NORMÁLNÍ VEKTOR: VÝPOČET A PŘÍKLAD - FYZICKÝ - 2025

Normálový vektor je ten, který definuje směr kolmý k nějaké geometrický objekt uvažovaném, který může být podle křivky, letadlem nebo povrch, například.

Je to velmi užitečný koncept při polohování pohyblivé částice nebo nějaké plochy v prostoru. V následujícím grafu je vidět, jaký je normální vektor libovolné křivky C:

Obrázek 1. Křivka C s vektorem kolmým na křivku v bodě P. Zdroj: Svjo

Zvažte bod P na křivce C. Bod může představovat pohybující se částici, která se pohybuje podél cesty ve tvaru C. Tečna čára ke křivce v bodě P je nakreslena červeně.

Všimněte si, že vektor T je tečný k C v každém bodě, zatímco vektor N je kolmý k T a ukazuje na střed imaginární kružnice, jejíž oblouk je segmentem C. Vektory jsou v tištěném textu označeny tučným písmem odlišit je od jiných ne vektorových množství.

Vektor T vždy označuje, kde se částice pohybuje, a proto označuje rychlost částice. Na druhé straně vektor N vždy směřuje ve směru, ve kterém se částice otáčí, což znamená konkávnost křivky C.

Jak dostat normální vektor do letadla?

Normální vektor nemusí být nutně jednotkovým vektorem, tj. Vektorem, jehož modul je 1, ale pokud ano, nazývá se normálním jednotkovým vektorem.

Obrázek 2. Vlevo rovina P a dva vektory kolmé k uvedené rovině. Vpravo jednotky vektory ve třech směrech, které určují prostor. Zdroj: Wikimedia Commons. Viz stránka pro autora

V mnoha aplikacích je nutné znát vektor, který je kolmý k rovině, spíše než křivka. Tento vektor odhaluje orientaci uvedené roviny v prostoru. Zvažte například rovinu P (žlutá) obrázku:

K dispozici jsou dva normální vektory k této rovině: n ₁ a n ₂. Použití jednoho nebo druhého závisí na kontextu, ve kterém se uvedená rovina nachází. Získání normálního vektoru do roviny je velmi jednoduché, pokud je rovnice roviny známa:

Zde je vektor N vyjádřen pomocí kolmých jednotkových vektorů i, j a k, směřovaných podél tří směrů, které určují xyzový prostor, viz obrázek 2 vpravo.

Normální vektor z vektorového produktu

Velmi jednoduchý postup k nalezení normálního vektoru využívá vlastností vektorového produktu mezi dvěma vektory.

Jak je známo, tři různé body, které nejsou vzájemně kolineární, určují rovinu P. Nyní je možné získat dva vektory u a v, které patří do uvedené roviny mající tyto tři body.

Jakmile jsou vektory získány, vektorový produkt u x v je operace, jejímž výsledkem je zase vektor, který má vlastnost být kolmý na rovinu určenou u a v.

Známý tento vektor, je označen jako N, a z toho bude možné určit rovnici rovnice díky rovnici uvedené v předchozí sekci:

N = u x v

Následující obrázek ilustruje popsaný postup:

Obrázek 3. Se dvěma vektory a jejich vektorovým produktem nebo křížem se stanoví rovnice roviny, která obsahuje dva vektory. Zdroj: Wikimedia Commons. Nebyl poskytnut žádný strojově čitelný autor. M.Romero Schmidtke převzal (na základě nároků na autorská práva).

Příklad

Najděte rovnici roviny určenou body A (2,1,3); B (0,1,1); C (4.2.1).

Řešení

Toto cvičení ilustruje výše popsaný postup. Tím, že má 3 body, je jeden z nich vybrán jako společný původ dvou vektorů, které patří do roviny definované těmito body. Například bod A je nastaven jako počátek a jsou konstruovány vektory AB a AC.

Vektor AB je vektor, jehož počátek je bod A a jehož koncový bod je bod B. Souřadnice vektoru AB jsou určeny příslušným odečtením souřadnic B od souřadnic A:

Stejným způsobem postupujeme k nalezení vektoru AC:

Výpočet vektorového produktu

Existuje několik postupů pro nalezení křížového produktu mezi dvěma vektory. Tento příklad používá mnemonickou proceduru, která používá následující obrázek k nalezení vektorových produktů mezi jednotkovými vektory i, j a k:

Obrázek 4. Graf pro stanovení vektorového produktu mezi jednotkovými vektory. Zdroj: vlastní výroba.

Pro začátek je dobré si uvědomit, že vektorové produkty mezi paralelními vektory jsou nulové:

i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0

A protože vektorový produkt je další vektor kolmý na zúčastněné vektory, pohybující se ve směru červené šipky, máme:

Pokud se musíte pohybovat opačným směrem ke šipce, přidejte znak (-):

Celkem je možné vyrobit 9 vektorových produktů s jednotkovými vektory i, j a k, z nichž 3 budou nulové.

AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k) x (2 i + j -2 k) = -4 (i x i) -2 (i x j) +4 (i x k) +0 (j x i) + 0 (j x j) - 0 (j x k) - 4 (k x i) -2 (k x j) + 4 (k x k) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k

Rovnice roviny

Vektor N byl určen dříve vypočítaným vektorovým produktem:

N = 2 i -8 j -2 k

Proto a = 2, b = -8, c = -2, hledaná rovina je:

Hodnota d zůstává stanovena. To je snadné, pokud jsou hodnoty kteréhokoli z dostupných bodů A, B nebo C nahrazeny rovnicí. Například výběr C:

x = 4; y = 2; z = 1

Zůstává:

Hledaná mapa je zkrátka:

Zvědavý čtenář se může ptát, zda by byl stejný výsledek dosažen, kdyby místo toho, aby dělal AB x AC, bylo vybráno pro AC x AB. Odpověď je ano, rovina určená těmito třemi body je jedinečná a má dva normální vektory, jak je znázorněno na obrázku 2.

Pokud jde o bod vybraný jako původ vektorů, není žádný problém při výběru některého z dalších dvou.

Reference

1. Figueroa, D. (2005). Série: Fyzika pro vědu a techniku. Svazek 1. Kinematika. Editoval Douglas Figueroa (USB). 31-62.
2. Nalezení normálu k letadlu. Obnoveno z: web.ma.utexas.edu.
3. Larson, R. (1986). Výpočet a analytická geometrie. Mc Graw Hill. 616-647.
4. Čáry a letadla v R 3. Odebráno z: math.harvard.edu.
5. Normální vektor. Obnoveno z mathworld.wolfram.com.