TĚŽIŠTĚ: VLASTNOSTI, VÝPOČET, PŘÍKLADY - FYZICKÝ - 2025

Těžiště útvaru měřitelnou velikostí je bod, ve kterém je jeho hmotnost za to být použity. Je proto jedním z hlavních pojmů Statics.

První přístup k problémům elementární fyziky spočívá v předpokladu, že jakýkoli objekt se chová jako bodová hmota, to znamená, že nemá rozměry a veškerá hmota je soustředěna do jediného bodu. To platí pro krabici, auto, planetu nebo subatomickou částici. Tento model je známý jako částicový model.

Obrázek 1. Ve vysokém skoku sportovec řídí tak, že jeho těžiště je mimo tělo. Zdroj: Pixabay

Toto je samozřejmě aproximace, která funguje velmi dobře pro mnoho aplikací. Není snadné uvažovat o individuálním chování tisíců a milionů částic, které může jakýkoli objekt obsahovat.

Má-li však být dosaženo výsledků, které jsou blíže realitě, je třeba vzít v úvahu skutečné dimenze věcí. Protože jsme obecně v blízkosti Země, je vždy přítomnou silou na každém těle právě hmotnost.

Úvahy o nalezení těžiště

Pokud se má brát v úvahu velikost těla, kde konkrétně se má hmotnost aplikovat? Pokud máte libovolně tvarovaný kontinuální předmět, je jeho hmotností síla rozložená mezi každou z jeho podstatných částic.

Nechť jsou tyto částice m ₁, m ₂, m ₃ … Každá z nich zažívá svou odpovídající gravitační sílu m ₁ g, m ₂ g, m ₃ g…, všechny rovnoběžné. Je tomu tak proto, protože gravitační pole Země je ve velké většině případů považováno za konstantní, protože objekty jsou ve srovnání s velikostí planety malé a jsou blízko jejího povrchu.

Obrázek 2. Hmotnost objektu je distribuovaná hmota. Zdroj: vlastní výroba.

Součet vektorů těchto sil má za následek váhu objektu, aplikovanou na bod nazývaný těžiště označený na obrázku jako CG, který se pak kryje s těžištěm. Těžiště hmoty je zase místem, kde lze veškerou hmotu považovat za koncentrovanou.

Výsledná hmotnost má velikost Mg, kde M je celková hmotnost objektu a samozřejmě je směrována svisle směrem ke středu Země. Sumační notace je užitečná pro vyjádření celkové hmotnosti těla:

Těžiště se ne vždy shoduje s hmotným bodem. Například, CG prstenu je v jeho geometrickém středu, kde není žádná hmota sama o sobě. Pokud však chcete analyzovat síly působící na obruč, musíte k tomuto přesnému bodu použít váhu.

V případech, ve kterých má objekt libovolný tvar, je-li homogenní, lze jeho hmotnost ještě vypočítat na základě nalezení těžiště nebo těžiště obrázku.

Jak se počítá těžiště?

V zásadě platí, že pokud se těžiště (CG) a těžiště (cm) shodují s rovnoměrným gravitačním polem, lze vypočítat cm a na něj aplikovat hmotnost.

Uvažujme dva případy: první je ten, ve kterém je rozdělení hmoty diskrétní; to znamená, že každá hmota, která tvoří systém, může být spočtena a přiděleno číslo i, jak bylo provedeno v předchozím příkladu.

Souřadnice těžiště pro diskrétní rozdělení hmotnosti jsou:

Součet všech hmot se přirozeně rovná celkové hmotnosti systému M, jak je uvedeno výše.

Tyto tři rovnice jsou při zvažování vektor r redukuje na kompaktní formě _cm nebo polohy vektor těžiště:

A v případě kontinuálního rozložení hmoty, kdy jsou částice rozdílné velikosti a nelze je spočítat, je součet nahrazen integrálem, který se vytvoří nad objemem obsazeným dotyčným objektem:

Kde r je polohový vektor diferenciální hmotnosti dm a definice hmotnostní hustoty byla použita k vyjádření hmotnostního rozdílu dm obsaženého v objemovém rozdílu dV:

Vlastnosti

Některé důležité úvahy o těžišti jsou následující:

- Ačkoli je pro stanovení poloh nutný referenční systém, těžiště nezávisí na výběru systému, protože je to vlastnost objektu.

- Pokud má objekt osu nebo rovinu souměrnosti, je těžiště na této ose nebo rovině. Využití této okolnosti šetří čas výpočtu.

- Všechny vnější síly působící na objekt mohou být aplikovány na těžiště. Sledování pohybu tohoto bodu poskytuje přehled pohybu objektu a usnadňuje studium jeho chování.

-Vyhledat těžiště těla ve statické rovnováze

Předpokládejme, že chcete, aby tělo předchozího obrázku bylo ve statické rovnováze, to znamená, že se nepřekládá ani neotáčí kolem libovolné osy otáčení, která může být O.

Obrázek 3. Schéma pro výpočet točivého momentu závaží vzhledem k bodu O.

-Vyřešený příklad

Tenká tyč stejnoměrného materiálu je dlouhá 6 ma váží 30 N. Hmotnost 50 N je zavěšena na jejím levém konci a hmotnost 20 N je zavěšena na jejím pravém konci. Najít: a) velikost vzestupné síly potřebné k udržení rovnováhy tyče, b) těžiště sestavy.

Řešení

Diagram síly je znázorněn na následujícím obrázku. Hmotnost tyče se aplikuje na její těžiště, které se kryje s jejím geometrickým středem. Jediným rozměrem, který se bere v úvahu, je jeho délka, protože prohlášení uvádí, že je tenká.

Obrázek 4. Schéma sil pro tyč.

Aby systém bar + závaží zůstal v translační rovnováze, musí být součet sil nulový. Síly jsou svislé, pokud uvažujeme se znaménkem + a dolů se znaménkem - pak:

F- 50 - 20 - 30 N = 0

F = 100 N

Tato síla zaručuje translační rovnováhu. Vezmeme torzní momenty všech sil s ohledem na osu, která prochází krajní levou částí systému a aplikujeme definici:

t = rx F

Momenty všech těchto sil kolem vybraného bodu jsou kolmé k rovině tyče:

Tím pádem:

Těžiště soupravy bar + závaží se nachází 2,10 metrů od levého konce tyče.

Rozdíl od středu hmoty

Těžiště se shoduje s těžištěm, jak je uvedeno, pokud je gravitační pole Země konstantní pro všechny body objektu, které je třeba zvážit. Gravitační pole Země není nic jiného než známá a známá hodnota g = 9,8 m / s ² směřující svisle dolů.

Ačkoli se hodnota g liší v závislosti na zeměpisné šířce a nadmořské výšce, obvykle to neovlivní objekty, o nichž se většinou diskutuje. Bylo by velmi odlišné, kdybyste zvážili velké tělo v blízkosti Země, například asteroid, který je velmi blízko planety.

Asteroid má své vlastní těžiště, ale jeho těžiště by se s ním již nemuselo shodovat, protože g by pravděpodobně prožil značné změny velikosti, vzhledem k velikosti asteroidu a hmotnosti jednotlivých částic nemusí být rovnoběžné.

Dalším zásadním rozdílem je to, že těžiště se nachází bez ohledu na to, zda na předmět působí síla zvaná váha. Je to vnitřní vlastnost objektu, která nám ukazuje, jak je jeho hmota rozdělena ve vztahu k její geometrii.

Těžiště hmoty existuje, ať už je aplikována váha nebo ne. A je umístěn ve stejné poloze, i když se objekt pohybuje na jinou planetu, ve které je gravitační pole odlišné.

Na druhé straně je těžiště jasně spojeno s aplikací váhy, jak jsme viděli v předchozích odstavcích.

Příklady těžiště

Těžiště nepravidelných předmětů

Je velmi snadné zjistit, kde je těžiště nepravidelného předmětu, například šálku. Nejprve je zavěšena z jakéhokoli bodu a odtud je nakreslena svislá čára (na obrázku 5 je to fuchsiová čára v levém obrázku).

Poté se pozastaví z jiného bodu a nakreslí se nová svislá čára (tyrkysová čára v pravém obrázku). Průsečík obou linií je těžištěm šálku.

Obrázek 5. CG umístění hrnečku. Zdroj: upraveno z Pixabay.

Vyvažování objektů

Pojďme analyzovat stabilitu kamionu, který jede po silnici. Pokud je těžiště nad základnou vozíku, vozík se převrátí. Obrázek vlevo je nejstabilnější poloha.

Obrázek 6. Vyvážení vozíku. Zdroj: vlastní výroba.

I když se vozík nakloní doprava, bude se moci vrátit do stabilní rovnovážné polohy, jako ve středním výkresu, protože vertikální stále prochází základnou. Když však tato čára vyjde mimo vozidlo, převrátí se.

Schéma ukazuje síly na osu: normální ve žluté, hmotnost v zelené a statické tření doleva ve fuchsii. Na osu rotace se aplikuje normální a tření, takže nevyvíjejí krouticí moment. Proto nepřispějí k převrácení vozíku.

Hmotnost zůstává, která naštěstí vyvíjí krouticí moment, naštěstí proti směru hodinových ručiček a která má sklon vracet vozík do rovnovážné polohy. Všimněte si, že svislá čára prochází nosnou plochou, kterou je pneumatika.

Když je vozík v krajně správné poloze, krouticí moment hmotnosti se změní ve směru hodinových ručiček. Nelze čelit jindy, kamion se převrátí.

Reference

1. Bauer, W. 2011. Fyzika pro strojírenství a vědy. Svazek 1. Mc Graw Hill. 247-253.
2. Giancoli, D. 2006. Fyzika: Principy s aplikacemi. 6… Ed Prentice Hall. 229-238.
3. Resnick, R. (1999). Fyzický. 1. díl 3. vydání ve španělštině. Compañía Editorial Continental SA de CV 331-341.
4. Rex, A. 2011. Základy fyziky. Pearson, 146-155.
5. Sears, Zemansky. 2016. Univerzitní fyzika s moderní fyzikou. 14. Vyd. Svazek 1340-346.