CO JSOU TO SIMULTÁNNÍ ROVNICE? (CVIČENÍ VYŘEŠENA) - MATEMATIKA - 2025

Tyto rovnic jsou ty rovnice, které musí být splněny současně. Proto, abyste měli simultánní rovnice, musíte mít více než jednu rovnici.

Když máte dvě nebo více různých rovnic, které musí mít stejné řešení (nebo stejná řešení), říká se, že máte systém rovnic nebo se také říká, že máte simultánní rovnice.

Když máme simultánní rovnice, může se stát, že nemají společná řešení nebo nemají konečné množství nebo nekonečné množství.

Simultánní rovnice

S ohledem na dvě různé rovnice Eq1 a Eq2 vyplývá, že systém těchto dvou rovnic se nazývá simultánní rovnice.

Simultánní rovnice uspokojí, že pokud S je řešením Eq1, pak S je také řešením Eq2 a naopak

vlastnosti

Pokud jde o systém simultánních rovnic, můžete mít 2 rovnice, 3 rovnice nebo N rovnice.

Nejběžnější metody používané k řešení současných rovnic jsou: substituce, vyrovnávání a redukce. Existuje také další metoda zvaná Cramerovo pravidlo, která je velmi užitečná pro systémy více než dvou simultánních rovnic.

Příkladem současných rovnic je systém

Eq1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

Je vidět, že x = 0, y = 2 je řešení Eq1, ale není to řešení Eq2.

Jediným běžným řešením, které mají obě rovnice, je x = 1, y = 1. To znamená, že x = 1, y = 1 je řešením soustavy simultánních rovnic.

Řešená cvičení

Dále přistoupíme k vyřešení systému simultánních rovnic uvedených výše pomocí 3 zmíněných metod.

První cvičení

Vyřešte soustavu rovnic Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 pomocí substituční metody.

Řešení

Substituční metoda spočívá v vyřešení jednoho z neznámých v jedné z rovnic a následném nahrazení v jiné rovnici. V tomto konkrétním případě můžeme vyřešit "y" z Eq1 a dostaneme, že y = 2-x.

Nahrazením této hodnoty «y» v Eq2 dostaneme, že 2x- (2-x) = 1. Proto získáme, že 3x-2 = 1, tj. X = 1.

Poté, protože je známa hodnota x, je nahrazena v "y" a dostaneme, že y = 2-1 = 1.

Jediným řešením pro systém simultánních rovnic Eq1 a Eq2 je tedy x = 1, y = 1.

Druhé cvičení

Vyřešte soustavu rovnic Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 pomocí metody párování.

Řešení

Metoda porovnávání spočívá v řešení stejného neznámého v obou rovnicích a poté přiřazení výsledných rovnic.

Řešením pro "x" z obou rovnic dostaneme, že x = 2-y a x = (1 + y) / 2. Nyní jsou tyto dvě rovnice rovnice a dostaneme, že 2-y = (1 + y) / 2, z čehož vyplývá, že 4-2y = 1 + y.

Seskupení neznámého „y“ na stejné straně má za následek y = 1. Nyní, když je známo „y“, přistoupíme k nalezení hodnoty „x“. Nahrazením y = 1 dostaneme, že x = 2-1 = 1.

Proto společné řešení rovnic Eq1 a Eq2 je x = 1, y = 1.

Třetí cvičení

Vyřešte soustavu rovnic Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 pomocí redukční metody.

Řešení

Metoda redukce spočívá v vynásobení rovnic daných příslušnými koeficienty, takže při přidávání těchto rovnic je jedna z proměnných zrušena.

V tomto konkrétním příkladu není nutné znásobit žádnou rovnici žádným koeficientem, stačí je přidat. Přidáním Eq1 plus Eq2 získáme, že 3x = 3, z čehož získáme, že x = 1.

Při hodnocení x = 1 v Eq1 dostaneme, že 1 + y = 2, z čehož vyplývá, že y = 1.

Proto x = 1, y = 1 je jediným řešením současných rovnic Eq1 a Eq2.

Čtvrté cvičení

Vyřešte systém simultánních rovnic Eq1: 2x-3y = 8 a Eq2: 4x-3y = 12.

Řešení

V tomto cvičení není vyžadována žádná konkrétní metoda, proto lze použít metodu, která je pro každého čtenáře nejpohodlnější.

V tomto případě bude použita metoda redukce. Vynásobením Eq1 -2 se získá rovnice Eq3: -4x + 6y = -16. Nyní, přidáním Eq3 a Eq2 dostaneme, že 3y = -4, proto y = -4 / 3.

Nyní, když hodnotíme y = -4 / 3 v Eq1, dostaneme, že 2x-3 (-4/3) = 8, odkud 2x + 4 = 8, tedy x = 2.

Závěrem lze říci, že jediným řešením systému simultánních rovnic Eq1 a Eq2 je x = 2, y = -4 / 3.

Pozorování

Metody popsané v tomto článku lze aplikovat na systémy s více než dvěma současnými rovnicemi.

Čím více rovnic a čím více neznámých, tím složitější je postup při řešení systému.

Jakákoli metoda řešení soustav rovnic poskytne stejná řešení, to znamená, že řešení nezávisí na použité metodě.

Reference

1. Fuentes, A. (2016). ZÁKLADNÍ MATH. Úvod do počtu. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratické rovnice.: Jak řešit kvadratickou rovnici. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF, a Paul, RS (2003). Matematika pro řízení a ekonomiku. Pearsonovo vzdělávání.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Math 1 SEP. Práh.
5. Preciado, CT (2005). Matematický kurz 3.. Editorial Progreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Tak snadné. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra a trigonometrie. Pearsonovo vzdělávání.