TORRICELLIHO VĚTA: Z ČEHO SE SKLÁDÁ, VZORCE A CVIČENÍ - FYZICKÝ - 2025

Věta Torricelli nebo zásada Torrincelliho uvádí, že rychlost kapaliny vystupující z otvoru ve stěně nádrže nebo kontejneru, je identická se získá objekt je volně pádu z výšky, která se rovná ploše bez kapaliny do díry.

Věta je ilustrována na následujícím obrázku:

Ilustrace Torricelliho věty. Zdroj: vlastní výroba.

V důsledku Torricelliho věty pak můžeme konstatovat, že výstupní rychlost kapaliny skrz otvor, který je ve výšce h pod volným povrchem kapaliny, je dána následujícím vzorcem:

Kde g je zrychlení gravitace a h je výška od otvoru k volnému povrchu kapaliny.

Evangelista Torricelli byl fyzik a matematik narozený ve městě Faenza v Itálii v roce 1608. Torricelli je připisován vynález rtuťového barometru a jako uznání existuje tlaková jednotka zvaná „torr“, což odpovídá jednomu milimetru rtuti (mm Hg).

Důkaz věty

V Torricelliho větě a ve vzorci, který udává rychlost, se předpokládá, že ztráty viskozity jsou zanedbatelné, stejně jako ve volném pádu se předpokládá, že tření způsobené vzduchem obklopujícím padající objekt je zanedbatelné.

Výše uvedený předpoklad je ve většině případů přiměřený a zahrnuje také zachování mechanické energie.

Abychom dokázali teorém, najdeme nejprve vzorec pro rychlost pro objekt, který se uvolní s nulovou počáteční rychlostí, ze stejné výšky jako hladina kapaliny v nádrži.

Princip zachování energie bude aplikován pro dosažení rychlosti padajícího objektu právě poté, co sestoupí na výšku h rovnou výšce z díry na volný povrch.

Protože nedochází k třecím ztrátám, platí zásada zachování mechanické energie. Předpokládejme, že padající předmět má hmotnost ma výška h se měří od výstupní hladiny kapaliny.

Padající objekt

Když je předmět uvolněn z výšky rovné výšce volného povrchu kapaliny, je jeho energie pouze gravitačním potenciálem, protože jeho rychlost je nulová, a proto je jeho kinetická energie nulová. Potenciální energie Ep je dána:

Ep = mgh

Když prochází před otvorem, jeho výška je nula, pak potenciální energie je nula, takže má pouze kinetickou energii Ec danou:

Ec = ½ mv ²

Protože energie je zachována Ep = Ec z toho, co je získáno:

½ mv ² = mgh

Při řešení rychlosti v se získá Torricelliho vzorec:

Kapalina vycházející z díry

Dále najdeme výstupní rychlost kapaliny skrz otvor, abychom ukázali, že se kryje s tou, která byla právě vypočtena pro volně padající objekt.

Za tímto účelem se budeme opírat o Bernoulliho princip, který není ničím jiným než zachováním energie aplikované na tekutiny.

Bernoulliho princip je formulován takto:

Interpretace tohoto vzorce je následující:

• První člen představuje kinetickou energii tekutiny na jednotku objemu
• Druhý představuje práci provedenou tlakem na jednotku průřezové plochy
• Třetí představuje gravitační potenciální energii na jednotku objemu tekutiny.

Když vycházíme z předpokladu, že je to ideální tekutina, v turbulentních podmínkách s relativně nízkými rychlostmi, je vhodné potvrdit, že mechanická energie na jednotku objemu tekutiny je konstantní ve všech jejích regionech nebo průřezech.

V tomto vzorci V je rychlost tekutiny, ρ hustota kapaliny, P tlak a z vertikální poloha.

Obrázek níže ukazuje Torricelliho vzorec vycházející z Bernoulliho principu.

Bernoulliho vzorec aplikujeme na volný povrch kapaliny, kterou označíme (1), a na výstupní otvor, který označíme (2). Úroveň nulové hlavy byla vybrána v jedné rovině s výstupním otvorem.

Za předpokladu, že průřez v (1) je mnohem větší než v (2), pak můžeme předpokládat, že rychlost klesání kapaliny v (1) je prakticky zanedbatelná.

Z tohoto důvodu je V ₁ = 0, tlak, kterému je kapalina vystavena v (1), je atmosférický tlak a výška měřená z otvoru je h.

Pro výstupní část (2) předpokládáme, že výstupní rychlost je v, tlak, kterému je kapalina vystavena na výstupu, je také atmosférický tlak a výstupní výška je nula.

Hodnoty odpovídající částem (1) a (2) jsou nahrazeny Bernoulliho rovnicí a nastaveny na stejnou hodnotu. Rovnost platí, protože předpokládáme, že tekutina je ideální a nedochází ke ztrátám viskózního tření. Jakmile jsou všechny podmínky zjednodušeny, získá se rychlost na výstupním otvoru.

Rámeček výše ukazuje, že získaný výsledek je stejný jako výsledek volně padajícího předmětu,

Řešená cvičení

Cvičení 1

I) Malé výstupní potrubí vodní nádrže je 3 m pod hladinou vody. Vypočítejte výstupní rychlost vody.

Řešení:

Následující obrázek ukazuje, jak se v tomto případě používá Torricelliho vzorec.

Cvičení 2

II) Za předpokladu, že výstupní potrubí nádrže z předcházejícího cvičení má průměr 1 cm, vypočítejte výstupní průtok vody.

Řešení:

Průtok je objem kapaliny vystupující za jednotku času a vypočítává se jednoduše vynásobením plochy výstupního otvoru výstupní rychlostí.

Následující obrázek ukazuje podrobnosti výpočtu.

Cvičení 3

III) Pokud víte, jak vysoký je volný povrch vody v nádobě

že v díře na dně nádoby voda vytéká rychlostí 10 m / s.

Řešení:

I když je otvor ve spodní části kontejneru, Torricelliho vzorec lze stále aplikovat.

Následující obrázek ukazuje podrobnosti výpočtů.

Reference

1. Wikipedia. Torricelliho věta.
2. Hewitt, P. Konceptuální fyzikální věda. Páté vydání.119.
3. Young, Hugh. 2016. Univerzita fyziky Sears-Zemanského s moderní fyzikou. 14. vydání, Pearson. 384.