VEKTOR: VLASTNOSTI A VLASTNOSTI, PRVKY, TYPY, PŘÍKLADY - VĚDA - 2025

Tyto vektory jsou matematické subjekty, které mají obecně doprovázena měrnou jednotku -positiva- velikost a směr dobře. Tyto vlastnosti jsou velmi vhodné k popisu fyzických veličin, jako je rychlost, síla, zrychlení a mnoho dalších.

S vektory je možné provádět operace jako sčítání, odčítání a produkty. Dělení není definováno pro vektory a jako pro produkt existují tři třídy, které popíšeme později: tečkový produkt nebo bod, vektorový produkt nebo kříž a produkt skaláru pomocí vektoru.

Obrázek 1. Prvky vektoru. Zdroj: Wikimedia Commons.

K úplnému popisu vektoru musí být uvedeny všechny jeho vlastnosti. Velikost nebo modul je číselná hodnota doprovázená jednotkou, zatímco směr a smysl jsou stanoveny pomocí souřadnicového systému.

Podívejme se na příklad: Předpokládejme, že letadlo letí z jednoho města do druhého rychlostí 850 km / h ve směru NE. Zde máme plně specifikovaný vektor, protože velikost je k dispozici: 850 km / h, zatímco směr a smysl jsou NE.

Vektory jsou obvykle graficky znázorněny orientovanými úsečkami, jejichž délka je úměrná velikosti.

Zatímco určit směr a smysl je vyžadována referenční čára, která je obvykle vodorovná osa, ačkoli sever může také být vzat jako odkaz, takový je případ rychlosti letadla:

Obrázek 2. Rychlostní vektor. Zdroj: F. Zapata.

Obrázek znázorňuje vektor rychlosti letadla, označený jako V v tučně, aby se odlišil od skalární veličina, která vyžaduje pouze číselnou hodnotu a některé jednotky, které mají být specifikovány.

Prvky vektoru

Jak jsme řekli, prvky vektoru jsou:

-Magnituda nebo modul, někdy také nazývaný absolutní hodnota nebo norma vektoru.

-Adresa

-Sense

V příkladu na obrázku 2 je modul v 850 km / h. Modul je označen jako v bez tučného písmene nebo jako - v -, kde sloupce představují absolutní hodnotu.

Směr v je určen vzhledem k severu. V tomto případě je to 45 ° severně od východu (45 ° NE). Konec šipky konečně informuje o smyslu v.

V tomto příkladu byl původ vektoru nakreslen shodně s počátkem O souřadnicového systému, který je znám jako propojený vektor. Na druhé straně, pokud se původ vektoru neshoduje s původem referenčního systému, říká se, že jde o volný vektor.

Je třeba poznamenat, že k úplnému určení vektoru je třeba poznamenat tyto tři prvky, jinak by popis vektoru nebyl úplný.

Obdélníkové komponenty vektoru

Obrázek 3. Obdélníkové komponenty vektoru v rovině. Zdroj: Wikimedia Commons. uranther

Na obrázku máme zpět náš příklad vektor v, který je v rovině xy.

Je snadné vidět, že projekce v na osách x a y určují pravoúhlý trojúhelník. Tyto projekce jsou v _{y a} v _x a nazývají se pravoúhlé komponenty v.

Jeden způsob, jak označit v svými obdélníkovými složkami, je tento: v =x, v _a >. Tyto závorky se používají místo závorek, aby se zdůraznila skutečnost, že se jedná o vektor, nikoli o období, protože v tomto případě by se použily závorky.

Pokud je vektor v trojrozměrném prostoru, je zapotřebí ještě jedna součást, takže:

v =x, v _y, v _z >

Znalost obdélníkové součásti velikost vektoru se vypočte ekvivalentní k nalezení přepona pravoúhlého trojúhelníku, jehož nohy jsou V _x a v _{a ,.} Z Pythagorovy věty vyplývá, že:

Polární forma vektoru

Když je známa velikost vektoru - v - a úhel 9, který vytváří s referenční osou, obvykle horizontální osou, je také specifikován vektor. O vektoru se pak říká, že je exprimován v polární formě.

Obdélníkové komponenty jsou v tomto případě snadno spočítatelné:

Podle výše uvedeného by obdélníkové složky vektoru rychlosti v roviny byly:

Typy

Existuje několik typů vektorů. Existují vektory rychlosti, polohy, posunutí, síly, elektrického pole, hybnosti a mnoho dalších. Jak jsme již řekli, ve fyzice existuje velké množství vektorových množství.

Pokud jde o vektory, které mají určité charakteristiky, můžeme zmínit následující typy vektorů:

-Null: jedná se o vektory, jejichž velikost je 0 a které jsou označeny jako 0. Nezapomeňte, že tučné písmeno symbolizuje tři základní vlastnosti vektoru, zatímco normální písmeno představuje pouze modul.

Například na těle ve statické rovnováze musí být součet sil nulový vektor.

- Volné a spojené: volné vektory jsou ty, jejichž počátečním a příjezdovým bodem je jakýkoli pár bodů v rovině nebo prostoru, na rozdíl od spojených vektorů, jejichž původ se shoduje s původem referenčního systému použitého k jejich popisu.

Pár nebo moment vytvořený několika silami je dobrým příkladem volného vektoru, protože pár se nevztahuje na žádný konkrétní bod.

- Equipolentes: jsou to dva volné vektory, které sdílejí stejné vlastnosti. Proto mají stejnou velikost, směr a smysl.

- Koplanár nebo koplanár: vektory, které patří do stejné roviny.

- Protiklady: vektory se stejnou velikostí a směrem, ale opačným směrem. Vektor naproti vektoru v je vektor - v a součet obou je nulový vektor: v + (- v) = 0.

- Souběžné: vektory, jejichž linie působení procházejí stejným bodem.

- Posuvníky: jsou vektory, jejichž aplikační bod se může posouvat po určité linii.

- Collinear: vektory, které jsou umístěny na stejném řádku.

- Unitary: vektory, jejichž modul je 1.

Vektory ortogonálních jednotek

Ve fyzice existuje velmi užitečný typ vektoru, který se nazývá vektor ortogonální jednotky. Ortogonální jednotkový vektor má modul rovný 1 a jednotky mohou být libovolné, například jednotky rychlosti, polohy, síly nebo jiné.

Existuje řada speciálních vektorů, které pomáhají snadno reprezentovat jiné vektory a provádět s nimi operace: jsou to vektory ortogonálních jednotek i, j a k, jednotky a kolmé k sobě navzájem.

Ve dvou rozměrech jsou tyto vektory směrovány podél kladného směru jak osy x, tak osy y. A ve třech rozměrech se přidá jednotkový vektor ve směru kladné osy z. Jsou zastoupeny takto:

i = <1, 0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

Vektor může být reprezentován jednotkovými vektory i, j a k takto:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Například vektor rychlosti v v předchozích příkladech lze napsat jako:

v = 601,04 i + 601,04 j km / h

Složka v k není nutná, protože tento vektor je v rovině.

Vektorové sčítání

Součet vektorů se objevuje velmi často v různých situacích, například když chcete najít výslednou sílu na objekt, který je ovlivněn různými silami. Nejprve předpokládejme, že máme v rovině dva volné vektory u a v, jak ukazuje následující obrázek vlevo:

Obrázek 4. Grafický součet dvou vektorů. Zdroj: Wikimedia Commons. Lluc cabanach.

Je okamžitě pečlivě přenesen do vektoru v, aniž by změnil jeho velikost, směr nebo smysl, takže jeho původ se kryje s koncem u.

Součet vektorů se nazývá w a kreslí se počínaje u končícím vv, podle pravého obrázku. Je důležité si uvědomit, že velikost vektoru w není nutně součet velikostí v a u.

Pokud o tom pečlivě přemýšlíte, jediným okamžikem, kdy je velikost výsledného vektoru součtem velikostí aditiv, je, když jsou oba aditiva ve stejném směru a mají stejný smysl.

A co se stane, pokud vektory nejsou zdarma? Je také velmi snadné je přidat. Způsob, jak to udělat, je přidání složky do složky, nebo analytické metody.

Jako příklad se podívejme na vektory na následujícím obrázku, první věcí je jejich vyjádření jedním z karteziánských způsobů, které byly dříve vysvětleny:

Obrázek 5. Součet dvou spojených vektorů. Zdroj: Wikimedia Commons.

v = <5,1>

u = <2,3>

Chcete-li získat x-složku součtového vektoru w, přidejte příslušné x-složky v a u: w _x = 5 + 2 = 7. A získat w _y analogického postupu následuje: w _y = 1 + 3. Tím pádem:

u = <7,4>

Vlastnosti přidání vektoru

- Součet dvou nebo více vektorů má za následek další vektor.

- Je to komutativní, pořadí doplňků nemění částku tak, že:

u + v = v + u

- Neutrální prvek součtu vektorů je nulový vektor: v + 0 = v

- Odčítání dvou vektorů je definováno jako součet opaku: v - u = v + (-u)

Příklady vektoru

Jak jsme řekli, ve fyzice existuje mnoho vektorových množství. Mezi nejznámější patří:

-Pozice

-Přemístění

- Rychlost nápoje a okamžitá rychlost

-Akcelerace

-Platnost

- Množství pohybu

-Torque nebo moment síly

-Impuls

-Elektrické pole

-Magnetické pole

-Magnetický moment

Na druhé straně to nejsou vektory, ale skaláry:

-Počasí

-Hmotnost

-Teplota

-Hlasitost

-Hustota

-Mechanická práce

-Energie

-Horký

-Napájení

-Napětí

-Elektrický proud

Další operace mezi vektory

Kromě sčítání a odčítání vektorů existují mezi vektory také další tři velmi důležité operace, protože způsobují vznik nových velmi důležitých fyzikálních veličin:

-Výrobek skaláru vektorem.

-Tečkový produkt nebo tečkový produkt mezi vektory

- Křížový nebo vektorový produkt mezi dvěma vektory.

Produkt skaláru a vektoru

Zvažte Newtonův druhý zákon, který stanoví, že síla F a zrychlení a jsou proporcionální. Konstanta proporcionality je hmotností m objektu, proto:

F = m. na

Hmota je skalární; pro svou část, síla a zrychlení jsou vektory. Protože síla je získána vynásobením hmotnosti zrychlením, je to výsledek produktu skaláru a vektoru.

Výsledkem tohoto typu produktu je vždy vektor. Zde je další příklad: množství pohybu. Nechť P je vektor hybnosti, v vektor rychlosti, a jako vždy m je hmotnost:

P = m. proti

Dot produkt nebo dot produkt mezi vektory

Na seznam veličin, které nejsou vektory, jsme zařadili mechanické práce. Práce ve fyzice je však výsledkem operace mezi vektory zvanými skalární produkt, vnitřní produkt nebo tečkový produkt.

Nechte vektory v a u, definujte mezi nimi tečku nebo skalární součin jako:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

Kde 9 je úhel mezi nimi. Z znázorněné rovnice okamžitě vyplývá, že výsledkem tečkového produktu je skalár, a také, že pokud jsou oba vektory kolmé, je jejich tečkový produkt 0.

Zpět na mechanickou práci W, je to skalární součin mezi silovým vektorem F a posuvným vektorem ℓ.

Pokud jsou vektory dostupné z hlediska jejich složek, je tečka také snadno spočítat. Pokud v =x, v _y, v _z > y u =x, u _y, u _z >, tečkový produkt mezi nimi je:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

Tečkový produkt mezi vektory je komutativní, a proto:

v ∙ u = u ∙ v

Křížový produkt nebo vektorový produkt mezi vektory

Pokud jsou v a u dva příklady, definujeme vektorový produkt jako:

v x u = w

Z toho okamžitě vyplývá, že výsledkem křížového produktu je vektor, jehož modul je definován jako:

Kde 9 je úhel mezi vektory.

Křížový produkt není komutativní, proto v x u ≠ u x v. Ve skutečnosti v x u = - (u x v).

Pokud jsou dva příklady vektorů vyjádřeny jednotkovými vektory, je výpočet vektorového produktu usnadněn:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

Křížové produkty mezi jednotkovými vektory

Křížový součin mezi identickými jednotkovými vektory je nula, protože úhel mezi nimi je 0 °. Ale mezi různými jednotkovými vektory je úhel mezi nimi 90 ° a sin 90 ° = 1.

Následující obrázek pomáhá najít tyto produkty. Ve směru šipky má kladný směr a v opačném směru záporný:

i x j = k, j x k = i; k x i = j; j x i = -k; k x j = -i; i x k = -j

Aplikujeme distribuční vlastnost, která stále platí pro produkty mezi vektory plus vlastnosti jednotkových vektorů, máme:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k) x (u _x i + u _y j + u _z k) =

Řešená cvičení

- Cvičení 1

Vzhledem k vektorům:

v = -5 i + 4 j + 1 k

u = 2 i -3 j + 7 k

Jaký musí být vektor w, aby součet v + u + w byl 6 i +8 j -10 k ?

Řešení

Proto musí být splněno, že:

Odpověď zní: w = 9 i +7 j - 18 k

- Cvičení 2

Jaký je úhel mezi vektory v a u v cvičení 1?

Řešení

Použijeme tečkový produkt. Z definice máme:

v ∙ u = -10 -12 + 7 = -15

Nahrazení těchto hodnot:

Reference

1. Figueroa, D. (2005). Série: Fyzika pro vědu a techniku. Svazek 1. Kinematika. Editoval Douglas Figueroa (USB).
2. Giancoli, D. 2006. Fyzika: Principy s aplikacemi. 6. Ed Prentice Hall.
3. Rex, A. 2011. Základy fyziky. Pearson.
4. Sears, Zemansky. 2016. Univerzitní fyzika s moderní fyzikou. 14. Ed. Svazek 1.
5. Serway, R., Jewett, J. 2008. Fyzika pro vědu a techniku. Svazek 1. 7. Ed. Cengage Learning.