VEKTOR REŽISÉRA: ROVNICE PŘÍMKY, ŘEŠENÁ CVIČENÍ - FYZICKÝ - 2025

Vektorem režiséra se rozumí vektor, který definuje směr přímky, buď v rovině, nebo v prostoru. Proto vektor rovnoběžný s čarou může být považován za směrovací vektor.

To je možné díky axiomu euklidovské geometrie, která říká, že dva body definují čáru. Potom orientovaný segment tvořený těmito dvěma body také definuje řídící vektor této linie.

Obrázek 1. Řídící vektor čáry. (Vlastní zpracování)

Vzhledem k bodu P patřícímu k linii (L) a danému řídícímu vektoru u této linie je linie zcela určena.

Rovnice přímky a režiséra vektoru

Obrázek 2. Rovnice přímky a vektoru ředitele. (Vlastní zpracování)

Vzhledem k bodu P souřadnic P: (Xo, I) a vektoru u ředitele čáry (L) musí každý bod Q souřadnic Q: (X, Y) vyhovět tomu, že vektor PQ je rovnoběžný s u. Tato poslední podmínka je zaručena, pokud je PQ úměrná u:

PQ = t⋅ u

ve výše uvedeném výrazu t je parametr, který patří ke skutečným číslům.

Pokud jsou psány kartézské složky PQ a u, je výše uvedená rovnice zapsána takto:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Pokud jsou složky vektorové rovnosti vyrovnány, získá se následující dvojice rovnic:

X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t

Parametrická rovnice přímky

Souřadnice X a Y bodu patřícího k přímce (L), která prochází souřadným bodem (Xo, Yo) a je rovnoběžná s vektorem režiséra u = (a, b), se určují přiřazením reálných hodnot proměnnému parametru t:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

Příklad 1

Pro ilustraci významu parametrické rovnice přímky bereme jako směrovací vektor

u = (a, b) = (2, -1)

a jako známý bod linky bod

P = (Xo, I) = (1, 5).

Parametrická rovnice přímky je:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1 t; -∞

Pro ilustraci významu této rovnice je znázorněn obrázek 3, kde parametr t mění svou hodnotu a bod Q souřadnic (X, Y) zaujímá různé polohy na přímce.

Obrázek 3. PQ = t u. (Vlastní zpracování)

Linka ve vektorovém tvaru

Vzhledem k bodu P na řádku a jeho řídícímu vektoru u lze rovnici řádku napsat ve vektorové podobě:

OQ = OP + ⋅⋅ u

Ve výše uvedené rovnici je Q libovolný bod, ale patřící k přímce, a λ je skutečné číslo.

Vektorová rovnice přímky je použitelná pro libovolný počet rozměrů, lze definovat i hyperlinku.

V trojrozměrném případě pro vektor režiséra u = (a, b, c) a bod P = (Xo, Yo, Zo) jsou souřadnice obecného bodu Q = (X, Y, Z) náležejícího k linii:

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + ⋅⋅ (a, b, c)

Příklad 2

Zvažte znovu čáru, která má jako směrovací vektor

u = (a, b) = (2, -1)

a jako známý bod linky bod

P = (Xo, I) = (1, 5).

Vektorová rovnice uvedené linie je:

(X, Y) = (1, 5) + X (2, -1)

Spojitá forma čáry a vektoru režiséra

Počínaje parametrickým tvarem, vymazáním a vyrovnáním parametru λ máme:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Toto je symetrická forma rovnice přímky. Všimněte si, že a, b a c jsou komponenty vektoru režiséra.

Příklad 3

Zvažte čáru, která má jako směrovací vektor

u = (a, b) = (2, -1)

a jako známý bod linky bod

P = (Xo, I) = (1, 5). Najděte jeho symetrický tvar.

Symetrický nebo spojitý tvar linky je:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Obecná podoba rovnice přímky

Obecný tvar čáry v rovině XY je známý jako rovnice, která má následující strukturu:

A⋅X + B⋅Y = C

Výraz pro symetrickou formu lze přepsat tak, aby měl obecnou podobu:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

ve srovnání s obecným tvarem linie je to:

A = b, B = -a a C = b⋅Xo - a⋅Yo

Příklad 3

Najděte obecnou podobu čáry, jejíž vektor režiséra je u = (2, -1)

a to prochází bodem P = (1, 5).

K nalezení obecné formy můžeme použít dané vzorce, bude však vybrána alternativní cesta.

Začneme tím, že najdeme duální vektor w řídícího vektoru u, definovaný jako vektor získaný výměnou složek u a vynásobením druhého koeficientem -1:

w = (-1, -2)

duální vektor w odpovídá otočení o 90 ° ve směru hodinových ručiček o ředitel vektoru V.

Skalárně se násobíme w (X, Y) a (Xo, Yo) a nastavíme si rovné

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

konečně zbývající:

X + 2R = 11

Standardní forma rovnice přímky

Je známá jako standardní forma čáry v rovině XY, která má následující strukturu:

Y = m + X + d

kde m představuje sklon a d protíná s osou Y.

S ohledem na směrový vektor u = (a, b) je sklon m b / a.

Yd se získá nahrazením X a Y známým bodem Xo, I:

I = (b / a) Xo + d.

Stručně řečeno, m = b / a ad = I - (b / a) Xo

Všimněte si, že sklon m je kvocient mezi složkou y vektoru režiséra a složkou x.

Příklad 4

Najděte standardní tvar čáry, jejíž vektor režiséra je u = (2, -1)

a to prochází bodem P = (1, 5).

m = - 1 a d = 5 - (- 1) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Řešená cvičení

-Cvičení 1

Najděte řídící vektor přímky (L), která je průsečíkem roviny (Π): X - Y + Z = 3 a roviny (Ω): 2X + Y = 1.

Pak napište souvislou formu rovnice přímky (L).

Řešení

Z rovnice roviny (Ω) vůle Y: Y = 1 -2X

Pak v rovnici rovnice (Π) nahradíme:

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

Pak parametrizujeme X, zvolíme parametrizaci X = λ

To znamená, že čára má vektorovou rovnici danou:

(X, Y, Z) = (A, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

které lze přepsat jako:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + A (1, -2, -3)

se kterým je jasné, že vektor u = (1, -2, -3) je směrovacím vektorem linie (L).

Spojitá forma čáry (L) je:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

- Cvičení 2

Vzhledem k rovině 5X + a Y + 4Z = 5

a čára, jejíž rovnice je X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Určete hodnotu tak, aby rovina a přímka byly rovnoběžné.

Řešení 2

Vektor n = (5, a, 4) je vektor kolmý k rovině.

Vektor u = (1, 3, -2) je směrovací vektor čáry.

Pokud je čára rovnoběžná s rovinou, pak n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Reference

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. (2006). Lineární algebra. Pearsonovo vzdělávání.
3. Leal, JM, a Viloria, NG (2005). Analytická geometrie roviny. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektory. Obnoveno z: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD (2006). Přepočet. Pearsonovo vzdělávání.
6. Prenowitz, W. 2012. Základní pojmy geometrie. Rowman a Littlefield.
7. Sullivan, M. (1997). Přepočet. Pearsonovo vzdělávání.