KOPLANÁRNÍ BODY: ROVNICE, PŘÍKLAD A ŘEŠENÁ CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Všechny koplanární body patří do stejné roviny. Dva body jsou vždy koplanární, protože tyto body definují čáru, kterou procházejí nekonečné roviny. Pak oba body patří do každé z rovin, které prochází linií, a proto budou vždy koplanární.

Na druhou stranu tři body definují jednu rovinu, z čehož vyplývá, že tři body budou vždy v jedné rovině s rovinou, kterou určují.

Obrázek 1. A, B, C a D jsou koplanární k (Ω) rovině. E, F a G nejsou koplanární k (Ω), ale jsou koplanární k rovině, kterou definují. Zdroj: F. Zapata.

Více než tři body mohou být koplanární nebo ne. Například na obrázku 1 jsou body A, B, C a D koplanární k rovině (Ω). Ale E, F a G nejsou koplanární k (Ω), ačkoli jsou koplanární k rovině, kterou definují.

Rovnice letadla s třemi body

Rovnice roviny určená třemi známými body A, B, C je matematický vztah, který zaručuje, že jakýkoli bod P s obecnými souřadnicemi (x, y, z), který splňuje rovnici, patří do uvedené roviny.

Předchozí výrok je rovnocenný s tím, že pokud P souřadnic (x, y, z) splní rovnici roviny, bude uvedený bod koplanární se třemi body A, B, C, které určují rovinu.

Chcete-li najít rovnici této roviny, začněme hledáním vektorů AB a AC:

AB =

AC =

Výsledkem vektorového produktu AB X AC je vektor kolmý nebo kolmý k rovině určené body A, B, C.

Jakýkoli bod P souřadnic (x, y, z) patří do roviny, je-li vektor AP kolmý na vektor AB X AC, což je zaručeno, pokud:

AP • (AB X AC) = 0

To je rovnocenné s tím, že trojitý produkt AP, AB a AC je nula. Výše uvedenou rovnici lze napsat v maticové formě:

Příklad

Nechť body A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) a D (a, 0, 1). Jakou hodnotu musí mít, aby čtyři body byly koplanární?

Řešení

Pro nalezení hodnoty a musí být bod D součástí roviny určené A, B a C, což je zaručeno, pokud splňuje rovnici roviny.

Vývoj determinantu máme:

Předchozí rovnice nám říká, že a = -1 pro splnění rovnosti. Jinými slovy, jediný způsob, jak je bod D (a, 0,1) koplanární s body A, B a C, je a být -1. Jinak to nebude koplanární.

Řešená cvičení

- Cvičení 1

Rovina protíná kartézské osy X, Y, Z na 1, 2 a 3. Průsečík této roviny s osami určuje body A, B a C. Najděte složku Dz bodu D, jejíž karteziánské komponenty jsou:

Za předpokladu, že D je koplanární s body A, B a C.

Řešení

Když jsou známy průsečíky roviny s karteziánskými osami, lze použít segmentovou formu rovnice roviny:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Protože bod D musí patřit do předchozí roviny, musí:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

To znamená:

-Dz + Dz / 2 + 1 + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = 1/2

Dz = -3

Z výše uvedeného vyplývá, že bod D (3, -2, -3) je koplanární s body A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) a C (0, 0, 3).

- Cvičení 2

Určete, zda body A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) a D (2, 3, 1) jsou koplanární.

Řešení

Vytváříme matici, jejíž řádky jsou souřadnice DA, BA a CA. Poté je vypočítán determinant a je ověřeno, zda je nebo není nula.

Po provedení všech výpočtů se dospělo k závěru, že jsou koplanární.

- Cvičení 3

Ve vesmíru jsou dvě řádky. Jedním z nich je čára (R), jejíž parametrická rovnice je:

A druhá je linie (S), jejíž rovnice je:

Ukažte, že (R) a (S) jsou koplanární linie, to znamená, že leží ve stejné rovině.

Řešení

Začněme libovolným získáním dvou bodů na řádku (R) a dvou na řádku (S):

Řádek (R): A = 0; A (1, 1, 1) a A = 1; B (3, 0, 1)

Nechť x = 0 na řádku (S) => y = ½; C (0, 1, 1). A na druhé straně, pokud uděláme y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

To znamená, že jsme vzali body A a B, které patří do linie (R), a body C a D, které patří do linie (S). Pokud jsou tyto body koplanární, pak budou oba řádky také.

Nyní vybereme bod A jako pivot a poté najdeme souřadnice vektorů AB, AC a AD. Tímto způsobem získáte:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

Dalším krokem je sestrojení a výpočet determinantu, jehož první řádek jsou koeficienty vektoru AB, druhý řádek jsou koeficienty AC a třetí řádek koeficienty vektoru AD:

Protože se determinant ukáže jako null, můžeme dojít k závěru, že čtyři body jsou koplanární. Dále lze říci, že linie (R) a (S) jsou také koplanární.

- Cvičení 4

Čáry (R) a (S) jsou koplanární, jak je ukázáno v Cvičení 3. Najděte rovnici roviny, která je obsahuje.

Řešení

Body A, B, C tuto rovinu zcela definují, ale chceme stanovit, že jí náleží jakýkoli bod X souřadnic (x, y, z).

Aby X patřil do roviny definované A, B, C a ve které jsou obsaženy čáry (R) a (S), je nutné, aby determinant tvořil ve své první řadě složkami AX, ve druhé řadě prostřednictvím AB a ve třetím AC AC:

Na základě tohoto výsledku se seskupujeme tímto způsobem:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

A okamžitě uvidíte, že to lze přepsat takto:

x - 1 + 2r - 2 - z + 1 = 0

Proto x + 2y - z = 2 je rovnice roviny, která obsahuje čáry (R) a (S).

Reference

1. Fleming, W. 1989. Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. 2006. Lineární algebra. Pearsonovo vzdělávání.
3. Leal, JM 2005. Plochá analytická geometrie. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektory. Obnoveno z: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Předběžný výpočet. Pearsonovo vzdělávání.
6. Prenowitz, W. 2012. Základní pojmy geometrie. Rowman a Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. Pearsonovo vzdělávání.