VEKTORY VE VESMÍRU: JAK GRAFOVAT, APLIKACE, CVIČENÍ - FYZICKÝ - 2025

Vektor v prostoru je vše, co reprezentován souřadnicovém systému dané x, y a z. Většinou je rovina xy vodorovnou povrchovou rovinou a osa z představuje výšku (nebo hloubku).

Karteziánské souřadné osy znázorněné na obrázku 1 rozdělují prostor na 8 regionů zvaných oktants, analogicky tomu, jak osy x - y rozdělují letadlo na 4 kvadranty. Potom budeme mít 1. oktant, 2. oktant a tak dále.

Obrázek 1. Vektor ve vesmíru. Zdroj: vlastní výroba.

Obrázek 1 obsahuje znázornění vektoru v v prostoru. Určitá perspektiva je nutná k vytvoření iluze tří rozměrů v rovině obrazovky, čehož je dosaženo nakreslením šikmého pohledu.

Chcete-li graf 3D vektor, musíte použít tečkované čáry, které určují na mřížce souřadnice projekce nebo "stín" v na xy povrchu. Tato projekce začíná u O a končí u zeleného bodu.

Jakmile tam budete, musíte pokračovat ve svislé poloze do potřebné výšky (nebo hloubky) podle hodnoty z, dokud nedosáhnete P. Vektor je nakreslen počínaje O a končící P, což je v příkladu 1. oktant.

Aplikace

Vektory ve vesmíru jsou široce používány v mechanice a dalších oborech fyziky a techniky, protože struktury, které nás obklopují, vyžadují geometrii ve třech rozměrech.

Polohové vektory v prostoru se používají k polohování objektů vzhledem k referenčnímu bodu nazvanému OR počátek, a proto jsou také nezbytnými nástroji v navigaci, ale to není vše.

Síly působící na struktury, jako jsou šrouby, držáky, kabely, vzpěry a další, jsou ve své podstatě vektorové a orientované ve vesmíru. K poznání jeho účinku je nutné znát jeho adresu (a také její místo použití).

Směr síly je často znám tím, že zná dva body v prostoru, které patří k její linii působení. Tímto způsobem je síla:

F = F u

Kde F je velikost nebo velikost síly a u je jednotkový vektor (modul 1) směřuje podél linii působení F.

Zápis a reprezentace 3D vektorů

Než začneme řešit některé příklady, krátce si prostudujeme 3D vektorový zápis.

V příkladu na obrázku 1 má vektor v, jehož počáteční bod se shoduje s počátkem O a jehož konec je bod P, pozitivní kladné souřadnice xyz, zatímco souřadnice y je záporná. Těmito souřadnicemi jsou: x ₁, y ₁, z ₁, což jsou přesně souřadnice P.

Takže pokud máme vektor spojený s počátkem, tj. Jehož počáteční bod se shoduje s O, je velmi snadné označit jeho souřadnice, které budou souřadnice v extrémním bodě nebo P. Pro rozlišení mezi bodem a vektorem použijeme poslední tučná písmena a závorky, jako je tato:

v = <x ₁, y ₁, z ₁ >

Zatímco bod P je označen závorkami:

P = (x ₁, y ₁, z ₁)

Další znázornění využívá jednotkové vektory i, j a k, které definují tři směry prostoru na osách x, y a z.

Tyto vektory jsou vzájemně kolmé a tvoří ortorormální základ (viz obrázek 2). To znamená, že je možné 3D vektor psát jako:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Úhly a ředitel Kosines vektoru

Obrázek 2 také ukazuje, že ředitel úhly y ₁, γ ₂ a γ ₃, že vektor V je v tomto pořadí s x, y a z osy. Znát tyto úhly a velikost vektoru, je zcela určeno. Kosiny režisérských úhlů navíc splňují následující vztahy:

(cos y ₁) ² + (cos y ₂) ² + (cos γ ₃) ² = 1

Obrázek 2. Jednotkové vektory i, j a k určují 3 preferenční směry prostoru. Zdroj: vlastní výroba.

Řešená cvičení

-Cvičení 1

Na obrázku 2 jsou úhly y ₁, γ ₂ a γ _3, že vektor v modulu pružnosti 50 formy s osami souřadnic jsou v tomto pořadí: 75.0º, 60.0º a 34.3º. Najděte karteziánské komponenty tohoto vektoru a reprezentujte je v jednotkových vektorech i, j a k.

Řešení

Projekce vektoru v na osu _x je v _x = 50. cos 75º = 12 941. Stejným způsobem je projekce v na ose y v _y = 50 cos 60 ° = 25 a nakonec na ose z je v _z = 50 cos 34,3 ° = 41,3. Nyní lze v vyjádřit jako:

v = 12,9 i + 25,0 j + 41,3 k

- Cvičení 2

Najděte napětí v každém z kabelů, které drží kbelík na obrázku, který je v rovnováze, je-li jeho hmotnost 30 N.

Obrázek 3. Stresový diagram cvičení 2.

Řešení

Na kbelíku, volný těla diagram ukazuje, že T _D (zelená) kompenzuje hmotnost W (žlutý), tedy T _D = W = 30 N.

V uzlu, je vektor T _D směřuje svisle směrem dolů a pak:

T _D = 30 (- k) N.

Chcete-li zjistit zbývající napětí, postupujte takto:

Krok 1: Najděte souřadnice všech bodů

A = (4,5,0,3) (A je v rovině stěny xz)

B = (1,5,0,0) (B je na ose x)

C = (0, 2,5, 3) (C je v rovině stěny a z)

D = (1,5, 1,5, 0) (D je v horizontální rovině xy)

Krok 2: Najděte vektory v každém směru odečtením souřadnic konce a začátku

DA = <3; -1,5; 3>

DC = <-1,5; jeden; 3>

DB = <0; -1,5; 0>

Krok 3: Vypočítejte moduly a jednotkové vektory

Jednotkový vektor je získán expresí: u = r / r, přičemž r (tučně) je vektor a r (nikoli tučně) je modulem uvedeného vektoru.

DA = (3 ² + (-1,5) ² + 3 ²) ^1/2 = 4,5; DC = ((-1,5) ² + 1 ² + 3 ²) ¹ = 3,5

u _DA = <3; -1,5; 3> 4,5 = <0,67; -0,33; 0,67>

u _DC = <-1,5; jeden; 3> 3,5 = <-0,43; 0,29; 0,86>

u _DB = <0; -jeden; 0>

u _D = <0; 0; -1>

Krok 4: Vyjádřete všechny napětí jako vektory

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0,67; -0,33; 0,67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0,43; 0,29; 0,86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -jeden; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

Krok 5: Použijte podmínku statické rovnováhy a vyřešte systém rovnic

Nakonec je podmínka statické rovnováhy aplikována na kbelík, takže součet vektorů všech sil na uzlu je nula:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

Protože napětí jsou v prostoru, výsledkem bude systém tří rovnic pro každou složku (x, y, z) napětí.

0,67 T _DA -0,43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0,33 T _DA + 0,29 T _DC - T _DB = 0

0,67 T _DA + 0,86 T _DC + 0 T _DB - 30 = 0

Roztok je: T _DA = 14,9 N; T _DA = 23,3 N; T _DB = 1,82 N

Reference

1. Bedford, 2000. A. Inženýrská mechanika: Statika. Addison Wesley. 38-52.
2. Figueroa, D. Series: Fyzika pro vědy a inženýrství. Svazek 1. Kinematika 31-68.
3. Fyzický. Modul 8: Vektory. Obnoveno z: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanika pro inženýry. Statický 6. vydání. Společnost Continental Publishing. 15-53.
5. Kalkulačka sčítání vektorů. Obnoveno z: 1728.org