CO JSOU KOPLANÁRNÍ VEKTORY? (S ŘEŠENÝMI CVIČENÍMI) - FYZICKÝ - 2025

Tyto koplanární vektory, nebo v jedné rovině, jsou ty, které jsou obsaženy ve stejné rovině. Pokud existují pouze dva vektory, jedná se vždy o koplanár, protože existují nekonečná letadla, je vždy možné vybrat ten, který je obsahuje.

Pokud máte tři nebo více vektorů, je možné, že některé z nich nejsou ve stejné rovině jako ostatní, a proto je nelze považovat za koplanární. Následující obrázek ukazuje sadu koplanárních vektorů označených tučně A, B, C a D:

Obrázek 1. Čtyři koplanární vektory. Zdroj: vlastní výroba.

Vektory souvisejí s chováním a vlastnostmi fyzikálních veličin souvisejících s vědou a technikou; například rychlost, zrychlení a síla.

Síla vyvolává různé účinky na objekt, když se mění způsob, jakým je aplikován, například změnou intenzity, směru a směru. I když změníte pouze jeden z těchto parametrů, výsledky se výrazně liší.

V mnoha aplikacích, jak ve statice, tak v dynamice, jsou síly působící na tělo na stejné rovině, proto jsou považovány za koplanární.

Podmínky pro vektory, které mají být koplanární

Aby byly tři vektory koplanární, musí ležet ve stejné rovině, a to se stane, pokud splňují některou z následujících podmínek:

-Vektory jsou rovnoběžné, proto jsou jejich komponenty proporcionální a lineárně závislé.

-Váš smíšený produkt je nulový.

- Pokud máte tři vektory a každý z nich lze napsat jako lineární kombinaci dalších dvou, jsou tyto vektory koplanární. Například vektor, který je výsledkem součtu dvou dalších, jsou všechny tři ve stejné rovině.

Alternativně lze podmínku coplanarity nastavit takto:

Smíšený produkt mezi třemi vektory

Smíšený produkt mezi vektory je definován třemi vektory u, v a w, což vede ke skaláru, který vyplývá z provedení následující operace:

u · (v x w) = u · (v x w)

Nejprve se provede křížový produkt, který je uveden v závorkách: v x w , jehož výsledkem je normální vektor (kolmý) k rovině, ve které leží v a w .

Pokud u je na stejné rovině jako V a w , přirozeně skalární součin (skalární součin) mezi u a uvedený vektor normály musí být 0. Tímto způsobem je ověřeno, že tři vektory jsou koplanární (které leží ve stejné rovině).

Když směsný produkt není nula, je jeho výsledek roven objemu rovnoběžníku, který má vektory u , v a w jako sousední strany.

Aplikace

Koplanární, souběžné a nekolineární síly

Souběžné síly jsou aplikovány na stejný bod. Pokud jsou také koplanární, mohou být nahrazeny jedinou, která se nazývá výsledná síla a má stejný účinek jako původní síly.

Pokud je tělo v rovnováze díky třem koplanárním silám, souběžným a nekolineálním (ne rovnoběžným), nazývaným A , B a C, Lamyho věta naznačuje, že vztah mezi těmito silami (velikostmi) je následující:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

S α, β a γ jako opačnými úhly k působícím silám, jak ukazuje následující obrázek:

Obrázek 2. Na kopii působí tři koplanární síly A, B a C. Zdroj: Kiwakwok na anglické Wikipedii

Řešená cvičení

-Cvičení 1

Najděte hodnotu k tak, aby následující vektory byly koplanární:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

Řešení

Protože máme složky vektorů, používá se kritérium smíšeného produktu:

u (v x w) = 0

Nejprve vyřešte v x w. Vektory budou vyjádřeny jednotkovými vektory i, j a k, které rozlišují tři kolmé směry v prostoru (šířka, výška a hloubka):

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 i + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

Nyní vezmeme v úvahu skalární součin mezi u a vektorem, který vyplynul z předchozí operace, nastavení operace na 0:

u · (v x w) = (-3 i + k j + 2 k) · (-2 i + 4 j + 9 k) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

Hledaná hodnota je: k = - 6

Takže vektor u je:

u = <-3, -6, 2>

- Cvičení 2

Obrázek ukazuje objekt, jehož hmotnost je W = 600 N, visící v rovnováze díky kabelům umístěným v úhlech znázorněných na obrázku 3. Je v této situaci možné použít Lamyho věta? V každém případě, najít veličiny T ₁, T ₂ a T ₃, které tvoří rovnováha možné.

Obrázek 3. Váha visí v rovnováze působením tří znázorněných napětí. Zdroj: vlastní výroba.

Řešení

Lamyho věta je aplikovatelná v této situaci, pokud je uvažován uzel, na který jsou aplikována tři napětí, protože představují systém koplanárních sil. Nejprve se vytvoří diagram volného těla pro visící závaží, aby se určila velikost T _3:

Obrázek 4. Schéma volného těla pro zavěšení váhy. Zdroj: vlastní výroba.

Z rovnovážného stavu vyplývá, že:

Úhly mezi silami jsou na následujícím obrázku označeny červeně, lze snadno ověřit, že jejich součet je 360 ​​°. Nyní je možné aplikovat Lamyho teorém, protože je známa jedna ze sil a tři úhly mezi nimi:

Obrázek 5.- Červeně úhly pro použití Lamyho věty. Zdroj: vlastní výroba.

T ₁ / sin 127 ° = W / sin 106 °

Proto: T ₁ = sin 127 ° (W / sin 106 °) = 498,5 N

Lamyho věta je opět použita pro řešení pro T ₂:

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

T ₂ = T ₁ = 498,5 N

Reference

1. Figueroa, D. Series: Fyzika pro vědy a inženýrství. Svazek 1. Kinematika. 31-68.
2. Fyzický. Modul 8: Vektory. Obnoveno z: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mechanika pro inženýry. Statický 6. vydání. 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Mechanika pro inženýry: Statika a dynamika. 3. vydání. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vektor. Obnoveno z: es.wikipedia.org.