pouze 7% z celkové částky. Definujte, kolik hodin spíte za týden.

- Noviny vydávají 2 000 kopií každých 5 hodin a používají pouze 2 tiskové stroje. Kolik kopií vyrobí za 1 hodinu, pokud použije 7 strojů? Jak dlouho bude trvat 4 000 kopií za použití 4 strojů?

Reference

1. Encyklopedie Alvarez-iniciace. A. Álvarez, Antonio Álvarez Pérez. EDAF, 2001.
2. Kompletní příručka základní a vyšší základní výuky: pro učitele začínající a zejména pro studenty normálních škol provincie, svazek 1. Joaquín Avendaño. Tisk D. Dionisio Hidalgo, 1844.
3. Racionální aproximace skutečných funkcí. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3. března. 2011.
4. Elementární aritmetika pro výuku na školách a vysokých školách ve Střední Americe. Darío González. Spropitné. Arenales, 1926.
5. Studium matematiky: O studiu a obtížích matematiky. Augustus De Morgan. Baldwin a Cradock, 1830.