STŘEDNÍ ÚHLOVÁ RYCHLOST: DEFINICE A VZORCE, ŘEŠENÁ CVIČENÍ - FYZICKÝ - 2025

Střední úhlová rychlost otáčení je definována jako úhel natočený za jednotku času polohového vektoru bodu, který popisuje kruhový pohyb. Lopatky stropního ventilátoru (jako ten, který je znázorněn na obrázku 1), sledují kruhový pohyb a jejich průměrná úhlová rychlost otáčení se vypočítá na základě kvocientu mezi otočeným úhlem a časem, ve kterém byl tento úhel ujet.

Pravidla, která rotační pohyb dodržuje, jsou poněkud podobná pravidlům známým pro translační pohyb. Ujeté vzdálenosti lze také měřit v metrech, avšak úhlové velikosti jsou zvláště důležité, protože velmi usnadňují popis pohybu.

Obrázek 1. Lopatky ventilátoru mají úhlovou rychlost. Zdroj: Pixabay

Obecně se řecká písmena používají pro úhlové veličiny a latinská písmena pro odpovídající lineární veličiny.

Definice a vzorce

Na obrázku 2 je znázorněn pohyb bodu na kruhové dráze c. Poloha P bodu odpovídá okamžiku t a úhlová poloha odpovídající tomuto okamžiku je ϕ.

Od okamžiku t uplyne doba Δt. V tomto období je nová poloha bodu P 'a úhlová poloha se zvětšila o úhel.

Obrázek 2. Kruhový pohyb bodu. Zdroj: vlastní výroba

Střední úhlová rychlost ω je úhel ujetý za jednotku času, takže kvocient ϕϕ / Δt bude představovat střední úhlovou rychlost mezi časy t a t + Δt:

Protože úhel je měřen v radiánech a čas v sekundách, je jednotkou pro střední úhlovou rychlost rad / s. Pokud chceme vypočítat úhlovou rychlost právě v okamžiku t, musíme vypočítat poměr Δ / Δt, když Δt ➡0.

Rovnoměrná rotace

Rotační pohyb je rovnoměrný, pokud je v jakémkoli pozorovaném okamžiku ujetý úhel stejný ve stejném časovém období. Pokud je rotace rovnoměrná, pak se úhlová rychlost v kterémkoli okamžiku kryje se střední úhlovou rychlostí.

V rovnoměrném rotačním pohybu se doba, kdy se uskuteční jedna úplná revoluce, nazývá periodou a označuje ji T.

Kromě toho, když je provedeno úplné otočení, ujetý úhel je 2π, takže při rovnoměrném otáčení je úhlová rychlost ω vztažena k periodě T podle následujícího vzorce:

Frekvence f stejnoměrné rotace je definována jako podíl mezi počtem otáček a časem použitým k jejich průchodu, to znamená, že pokud jsou N otáčky provedeny v časovém úseku Δt, pak bude frekvence:

f = N / Δt

Protože se jedna doba (N = 1) najede v čase T (období), získá se následující vztah:

f = 1 / T

To znamená, že při rovnoměrné rotaci je úhlová rychlost vztažena k frekvenci prostřednictvím vztahu:

ω = 2π ・ f

Vztah mezi úhlovou rychlostí a lineární rychlostí

Lineární rychlost v je kvocient mezi ujetou vzdáleností a časem potřebným k jejímu ujetí. Na obrázku 2 je ujetá vzdálenost délka oblouku As.

Oblouk Δs je úměrný úhlu pojezdu Δϕ a poloměru r, přičemž je splněn následující vztah:

Δs = r ・ Δϕ

Za předpokladu, že se Δϕ měří v radiánech.

Vydělíme-li předchozí výraz časovým odstupem Δt, dostaneme:

(Δs / Δt) = r ・ (ϕϕ / Δt)

Kvocient prvního prvku je lineární rychlost a kvocientem druhého prvku je střední úhlová rychlost:

v = r ・ ω

Řešená cvičení

-Cvičení 1

Špičky lopatek stropního ventilátoru znázorněné na obrázku 1 se pohybují rychlostí 5 m / sa čepele mají poloměr 40 cm.

Pomocí těchto údajů vypočítejte: i) průměrnou úhlovou rychlost kola, ii) počet otáček, které kolo během jedné sekundy udělá, iii) periodu v sekundách.

Řešení

i) Lineární rychlost je v = 5 m / s.

Poloměr je r = 0,40 m.

Ze vztahu mezi lineární rychlostí a úhlovou rychlostí řešíme následující:

v = r ・ ω => ω = v / r = (5 m / s) / (0,40 m) = 12,57 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (12,57 rad / s) / (2π rad) = 2 otáčky / s

iii) T = 1 / f = 1 / (2 otáčky / s) = 0,5 s pro každou otáčku.

- Cvičení 2

Hračkový kočárek se pohybuje po kruhové dráze s poloměrem 2 m. V 0 s je jeho úhlová poloha 0 rad, ale po čase t je jeho úhlová poloha

φ (t) = 2 ・ t.

S těmito údaji

i) Vypočítat střední úhlovou rychlost v následujících časových intervalech;; a nakonec na konci.

ii) Na základě výsledků části i) Co lze říci o hnutí?

iii) Určete střední lineární rychlost ve stejném časovém období z části i)

iv) Najděte úhlovou rychlost a lineární rychlost pro jakýkoli okamžik.

Řešení

i) Střední úhlová rychlost je dána tímto vzorcem:

Pokračujeme ve výpočtu úhlu ujetého času a uplynutí času v každém intervalu.

Interval 1: Δϕ = ϕ (0,5 s) - ϕ (0,0 s) = 2 (rad / s) * 0,5 s - 2 (rad / s) * 0,0 s = 1,0 rad

Δt = 0,5 s - 0,0 s = 0,5 s

ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5 s = 2,0 rad / s

Interval 2: Δϕ = ϕ (1,0 s) - ϕ (0,5 s) = 2 (rad / s) * 1,0 s - 2 (rad / s) * 0,5 s = 1,0 rad

Δt = 1,0 s - 0,5 s = 0,5 s

ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5 s = 2,0 rad / s

Interval 3: Δϕ = ϕ (1,5 s) - ϕ (1,0 s) = 2 (rad / s) * 1,5 s - 2 (rad / s) * 1,0 s = 1,0 rad

Δt = 1,5 s - 1,0 s = 0,5 s

ω = Δϕ / Δt = 1,0rad / 0,5 s = 2,0 rad / s

Interval 4: Δϕ = ϕ (1,5 s) - ϕ (0,0 s) = 2 (rad / s) * 1,5 s - 2 (rad / s) * 0,0 s = 3,0 rad

Δt = 1,5 s - 0,0 s = 1,5 s

ω = Δϕ / Δt = 3,0rad / 1,5 s = 2,0 rad / s

ii) S ohledem na předchozí výsledky, ve kterých byla průměrná úhlová rychlost vypočtena v různých časových intervalech, přičemž vždy bylo dosaženo stejného výsledku, zdá se, že jde o rovnoměrný kruhový pohyb. Tyto výsledky však nejsou přesvědčivé.

Způsob, jak zajistit závěr, je vypočítat průměrnou úhlovou rychlost pro libovolný interval: Δϕ = ϕ (t ') - ϕ (t) = 2 * t' - 2 * t = 2 * (t'-t)

Δt = t '- t

ω = ϕϕ / Δt = 2 * (t'-t) / (t'-t) = 2,0 rad / s

To znamená, že kočárek má konstantní střední úhlovou rychlost 2 rad / s v jakémkoli uvažovaném časovém období. Ale můžete vypočítat okamžitou úhlovou rychlost:

To se interpretuje tak, že autíčko má vždy konstantní úhlovou rychlost = 2 rad / s.

Reference

1. Giancoli, D. Fyzika. Principy s aplikacemi. 6. vydání. Prentice Hall. 30-45.
2. Kirkpatrick, L. 2007. Fyzika: Pohled na svět. 6 ^ta Editace ve zkratce. Cengage Learning. 117.
3. Resnick, R. (1999). Fyzický. Svazek 1. Třetí vydání ve španělštině. Mexiko. Compañía Editorial Continental SA de CV 33-52.
4. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fyzika pro vědu a techniku. Svazek 1. 7. Edice. Mexiko. Cengage Learning Editors. 32-55.
5. Wikipedia. Úhlová rychlost. Obnoveno z: wikipedia.com