ELLIPSOID: CHARAKTERISTIKA A PŘÍKLADY - ARTE - 2025

Elipsoid je plocha v prostoru, který patří do skupiny povrchy quadric a jejichž obecná rovnice je ve tvaru:

Je to trojrozměrný ekvivalent elipsy, která se v některých zvláštních případech vyznačuje eliptickými a kruhovými stopami. Stopy jsou křivky získané protínáním elipsoidu s rovinou.

Obrázek 1. Tři různé elipsoidy: nahoře koule, ve které jsou tři poloosy stejné, vlevo dole sféroid, se dvěma stejnými poloosami a jinou a nakonec vpravo dole trojosý sféroid, se třemi různými osami délka. Zdroj: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Kromě elipsoidu existuje ještě pět kvadrik: jeden list a dvou listů hyperboloid, dva typy paraboloidů (hyperbolický a eliptický) a eliptický kužel. Jeho stopy jsou také kónické.

Elipsoid lze také vyjádřit standardní rovnicí v kartézských souřadnicích. Elipsoid vystředěný na počátku (0,0,0) a vyjádřený tímto způsobem se podobá elipse, ale s dalším výrazem:

Hodnoty a, b a c jsou reálná čísla větší než 0 a představují tři poloosy elipsoidu.

Vlastnosti elipsoidu

- Standardní rovnice

Standardní rovnice v kartézských souřadnicích pro elipsu vystředěnou v bodě (h, k, m) je:

- Parametrické rovnice elipsoidu

Ve sférických souřadnicích lze elipsoid popsat takto:

x = hřích θ. cos φ

y = b sin θ. sen φ

z = c cos θ

Poloosy elipsoidu zůstávají a, ba ac, zatímco parametry jsou úhly 9 a φ následujícího obrázku:

Obrázek 2. Sférický souřadný systém. Elipsoid lze parametrizovat pomocí zobrazených úhlů theta a phi jako parametrů. Zdroj: Wikimedia Commons. Andeggs / public domain.

- Stopy elipsoidu

Obecná rovnice povrchu v prostoru je F (x, y, z) = 0 a stopy povrchu jsou křivky:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

V případě elipsoidu jsou takové křivky elipsy a někdy kruhy.

- Hlasitost

Objem V elipsoidu je dán (4/3) πnásobkem součinu jeho tří poloosí:

V = (4/3) π. abc

Zvláštní případy elipsoidu

-An elipsoid se stává koulí, když jsou všechny poloosy stejné velikosti: a = b = c ≠ 0. To dává smysl, protože elipsoid je jako koule, která byla různě napnutá podél každého osa.

- Sféroid je elipsoid, ve kterém jsou dvě poloosy identické a třetí je jiná, například může být a = b ≠ c.

Sferoid je také nazýván elipsoidem revoluce, protože může být generován rotací elips kolem kolem osy.

Pokud se osa otáčení shoduje s hlavní osou, sféroid je prolate, ale pokud se shoduje s vedlejší osou, je zakrytý:

Obrázek 3. Oblate sfheroid vlevo a prolate sfheroid vpravo. Zdroj: Wikimedia Commons.

Míra zploštění sféroidu (elipticita) je dána rozdílem v délce mezi dvěma poloosami, vyjádřeným ve zlomkové formě, tj. Jedná se o sloučení jednotky, dané:

f = (a - b) / a

V této rovnici a představuje poloviční hlavní osu a b polomenší osu, nezapomeňte, že třetí osa je pro sféroid rovna jedné z nich. Hodnota f je mezi 0 a 1 a pro sféroid musí být větší než 0 (pokud by se rovnalo 0, jednoduše bychom měli kouli).

Referenční elipsoid

Planety a hvězdy obecně nejsou obvykle dokonalé koule, protože rotační pohyb kolem jejich os zplošťuje tělo u pólů a vyboulí jej na rovníku.

To je důvod, proč se Země jeví jako splašený sféroid, i když ne tak zveličený jako ten na předchozím obrázku, a pro svou část je plynový gigant Saturn nejplošší z planet ve sluneční soustavě.

Realističtějším způsobem, jak reprezentovat planety, je tedy předpokládat, že jsou jako sféroidní nebo elipsoidní revoluce, jejíž poloos hlavní osou je rovníkový poloměr a polosvětou osou polární poloměr.

Pečlivá měření na planetě umožnila konstruovat referenční elipsoid Země jako nejpřesnější způsob matematické práce.

Hvězdy mají také rotační pohyby, které jim dávají víceméně zploštělé tvary. Rychlá hvězda Achernar, osmá nejjasnější hvězda na noční obloze v jižní souhvězdí Eridanus, je ve srovnání s většinou nejvíce pozoruhodná eliptická. Je to 144 světelných let od nás.

Na druhou stranu, před několika lety, vědci našli nejsféričtější objekt, jaký kdy byl nalezen: hvězda Kepler 11145123, vzdálená 5000 světelných let, dvojnásobek velikosti našeho Slunce a rozdíl mezi poloosami jen 3 km. Podle očekávání se točí také pomaleji.

Pokud jde o Zemi, nejedná se o dokonalý sféroid, ani kvůli svému drsnému povrchu a místním změnám gravitace. Z tohoto důvodu je k dispozici více než jeden referenční sféroid a na každém místě je vybrána ta nejvhodnější pro místní geografii.

Pomoc satelitů je neocenitelná při vytváření stále přesnějších modelů tvaru Země, díky nimž je například známo, že jižní pól je blíže rovníku než severní pól.

Obrázek 4. Haumea, transneptunská trpasličí planeta má elipsoidní tvar. Zdroj: Wikimedia Commons.

Numerický příklad

Díky rotaci Země se vytváří odstředivá síla, která jí dává tvar podlouhlého elipsoidu místo koule. Rovníkový poloměr Země je známý jako 3963 mil a polární poloměr je 3942 mil.

Najděte rovnici rovníkové stopy, rovnici tohoto elipsoidu a míru jeho zploštění. Porovnejte také s elipticitou Saturn s níže uvedenými údaji:

-Saturnův rovníkový poloměr: 60 268 km

-Polární poloměr Saturn: 54 364 km

Řešení

Je zapotřebí souřadnicový systém, který budeme předpokládat soustředěný na původ (střed Země). Předpokládáme, že vertikální osa z a stopa, která odpovídá rovníku, leží na rovině xy, což odpovídá rovině z = 0.

V rovníkové rovině jsou poloosy aab stejné, tedy a = b = 3963 mil, zatímco c = 3942 mil. Jedná se o zvláštní případ: sféroid soustředěný na bod (0,0,0), jak je uvedeno výše.

Rovníková stopa je kruh o poloměru R = 3963 mil, vystředěný na počátku. Vypočítá se z = 0 ve standardní rovnici:

A standardní rovnice pozemského elipsoidu je:

f _Země = (a - b) / a = (3963-3942) mil / 3963 mil = 0,0053

f _Saturn = (60268-54363) km / 60268 km = 0,0980

Všimněte si, že elipticita f je bezrozměrná veličina.

Reference

1. ArcGIS pro stolní počítače. Sféroidy a koule. Obnoveno z: desktop.arcgis.com.
2. BBC World. Tajemství nejsféričtějšího objektu, který kdy byl ve vesmíru objeven. Obnoveno z: bbc.com.
3. Larson, R. Calculus and Analytical Geometry. Šesté vydání. Svazek 2. McGraw Hill.
4. Wikipedia. Ellipsoid. Obnoveno z: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Sféroid. Obnoveno z: en.wikipedia.org.