SÉRIE VÝKONŮ: PŘÍKLADY A CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Síla série se skládá z součtu podmínek ve formě pravomocí proměnné x, nebo obecněji XC, kde c je konstanta reálné číslo. V notaci sumace je řada sil vyjádřena takto:

Kde koeficienty a _o, a ₁, a ₂ … jsou reálná čísla a řada začíná na n = 0.

Obrázek 1. Definice výkonové řady. Zdroj: F. Zapata.

Tato řada je soustředěna na hodnotu c, která je konstantní, ale můžete si vybrat, že c se rovná 0, v takovém případě se výkonová řada zjednoduší na:

Série začínají a _nebo (xc) ⁰ respektive a _nebo x ⁰. Ale víme, že:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Proto _o (XC) ⁰ = a _nebo x ⁰ = a _o (nezávisle termín)

Dobrá věc u výkonových řad je, že funkce lze s nimi vyjádřit, a to má mnoho výhod, zejména pokud chcete pracovat se složitou funkcí.

V takovém případě použijte místo přímého použití funkce rozšíření řady výkonů, což může být snazší odvodit, integrovat nebo pracovat numericky.

Všechno je samozřejmě podmíněno sbližováním série. Řada konverguje, když přidání určitého velkého počtu termínů dává pevnou hodnotu. A pokud přidáme další podmínky, budeme tuto hodnotu nadále získávat.

Funkce jako výkonové řady

Jako příklad funkce vyjádřené jako mocninová řada vezměme f (x) = e ^x.

Tato funkce může být vyjádřena pomocí řady pravomocí takto:

a ^x ≈ 1 + x + (x ² /2!) + (x ³ /3!) + (x ⁴ /4!) + (x ⁵ /5!) +…

Kde! = n. (n-1). (n-2). (n-3)… a trvá 0! = 1.

Hodláme zkontrolovat pomocí kalkulačky, zda se řada skutečně shoduje s explicitně danou funkcí. Například začneme tím, že x = 0.

Víme, že e ⁰ = 1. Uvidíme, co série dělá:

a ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ /5!) +… = 1

A teď zkusme x = 1. Kalkulačka vrátí, že e ¹ = 2,71828, a pak se porovnáme s řadou:

a ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ³ /3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ /5!) +… = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167

Pouze s 5 termíny již máme přesnou shodu v e ≈ 2,71. Naše série má ještě trochu víc, ale jak se přidají další termíny, řada se jistě sbližuje s přesnou hodnotou e. Reprezentace je přesná, když n → ∞.

Pokud se předchozí analýza opakuje pro n = 2, získají se velmi podobné výsledky.

Tímto způsobem jsme si jisti, že exponenciální funkce f (x) = e ^x může být reprezentována touto řadou sil:

Obrázek 2. V této animaci vidíme, jak se mocenská řada přibližuje k exponenciální funkci, jak se bere více termínů. Zdroj: Wikimedia Commons.

Geometrická řada sil

Funkce f (x) = e ^x není jedinou funkcí, která podporuje reprezentaci výkonových řad. Například funkce f (x) = 1/1 - x vypadá podobně jako známé konvergentní geometrické řady:

Stačí udělat a = 1 a r = x, abychom získali řadu vhodnou pro tuto funkci, která je vystředěna na c = 0:

Je však známo, že tato řada je konvergentní pro │r│ <1, proto je reprezentace platná pouze v intervalu (-1,1), ačkoli funkce je platná pro všechny x, s výjimkou x = 1.

Pokud chcete tuto funkci definovat v jiném rozsahu, jednoduše se zaměřte na vhodnou hodnotu a jste hotovi.

Jak najít sériové rozšíření pravomocí funkce

Jakákoli funkce může být vyvinuta v mocninné řadě zaměřené na c, pokud má deriváty všech objednávek na x = c. Procedura využívá následující věty zvané Taylorova věta:

Nechť f (x) je funkce s deriváty řádu n, označená jako f ⁽ⁿ⁾, která připouští sériové rozšíření sil v intervalu I. Jeho sériový vývoj Taylora je:

Aby:

Kde R _n, který je n-tým členem řady, se nazývá zbytek:

Když c = 0, série se nazývá Maclaurinová řada.

Tato řada, která je zde uvedena, je totožná s řadou uvedenou na začátku, teprve nyní máme způsob, jak explicitně najít koeficienty každého termínu, dané:

Musíme však zajistit, aby se série konvergovala k reprezentované funkci. Stává se, že ne každá Taylorova řada nutně konverguje k f (x), které bylo třeba mít na paměti při výpočtu koeficientů na _n.

To se děje proto, že se deriváty funkce, vyhodnocené při x = c, shodují se stejnou hodnotou derivátů jiné, také při x = c. V tomto případě by koeficienty byly stejné, ale vývoj by byl dvojznačný, protože není jisté, s jakou funkcí odpovídá.

Naštěstí existuje způsob, jak to vědět:

Konvergenční kritérium

Aby se zabránilo dvojznačnosti, pokud R _n → 0 jako n → ∞ pro všechny x v intervalu I, série konverguje na f (x).

Cvičení

- Cvičení vyřešeno 1

Najděte geometrickou výkonovou řadu pro funkci f (x) = 1/2 - x vystředěné na c = 0.

Řešení

Daná funkce musí být vyjádřena tak, aby se co nejvíce shodovala s 1 / 1- x, jejíž série je známa. Přepíšme tedy čitatele a jmenovatele, aniž bychom změnili původní výraz:

1/2 - x = (1/2) /

Protože ½ je konstantní, vychází ze součtu a je psán jako nová proměnná x / 2:

Všimněte si, že x = 2 nepatří do domény funkce a podle konvergenčního kritéria uvedeného v části Geometrická řada výkonů je expanze platná pro │x / 2│ <1 nebo ekvivalentně -2 <x <2.

- Cvičení vyřešeno 2

Najděte prvních 5 termínů rozšíření řady Maclaurinů funkce f (x) = sin x.

Řešení

Krok 1

První jsou deriváty:

-Divivita řádu 0: je to stejná funkce f (x) = sin x

-První derivace: (sin x) ´ = cos x

-Druhá derivace: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Druhá derivace: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Čtvrtá derivace: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

Krok 2

Pak je každý derivát vyhodnocen při x = c, stejně jako expanze maklaurinu, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0

Krok 3

Koeficienty a _{n jsou konstruovány};

a _o = 0/0! = 0; a ₁ = 1/1! = 1; a ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3!; a ₄ = 0/4! = 0

Krok 4

Nakonec je řada sestavena podle:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0.x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ +…

Potřebuje čtenář více termínů? O kolik více je řada blíže funkci.

Všimněte si, že existuje koeficient v koeficientech, další nenulový člen je ₅ a všechny ty, které mají lichý index, se také liší od 0 a střídají se znaménka, takže:

sin x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Je ponecháno na cvičení, aby se zkontrolovalo, že konverguje, kvocientové kritérium lze použít pro konvergenci řady.

Reference

1. Nadace CK-12. Power Series: reprezentace funkcí a operací. Obnoveno z: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Integrální počet. Národní univerzita v Litoralu.
3. Larson, R. 2010. Výpočet proměnné. 9. Edice. McGraw Hill.
4. Matematika zdarma texty. Série výkonů. Obnoveno z: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Série výkonů. Obnoveno z: es.wikipedia.org.