SPOLEČNÝ FAKTOR SESKUPENÍM TERMÍNŮ: PŘÍKLADY, CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Společným jmenovatelem seskupením termínů je algebraické postup, který umožňuje psát některé algebraických výrazů ve formě faktorů. K dosažení tohoto cíle musíte nejprve správně seskupit výraz a poznamenat, že každá takto vytvořená skupina má ve skutečnosti společný faktor.

Správné použití této techniky vyžaduje určitou praxi, ale v žádném okamžiku ji nezvládnete. Podívejme se nejprve na ilustrativní příklad popsaný krok za krokem. Čtenář pak může použít to, co se naučil v každém cvičení, které se objeví později.

Obrázek 1. Přijetí společného faktoru seskupením termínů usnadňuje práci s algebraickými výrazy. Zdroj: Pixabay.

Předpokládejme například, že musíte zohlednit následující výraz:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Tento algebraický výraz se skládá ze 4 monomů nebo termínů oddělených znaménky + a -, jmenovitě:

2x ², 2xy, -3zx, -3zy

Při bližším pohledu je x společné pro první tři, ale ne poslední, zatímco y je společné pro druhý a čtvrtý a z je společné pro třetí a čtvrtý.

V zásadě tedy neexistuje společný faktor pro čtyři výrazy současně, ale pokud jsou seskupeny, jak bude ukázáno v následující části, je možné, že se objeví jeden, který pomůže napsat výraz jako součin dvou nebo více faktory.

Příklady

Faktor výraz: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Krok 1: Skupina

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Krok 2: Najděte společný faktor každé skupiny

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

I UpozornŚni: záporné znaménko je také společný faktor, který je třeba vzít v úvahu.

Nyní si všimněte, že závorky (x + y) se opakují ve dvou termínech získaných seskupením. To je společný faktor, který byl hledán.

Krok 3: Faktor celý výraz

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

S předchozím výsledkem bylo dosaženo cíle factoringu, což není nic jiného než transformace algebraického výrazu založeného na sčítání a odečtení výrazů na produkt dvou nebo více faktorů, v našem příkladu,: (x + y) a (2x - 3z).

Důležité otázky o společném faktoru seskupením

Otázka 1: Jak zjistit, že je výsledek správný?

Odpověď: Distribuční vlastnost se použije na získaný výsledek a po redukci a zjednodušení se takto získaný výraz musí shodovat s originálem, pokud ne, došlo k chybě.

V předchozím příkladu pracujeme opačně s výsledkem, abychom ověřili, že je správný:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2.xy - 3zy

Protože pořadí dodatků nemění součet, jsou po použití distribuční vlastnosti vráceny všechny původní podmínky, včetně známek, je tedy faktorizace správná.

Otázka 2: Mohlo to být seskupeno jiným způsobem?

Odpověď: Existují algebraické výrazy, které umožňují více než jednu formu seskupení a jiné, které to neumožňují. Ve vybraném příkladu si čtenář může vyzkoušet i jiné možnosti, například seskupení jako je tato:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

A můžete zkontrolovat, že výsledek je stejný, jak byl získán zde. Nalezení optimálního seskupení je věcí praxe.

Otázka 3: Proč je nutné vzít z algebraického výrazu společný faktor?

Odpověď: Protože existují aplikace, kde faktorový výraz usnadňuje výpočty. Předpokládejme například, že chcete nastavit 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy na 0. Jaké jsou možnosti?

Pro zodpovězení této otázky je faktorizovaná verze mnohem užitečnější než původní vývoj. Říká se to takto:

(x + y) (2x - 3z) = 0

Jednou z možností, že výraz má hodnotu 0, je to, že x = -y, bez ohledu na hodnotu z. A další je, že x = (3/2) z, bez ohledu na hodnotu y.

Cvičení

- Cvičení 1

Extrahujte společný faktor následujícího výrazu seskupením výrazů:

ax + ay + bx + od

Řešení

První dva jsou seskupeny se společným faktorem „a“ a poslední dva se společným faktorem „b“:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)

Jakmile je to hotovo, je odhalen nový společný faktor, který je (x + y), takže:

ax + ay + bx + podle = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Další způsob, jak seskupit

Tento výraz podporuje jiný způsob seskupování. Podívejme se, co se stane, pokud jsou podmínky přeuspořádány a skupina je vytvořena s těmi, které obsahují x, a další s těmi, které obsahují y:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

Tímto novým novým společným faktorem je (a + b):

ax + ay + bx + podle = ax + bx + ay + podle = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Což vede ke stejnému výsledku z prvního testovaného seskupení.

- Cvičení 2

Následující algebraický výraz je třeba napsat jako součin dvou faktorů:

3a ³ - 3 a ² b + 9AB ² -a ² + ab-3b ²

Řešení

Tento výraz obsahuje 6 výrazů. Zkusme seskupit první a čtvrtou, druhou a třetí a nakonec pátou a šestou:

3a ³ - 3 a ² b + 9AB ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ²) + (- 3a ² b + 9AB ²) + (ab-3b ²)

Nyní je každá závorka faktorována:

= (3a ³ -a ²) + (- 3a ² b + 9AB ²) + (ab 3b ²) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b -a) + B (A-3b)

Na první pohled se zdá, že situace byla komplikovaná, ale čtenáři by se nemělo odradit, protože přepíšeme poslední termín:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

Poslední dva termíny mají nyní společný faktor, který je (3b-a), takže je lze faktorovat. Je velmi důležité neztratit ze zřetele první termín a ² (3a - 1), který musí vše doplňovat jako doplněk, i když s ním nepracujete:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

Výraz byl redukován na dva termíny a v posledním je objeven nový společný faktor, který je „b“. Nyní zůstává:

a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

Dalším společným faktorem, který se objeví, je 3a - 1:

a ² (3a - 1) + b (3b - a) (3a - 1) = (3a - 1)

Nebo pokud dáváte přednost bez závorek:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² –ab + 3b ²)

Může čtenář najít jiný způsob seskupování, který vede ke stejnému výsledku?

Obrázek 2. Navrhovaná factoringová cvičení. Zdroj: F. Zapata.

Reference

1. Baldor, A. 1974. Elementární algebra. Cultural Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Hlavní případy factoringu. Obnoveno z: julioprofe.net.
4. UNAM. Základní matematika: Faktorizace pomocí seskupení pojmů. Fakulta účetnictví a správy.
5. Zill, D. 1984. Algebra a trigonometrie. MacGraw Hill.