TRAJEKTORIE VE FYZICE: VLASTNOSTI, TYPY, PŘÍKLADY A CVIČENÍ - FYZICKÝ - 2025

Trajektorie ve fyzice je křivka, která mobilní popisuje, jak prochází po sobě jdoucích bodech při pohybu. Protože to může mít mnoho variant, tak budou trajektorie, které může mobil sledovat.

Aby se člověk dostal z jednoho místa na druhé, může se vydat různými cestami a různými způsoby: pěšky chodníky v ulicích a ulicích, nebo přijet autem nebo motocyklem na dálnici. Během procházky lesem může turista sledovat komplikovanou cestu, která zahrnuje zatáčky, stoupání nebo klesání v úrovni a dokonce několikrát procházet stejným bodem.

Obrázek 1. Sjednocením koncových bodů každého polohového vektoru se získá cesta, po které následuje částice. Zdroj: Algarabia

Pokud body, kterými mobilní telefon cestuje, sledují přímou linii, bude trajektorie přímočará. Toto je nejjednodušší cesta, protože je jednorozměrná. Určení polohy vyžaduje jednu souřadnici.

Mobil však může sledovat křivočarou cestu a může být zavřený nebo otevřený. V těchto případech vyžaduje sledování polohy dvě nebo tři souřadnice. Jedná se o pohyby v rovině, respektive ve vesmíru. To souvisí s vazbami: omezuje materiální podmínky pohybu. Některé příklady jsou:

- Oběžné dráhy popisující planety kolem Slunce jsou uzavřené cesty ve tvaru elipsy. Ačkoli, v některých případech, oni mohou být přiblížení k oběžníku, jako v případě Země.

- Míč, který brankář kope do branky, sleduje parabolickou trajektorii.

- Pták v letu popisuje křivočaré trajektorie ve vesmíru, protože kromě pohybu v letadle může podle své vůle také jít nahoru nebo dolů.

Trajektorii ve fyzice lze vyjádřit matematicky, když je poloha mobilního telefonu známa v kterémkoli okamžiku. Nechť r je polohový vektor, který má zase souřadnice x, y a z v obecnějším případě trojrozměrného pohybu. Známe funkci r (t), trajektorie bude zcela určena.

Typy

Obecně lze říci, že trajektorie může být poněkud komplikovanou křivkou, zejména pokud ji chcete vyjádřit matematicky. Z tohoto důvodu začíná u nejjednodušších modelů, kde se mobilní telefony pohybují po přímce nebo v rovině, kterou může být podlaha nebo jakákoli jiná vhodná:

Pohyby v jedné, dvou a třech rozměrech

Nejstudovanější trajektorie jsou:

- Přímočará při cestování po přímé vodorovné, svislé nebo šikmé čáře. Kulička házená svisle nahoru sleduje tuto cestu nebo následuje předmět, který sklouzává dolů po svahu. Jsou to jednorozměrné pohyby, stačí jedna souřadnice, aby zcela určily svou polohu.

- Parabolický, ve kterém mobil popisuje parabolový oblouk. To je časté, protože jakýkoli předmět hodený šikmo působením gravitace (projektil) sleduje tuto trajektorii. Chcete-li určit polohu mobilního telefonu, musíte zadat dvě souřadnice: xay.

- Kruhový, nastane, když pohybující se částice následuje kruh. To je také běžné v přírodě a v každodenní praxi. Mnoho každodenních předmětů sleduje kruhovou cestu, jako jsou pneumatiky, části strojů a obíhající satelity, abych uvedla několik příkladů.

- Eliptický, objekt se pohybuje po elipse. Jak bylo řečeno na začátku, je to cesta, po které následují planety na oběžné dráze kolem Slunce.

- Hyperbolické, astronomické objekty působící centrální silou (gravitací) mohou sledovat eliptické (uzavřené) nebo hyperbolické (otevřené) trajektorie, přičemž tyto jsou méně časté než ty předchozí.

- Spirálový nebo spirálový pohyb, jako pohyb ptáka stoupajícího v tepelném proudu.

- Kyvný pohyb nebo kyvadlo, mobil popisuje oblouky při pohybu tam a zpět.

Příklady

Trajektorie popsané v předchozí části jsou velmi užitečné k rychlému získání představy o tom, jak se objekt pohybuje. V každém případě je nutné objasnit, že trajektorie mobilního telefonu závisí na poloze pozorovatele. To znamená, že stejnou událost lze vidět různými způsoby, v závislosti na tom, kde je každá osoba.

Například, dívka šlapá konstantní rychlostí a hodí míč nahoru. Všimne si, že míč popisuje přímočarou cestu.

Avšak pro pozorovatele stojícího na silnici, který ji vidí, bude mít míč parabolický pohyb. Míč byl zpočátku hozen šikmou rychlostí, což je výsledek rychlosti vzhůru dívčí rukou a rychlosti kola.

Obrázek 2. Tato animace ukazuje vertikální házení míče, které vytvořila dívka jedoucí na kole, jak to vidí (přímočará trajektorie) a jak to pozorovatel vidí (parabolická trajektorie). (Připravil F. Zapata).

Cesta mobilu explicitním, implicitním a parametrickým způsobem

- Explicitní, přímé určení křivky nebo lokusu dané rovnicí y (x)

- Implicitní, ve kterém je křivka vyjádřena jako f (x, y, z) = 0

- Parametrické, tímto způsobem jsou souřadnice x, yaz z uváděny jako funkce parametru, který je obecně vybrán jako čas t. V tomto případě se trajektorie skládá z funkcí: x (t), y (t) a z (t).

Dále jsou podrobně popsány dvě trajektorie, které byly široce studovány v kinematice: parabolická trajektorie a kruhová trajektorie.

Nakloněné spuštění do prázdnoty

Objekt (projektil) je hozen v úhlu a s horizontální a počáteční rychlostí v _o, jak je znázorněno na obrázku. Odpor vzduchu se nebere v úvahu. Pohyb lze považovat za dva nezávislé a současné pohyby: jeden horizontální s konstantní rychlostí a druhý vertikální působením gravitace.

Tyto rovnice jsou parametrické rovnice spuštění projektilu. Jak je vysvětleno výše, mají společný parametr t, což je čas.

V pravém trojúhelníku na obrázku je vidět:

Obrázek 3. Parabolická trajektorie následovaná projektilem, na kterém jsou znázorněny složky vektoru rychlosti. H je maximální výška a R je maximální vodorovný dosah. Zdroj: Ayush12gupta

Nahrazení těchto rovnic obsahujících spouštěcí úhel do výsledků parametrických rovnic:

Rovnice parabolické dráhy

Explicitní rovnice cesty se najde řešením t z rovnice pro x (t) a nahrazením v rovnici za y (t). Pro usnadnění algebraické práce lze předpokládat, že počátek (0,0) je umístěn v bodě startu, a tedy x _o = y _o = 0.

Toto je rovnice cesty v explicitní podobě.

Kruhová cesta

Kruhová cesta je dána:

Obrázek 4. Částice se pohybuje v kruhové dráze v rovině. Zdroj: upravil F. Zapata z Wikimedia Commons.

Zde x _nebo yy _o představují střed obvodu popsaného mobilem a R je jeho poloměr. P (x, y) je bod na cestě. Ze stínovaného pravého trojúhelníku (obrázek 3) je vidět, že:

Parametrem je v tomto případě úhel 9, který se nazývá úhlové posunutí. Ve zvláštním případě, že úhlová rychlost ω (úhel natočený za jednotku času) je konstantní, lze konstatovat, že:

Kde θ _o je počáteční úhlová poloha částice, která, pokud je vzata jako 0, se zmenší na:

V takovém případě se čas vrací do parametrických rovnic jako:

Jednotkové vektory i a j jsou velmi výhodné pro zápis polohové funkce objektu r (t). Označují směry na ose x a na ose y. Ve smyslu, pozice částice, která popisuje jednotný kruhový pohyb, je:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j

Řešená cvičení

Vyřešené cvičení 1

Dělo může vystřelit kulku rychlostí 200 m / sa úhlem 40 ° vzhledem k horizontále. Pokud je házení na rovině a odpor vzduchu je zanedbán, vyhledejte:

a) Rovnice cesty y (x)..

b) parametrické rovnice x (t) a y (t).

c) Vodorovný rozsah a doba, po kterou projektil vydrží ve vzduchu.

d) Výška, ve které je projektil, když x = 12 000 m

Řešení)

a) K nalezení trajektorie se nahradí hodnoty uvedené v rovnici y (x) předchozí sekce:

Řešení b)

b) Počáteční bod je vybrán na počátku souřadnicového systému (0,0):

Řešení c)

c) Chcete-li najít čas, který projektil vydrží ve vzduchu, nechť y (t) = 0, spuštění se uskuteční na rovině:

Maximální vodorovný dosah je nalezen nahrazením této hodnoty v x (t):

Dalším způsobem, jak najít x _max přímo, je nastavení y = 0 v rovnici cesty:

V důsledku zaokrouhlení desetinných míst je malý rozdíl.

Řešení d)

d) Pro nalezení výšky, když x = 12000 m, je tato hodnota nahrazena přímo v rovnici dráhy:

Cvičení vyřešeno 2

Poziční funkce objektu je dána:

r (t) = 3 t i + (4 -5 t ²) j m

Nalézt:

a) Rovnice pro cestu. Jaká je křivka?

b) Počáteční poloha a poloha, když t = 2 s.

c) Posunutí provedené po t = 2 s.

Řešení

a) Polohová funkce byla dána jednotkovými vektory i a j, které určují směr v osách xay, proto:

Rovnice cesty y (x) je nalezena řešením t z x (t) a nahrazením v y (t):

b) Výchozí poloha je: r (2) = 4 j m; poloha při t = 2 s je r (2) = 6 i -16 j m

c) Posun Dr je odečtením dvou polohových vektorů:

Cvičení vyřešeno 3

Země má poloměr R = 6300 km a je známo, že doba rotace jejího pohybu kolem její osy je jeden den. Nalézt:

a) Rovnice trajektorie bodu na zemském povrchu a jeho polohová funkce.

b) Rychlost a zrychlení tohoto bodu.

Řešení)

a) Poziční funkce pro jakýkoli bod na kruhové oběžné dráze je:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j

Máme poloměr Země R, ale ne úhlovou rychlost ω, lze ji však vypočítat z období, protože víme, že pro kruhový pohyb platí, že:

Doba pohybu je: 1 den = 24 hodin = 1440 minut = 86 400 sekund, proto:

Nahrazování ve funkci pozice:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j = 6300 (cos 0,000023148t i + sin 0,000023148t j) Km

Cesta v parametrické podobě je:

Řešení b)

b) V případě kruhového pohybu souvisí velikost lineární rychlosti v bodu s úhlovou rychlostí w pomocí:

I když jde o pohyb s konstantní rychlostí 145,8 m / s, existuje zrychlení, které ukazuje směrem ke středu kruhové oběžné dráhy, což je zodpovědné za udržování bodu v rotaci. Je to centripetální zrychlení v _c, dané:

Reference

1. Giancoli, D. Fyzika. (2006). Principy s aplikacemi. 6 ^th Prentice Hall. 22-25.
2. Kirkpatrick, L. 2007. Fyzika: Pohled na svět. 6 ^ta Editace ve zkratce. Cengage Learning. 23 - 27.
3. Resnick, R. (1999). Fyzický. Svazek 1. Třetí vydání ve španělštině. Mexiko. Compañía Editorial Continental SA de CV 21-22.
4. Rex, A. (2011). Základy fyziky. Pearson. 33 - 36
5. Sears, Zemansky. (2016). Univerzitní fyzika s moderní fyzikou. 14 ^th. Ed. Volume1. 50 - 53.
6. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fyzika pro vědu a techniku. Objem ^{1,7 ma}. Edice. Mexiko. Cengage Learning Editors. 23-25.
7. Serway, R., Vulle, C. (2011). Základy fyziky. 9 ^na Ed. Cengage Learning. 43 - 55.
8. Wilson, J. (2011). Fyzika 10. Pearsonovo vzdělávání. 133-149.