DIMENZIONÁLNÍ ANALÝZA: TECHNIKY, PRINCIP A CVIČENÍ - FYZICKÝ - 2025

Rozměrová analýza je nástroj široce používán v různých oborech vědy a techniky s cílem lépe porozumět jevům zahrnující přítomnost různých fyzikálních veličin. Množství mají rozměry a z nich jsou odvozeny různé měrné jednotky.

Původ pojmu dimenze je nalezen ve francouzském matematikovi Josephu Fourierovi, který jej vytvořil. Fourier také pochopil, že aby dvě rovnice byly srovnatelné, musí být homogenní s ohledem na jejich rozměry. Jinými slovy, měřiče nelze přidat k kilogramům.

Dimenzionální analýza je tedy zodpovědná za studium velikostí, rozměrů a homogenity fyzikálních rovnic. Z tohoto důvodu se často používá ke kontrole vztahů a výpočtů nebo k vytváření hypotéz o složitých otázkách, které lze později experimentálně testovat.

Tímto způsobem je rozměrová analýza dokonalým nástrojem pro detekci chyb ve výpočtech kontrolou shody nebo nekonzistence jednotek použitých v nich, se zvláštním zaměřením na jednotky konečných výsledků.

Kromě toho se k navrhování systematických experimentů používá rozměrová analýza. Umožňuje snížit počet nezbytných experimentů a usnadnit interpretaci získaných výsledků.

Jednou ze základních základů rozměrové analýzy je to, že je možné reprezentovat jakoukoli fyzickou veličinu jako součin sil menších veličin, známých jako základní veličiny, z nichž jsou odvozeny ostatní.

Základní veličiny a rozměrový vzorec

Ve fyzice jsou základní veličiny považovány za ty, které ostatním umožňují vyjádřit se jako funkce těchto. Konvenčně byly vybrány následující: délka (L), čas (T), hmotnost (M), intenzita elektrického proudu (I), teplota (9), svítivost (J) a množství látky (N).

Naopak, zbytek se považuje za odvozená množství. Některé z nich jsou: plocha, objem, hustota, rychlost, zrychlení, mimo jiné.

Dimenzionální vzorec je definován jako matematická rovnost, která představuje vztah mezi odvozenou kvantitou a základními.

Techniky dimenzionální analýzy

Existují různé techniky nebo metody dimenzionální analýzy. Dva z nejdůležitějších jsou následující:

Rayleighova metoda

Rayleigh, který spolu s Fourierem byl jedním z předchůdců rozměrové analýzy, vyvinul přímou a velmi jednoduchou metodu, která nám umožňuje získat bezrozměrné prvky. V této metodě jsou dodržovány následující kroky:

1 - Je definována potenciální znaková funkce závislé proměnné.

2 - Každá proměnná se mění podle odpovídajících rozměrů.

3 - Jsou stanoveny rovnice podmínky homogenity.

4- Jsou nastaveny neznámé np.

5- Exponenty, které byly vypočteny a fixovány v potenciální rovnici, jsou nahrazeny.

6- Skupiny proměnných jsou přesunuty, aby definovaly bezrozměrná čísla.

Buckinghamská metoda

Tato metoda je založena na Buckinghamově teorému nebo pi větě, která uvádí následující:

Pokud existuje homogenní dimenzionální vztah mezi množstvím „n“ fyzických nebo variabilních veličin, kde jsou zahrnuty různé základní dimenze „p“, existuje také rozměrově homogenní vztah mezi n - p, nezávislými bezrozměrnými skupinami.

Princip dimenzionální homogenity

Fourierův princip, známý také jako princip rozměrové homogenity, ovlivňuje správné strukturování výrazů, které algebraicky spojují fyzické veličiny.

Je to princip, který má matematickou konzistenci a uvádí, že jedinou možností je odečíst nebo přidat fyzická množství, která jsou stejné povahy. Proto není možné přidat hmotu s délkou ani časem s povrchem atd.

Podobně princip stanoví, že aby byly fyzikální rovnice rozměrově korektní, musí mít součet členů obou stran rovnosti stejný rozměr. Tento princip umožňuje zaručit koherenci fyzických rovnic.

Princip podobnosti

Principem podobnosti je rozšíření dimenzionální homogenity fyzikálních rovnic. Uvádí se takto:

Fyzické zákony zůstávají nezměněny, když čelí změnám rozměrů (velikosti) fyzické události ve stejném systému jednotek, ať už se jedná o změny skutečné nebo imaginární povahy.

Nejjasnější aplikace principu podobnosti nastává v analýze fyzikálních vlastností modelu vytvořeného v menším měřítku, aby se později výsledky v objektu použily v reálné velikosti.

Tato praxe je nezbytná v oblastech, jako je navrhování a výroba letadel a lodí a ve velkých hydraulických zařízeních.

Aplikace

Mnoho aplikací dimenzionální analýzy zahrnuje níže uvedené aplikace.

- Vyhledejte možné chyby v prováděných operacích

- Řešení problémů, jejichž řešení představuje některé nepřekonatelné matematické problémy.

- Navrhovat a analyzovat malé modely.

- Proveďte pozorování, jak možné modifikace ovlivňují model.

Dimenzionální analýza se také často používá při studiu mechaniky tekutin.

Relevance dimenzionální analýzy v mechanice tekutin je dána tím, jak obtížné je stanovit rovnice v určitých proudech, a obtížností je řešit, a proto je nemožné dosáhnout empirických vztahů. Z tohoto důvodu je nutné uchýlit se k experimentální metodě.

Řešená cvičení

První cvičení

Najděte rozměrovou rovnici pro rychlost a zrychlení.

Řešení

Protože v = s / t, je pravda, že: = L / T = L ∙ T ^-1

Podobně:

a = v / t

= L / T ² = L ∙ T ^-2

Druhé cvičení

Určete rozměrovou rovnici hybnosti.

Řešení

Protože hybnost je součinem hmoty a rychlosti, je pravda, že p = m ∙ v

Tak:

= M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T ^-2

Reference

1. Dimenzionální analýza (nd). Na Wikipedii. Citováno z 19. května 2018, z es.wikipedia.org.
2. Dimenzionální analýza (nd). Na Wikipedii. Citováno z 19. května 2018, z en.wikipedia.org.
3. Langhaar, HL (1951), rozměrová analýza a teorie modelů, Wiley.
4. Fidalgo Sánchez, José Antonio (2005). Fyzika a chemie. Everest
5. David C. Cassidy, Gerald James Holton, Floyd James Rutherford (2002). Pochopení fyziky. Birkhäuser.