Gravicentro je definice, která se velmi používá se v geometrii při práci s trojúhelníky.
Abychom porozuměli definici gravitace, je nejprve nutné znát definici „mediánů“ trojúhelníku.
Mediány trojúhelníku jsou úsečky úsečky, které začínají v každém vrcholu a dosáhnou středu strany naproti tomuto vrcholu.
Průsečík tří mediánů trojúhelníku se nazývá barycenter nebo se také nazývá gravicentrum.
Nestačí jen znát definici, je zajímavé vědět, jak se tento bod počítá.
Výpočet těžiště
Při daném trojúhelníku ABC s vrcholy A = (x1, y1), B = (x2, y2) a C = (x3, y3) je gravicentrum průnikem tří mediánů trojúhelníku.
Rychlý vzorec, který umožňuje výpočet těžiště trojúhelníku a zná souřadnice jeho vrcholů, je:
G = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3).
S tímto vzorcem můžete zjistit polohu graviccentra v kartézské rovině.
Charakteristika Gravicentra
Není nutné nakreslit tři mediány trojúhelníku, protože při kreslení dvou z nich bude zřejmé, kde je gravicentro.
Gravicentro rozděluje každý medián na 2 části, jejichž poměr je 2: 1, to znamená, že dva segmenty každého mediánu jsou rozděleny na segmenty o délkách 2/3 a 1/3 celkové délky, přičemž větší vzdálenost je tím, kde je mezi vrcholem a těžištěm.
Následující obrázek lépe ilustruje tuto vlastnost.
Vzorec pro výpočet gravitace je velmi jednoduchý. Způsob, jak získat tento vzorec, je spočtením přímkových rovnic, které definují každý medián, a poté nalezení průsečíku těchto čar.
Cvičení
Zde je krátký seznam problémů ohledně výpočtu těžiště.
1.- Při použití trojúhelníku se vrcholy A = (0,0), B = (1,0) a C = (1,1) se vypočte těžiště tohoto trojúhelníku.
Na základě daného vzorce lze rychle dojít k závěru, že těžiště trojúhelníku ABC je:
G = ((0 + 1 + 1) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (2/3, 1/3).
2.- Pokud má trojúhelník vrcholy A = (0,0), B = (1,0) a C = (1 / 2,1), jaké jsou souřadnice gravicentra?
Protože jsou vrcholy trojúhelníku známy, přistoupíme k výpočtu vzorce pro výpočet těžiště. Proto má gravicentro souřadnice:
G = ((0 + 1 + 1/2) / 3, (0 + 0 + 1) / 3) = (1/2, 1/3).
3.- Vypočítejte možné gravicentra pro rovnostranný trojúhelník tak, že dva z jeho vrcholů jsou A = (0,0) a B = (2,0).
V tomto cvičení určujete pouze dva vrcholy trojúhelníku. Abychom našli možné gravicentra, musíme nejprve vypočítat třetí vrchol trojúhelníku.
Protože trojúhelník je rovnostranný a vzdálenost mezi A a B je 2, musí být třetí vrchol C ve vzdálenosti 2 od A a B.
Použitím skutečnosti, že v rovnostranném trojúhelníku se výška shoduje se střední hodnotou a také s použitím Pythagorovy věty, lze dojít k závěru, že možnosti pro souřadnice třetího vrcholu jsou C1 = (1, √3) nebo C2 = (1, - - √3).
Souřadnice dvou možných gravicentries jsou:
G1 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0 + √3) / 3) = (3/3, √3 / 3) = (1, √3 / 3), G2 = ((0 + 2 + 1) / 3, (0 + 0-√3) / 3) = (3/3, -√3 / 3) = (1, -3 / 3).
Díky předchozím účtům lze také konstatovat, že medián byl rozdělen na dvě části, jejichž poměr je 2: 1.
Reference
- Landaverde, F. d. (1997). Geometry (Reprint ed.). Pokrok.
- Leake, D. (2006). Trojúhelníky (ilustrované vydání). Heinemann-Raintree.
- Pérez, CD (2006). Přepočet. Pearsonovo vzdělávání.
- Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrie. CR technologie.
- Sullivan, M. (1997). Přepočet. Pearsonovo vzdělávání.
- Sullivan, M. (1997). Trigonometrie a analytická geometrie. Pearsonovo vzdělávání.