To je nazýváno relativně prvočíslo (coprime nebo jsou relativně prvořadé navzájem), aby jakákoli dvojice celých čísel neměla společného dělitele jiného než 1.
Jinými slovy, dvě celá čísla jsou relativní prvočísla, pokud ve svých rozkladech na prvočísla nemají žádný společný faktor.
Například, pokud jsou vybrány 4 a 25, hlavní faktorizace každého z nich jsou 2² a 5². Jak je vidět, nemají žádné společné faktory, a proto 4 a 25 jsou relativní prvočísla.
Na druhou stranu, pokud jsou vybrány 6 a 24, při provádění jejich rozkladu na hlavní faktory získáme, že 6 = 2 * 3 a 24 = 2³ * 3.
Jak vidíte, tyto poslední dva výrazy mají alespoň jeden společný faktor, proto se nejedná o relativní prvočísla.
Relativní bratranci
Jedním z podrobností, na které je třeba dát pozor, je to, že říkat, že dvojice celých čísel jsou relativní prvočísla, neznamená, že některý z nich je prvočíslo.
Na druhou stranu, výše uvedená definice může být shrnuta následovně: dvě celá čísla „a“ a „b“ jsou relativní prvočísla, pokud, a pouze tehdy, je-li jejich největší společný dělitel 1, tj. Gcd (a, b) = 1.
Dva okamžité závěry z této definice jsou tyto:
- Pokud «a» (nebo «b») je prvočíslo, pak gcd (a, b) = 1.
- Pokud «a» a «b» jsou prvočísla, pak gcd (a, b) = 1.
To znamená, že pokud alespoň jedno z vybraných čísel je prvočíslo, pak je dvojice čísel přímo prvočísla.
Další funkce
Další výsledky, které se používají k určení, zda jsou dvě čísla relativními prvočísly, jsou:
- Pokud jsou dvě celá čísla po sobě, jsou to relativní prvočísla.
- Dvě přirozená čísla "a" a "b" jsou relativní prvočísla, a pouze tehdy, pokud čísla "(2 ^ a) -1" a "(2 ^ b) -1" jsou relativní prvočísla.
- Dvě celá čísla «a» a «b» jsou relativní prvočísla, a to pouze tehdy, když při grafu bodu (a, b) v karteziánské rovině a konstruování linie, která prochází počátkem (0,0) a (a, b), neobsahuje žádný bod s celočíselnými souřadnicemi.
Příklady
1.- Zvažte celá čísla 5 a 12. Rozklady v hlavních faktorech obou čísel jsou: 5 a 2² * 3. Závěrem lze říci, že gcd (5,12) = 1, tedy 5 a 12 jsou relativní prvočísla.
2.- Nechte čísla -4 a 6. Pak -4 = -2² a 6 = 2 * 3, aby LCD (-4,6) = 2 ≠ 1. Na závěr -4 a 6 nejsou relativní prvočísla.
Pokud přistoupíme k grafu přímky, která prochází uspořádanými páry (-4,6) a (0,0), a ke stanovení rovnice uvedené přímky, lze ověřit, že prochází bodem (-2,3).
Znovu se dospělo k závěru, že -4 a 6 nejsou relativní prvočísla.
3.- Čísla 7 a 44 jsou relativní prvočísla a lze je rychle uzavřít díky výše uvedenému, protože 7 je prvočíslo.
4.- Zvažte čísla 345 a 346. Jako dvě po sobě jdoucí čísla se ověřuje, že gcd (345,346) = 1, proto 345 a 346 jsou relativní prvočísla.
5.- Pokud se vezmou v úvahu čísla 147 a 74, jedná se o relativní prvočísla, protože 147 = 3 * 7² a 74 = 2 * 37, proto LCD (147,74) = 1.
6.- Čísla 4 a 9 jsou relativní prvočísla. K prokázání toho lze použít výše uvedenou druhou charakterizaci. Ve skutečnosti 2 ^ 4 - 1 = 16-1 = 15 a 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.
Získaná čísla jsou 15 a 511. Hlavní faktorizace těchto čísel jsou 3 * 5 a 7 * 73, takže gcd (15,511) = 1.
Jak vidíte, použití druhé charakterizace je delší a pracnější prací než přímé ověření.
7.- Zvažte čísla -22 a -27. Pak lze tato čísla přepsat následovně: -22 = -2 * 11 a -27 = -3³. Proto gcd (-22, -27) = 1, takže -22 a -27 jsou relativní prvočísla.
Reference
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Úvod do teorie čísel. EUNED.
- Bourdon, PL (1843). Aritmetické prvky. Knihovna vdov a dětí Calleja.
- Castañeda, S. (2016). Základní kurz teorie čísel. Severní univerzita.
- Guevara, MH (nd). Sada celých čísel. EUNED.
- Vyšší institut vzdělávání učitelů (Španělsko), JL (2004). Čísla, tvary a objemy v prostředí dítěte. Ministerstvo školství.
- Palmer, CI, & Bibb, SF (1979). Praktická matematika: aritmetika, algebra, geometrie, trigonometrie a posuvné pravidlo (dotisk ed.). Reverte.
- Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Tak snadné. Team Rock Press.
- Smith, SA (2000). Algebra. Pearsonovo vzdělávání.
- Szecsei, D. (2006). Základní matematika a před algebra (ilustrované vydání). Kariéra Press.
- Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2. matematický kurz. Editorial Progreso.
- Wagner, G., Caicedo, A., & Colorado, H. (2010). Základní principy aritmetiky. ELIZCOM SAS