NEKOPLANÁRNÍ VEKTORY: DEFINICE, PODMÍNKY, CVIČENÍ - FYZICKÝ - 2025

Mezi non - koplanární vektory jsou ty, které nesdílejí stejnou rovinu. Dva volné vektory a jeden bod definují jednu rovinu. Třetí vektor může nebo nemusí sdílet tuto rovinu, a pokud ne, jedná se o ne-koplanární vektory.

Nekoplanární vektory nelze reprezentovat v dvourozměrných prostorech, jako je tabule nebo list papíru, protože některé z nich jsou obsaženy ve třetí dimenzi. Abyste je mohli správně reprezentovat, musíte použít perspektivu.

Obrázek 1. Koplanární a ne-koplanární vektory. (Vlastní zpracování)

Podíváme-li se na obrázek 1, všechny zobrazené objekty jsou striktně v rovině obrazovky, ale díky perspektivě si náš mozek dokáže představit rovinu (P), která z ní vychází.

Na této rovině (P) jsou vektory r, s, u, zatímco vektory v a w nejsou v této rovině.

Proto vektory r, s, u jsou spolu koplanární nebo koplanární, protože sdílejí stejnou rovinu (P). Vektory v a w nesdílejí letadlo s žádným z ostatních zobrazených vektorů, proto nejsou koplanární.

Koplanární vektory a rovnice roviny

Rovina je jednoznačně definována, pokud jsou v trojrozměrném prostoru tři body.

Předpokládejme, že tyto tři body jsou bod A, bod B a bod C, které definují rovinu (P). S těmito body je možné konstruovat dva vektory AB = u a AC = v, které jsou konstrukcí koplanární s rovinou (P).

Výsledkem křížového produktu (nebo křížového produktu) těchto dvou vektorů je třetí vektor kolmý (nebo normální) k nim a proto kolmý na rovinu (P):

n = u X v => n ⊥ u a n ⊥ v => n ⊥ (P)

Jakýkoli jiný bod, který patří do roviny (P), musí zajistit, že vektor AQ je kolmý na vektor n; Toto je ekvivalentní říkat, že tečka produkt (nebo tečka produkt) n s AQ musí být nula:

n • AQ = 0 (*)

Předchozí podmínka je rovnocenná s tím, že:

AQ • (u X v) = 0

Tato rovnice zajišťuje, že bod Q patří do roviny (P).

Kartézská rovnice letadla

Výše uvedená rovnice může být psána v kartézské podobě. Za tímto účelem zapíšeme souřadnice bodů A, Q a složky normálního vektoru n:

Složky AQ jsou tedy:

Podmínkou pro obsazení vektoru AQ v rovině (P) je podmínka (*), která je nyní zapsána takto:

Výpočet tečkového produktu zůstává:

Pokud je vyvinut a přestavěn, zůstává:

Předchozí výraz je karteziánská rovnice roviny (P), jako funkce složek vektoru normálního k (P) a souřadnic bodu A, který patří (P).

Podmínky pro to, aby tři vektory nebyly koplanární

Jak je vidět v předchozí části, podmínka AQ • (u X v) = 0 zaručuje, že vektor AQ je koplanární k u a v.

Pokud nazveme vektor AQ w, můžeme potvrdit, že:

w, u a v jsou koplanární, pokud a pouze pokud w • (u X v) = 0.

Podmínka nekopírování

Pokud je trojitý produkt (nebo smíšený produkt) tří vektorů odlišný od nuly, pak tyto tři vektory nejsou koplanární.

Pokud w • (u X v) ≠ 0, pak vektory u, v a w nejsou koplanární.

Jsou-li zavedeny karteziánské komponenty vektorů u, v a w, lze podmínku nekoplalanality napsat takto:

Trojitý produkt má geometrickou interpretaci a představuje objem rovnoběžnostěn generovaného třemi ne-koplanárními vektory.

Obrázek 2. Tři ne-koplanární vektory definují rovnoběžník, jehož objem je modulem trojitého produktu. (Vlastní zpracování)

Důvod je následující; Když vynásobíte dva ne-koplanární vektory, získáte vektor, jehož velikost je oblast rovnoběžníku, kterou generují.

Pak, když je tento vektor skalárně násoben třetím ne-koplanárním vektorem, máme promítání do vektoru kolmého na rovinu, kterou určují první dva, násobené plochou, kterou určují.

Jinými slovy, máme plochu rovnoběžníku generovanou prvními dvěma vynásobenou výškou třetího vektoru.

Alternativní podmínka nekalanality

Pokud máte tři vektory a žádný z nich nemůže být zapsán jako lineární kombinace ostatních dvou, pak tyto tři vektory nejsou koplanární. To znamená, že tři vektory u, v a w nejsou koplanární, pokud podmínka:

a u + β v + γ w = 0

Je uspokojeno, pouze pokud α = 0, β = 0 a γ = 0.

Řešená cvičení

-Cvičení 1

Existují tři vektory

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) a w = (-1, 2, z)

Všimněte si, že složka z vektoru w není známa.

Najděte rozsah hodnot, které z může mít tak, že je zaručeno, že tyto tři vektory nebudou sdílet stejnou rovinu.

Řešení

w • (u X v) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Tento výraz jsme nastavili na hodnotu nula

21 z + 18 = 0

a řešíme pro z

z = -18 / 21 = -6/7

Pokud by proměnná z získala hodnotu -6/7, byly by tyto tři vektory koplanární.

Takže hodnoty z, které zaručují, že vektory nejsou koplanární, jsou hodnoty v následujícím intervalu:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

- Cvičení 2

Vyhledejte objem rovnoběžníku znázorněného na následujícím obrázku:

Řešení

Pro nalezení objemu rovnoběžnostěn znázorněného na obrázku budou určeny kartézské složky tří souběžných ne-koplanárních vektorů na počátku souřadnicového systému. První je vektor u 4 ma rovnoběžný s osou X:

u = (4, 0, 0) m

Druhým je vektor v v rovině XY o velikosti 3m, který tvoří osu X 60 °:

v = (3 * cos 60 °, 3 * sin 60 °, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) m

A třetí je vektor w 5 ma jehož projekce v rovině XY tvoří 60 ° s osou X a w tvoří 30 ° s osou Z.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

Jakmile byly provedeny výpočty, máme: w = (1,25, 2,17, 2,5) m.

Reference

1. Figueroa, D. Series: Fyzika pro vědy a inženýrství. Svazek 1. Kinematika. 31-68.
2. Fyzický. Modul 8: Vektory. Obnoveno z: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mechanika pro inženýry. Statický 6. vydání. 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Mechanika pro inženýry: Statika a dynamika. 3. vydání. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vektor. Obnoveno z: es.wikipedia.org