HEPTADECAGON: VLASTNOSTI, ÚHLOPŘÍČKY, OBVOD, PLOCHA - MATEMATIKA - 2025

Heptadecagon je pravidelný polygon s 17 stranách a 17 vrcholy. Jeho konstrukce může být provedena v euklidovském stylu, tj. Pouze pomocí pravítka a kompasu. Byl to velký matematický génius Carl Friedrich Gauss (1777-1855), sotva 18 let, který našel postup pro jeho stavbu v roce 1796.

Gauss byl zjevně vždy velmi nakloněn této geometrické postavě do té míry, že se ode dne, kdy objevil její konstrukci, rozhodl být matematikem. Říká se také, že chtěl, aby byl heptadecagon vyryto na jeho náhrobku.

Obrázek 1. Heptadekagon je pravidelný mnohoúhelník se 17 stranami a 17 vrcholy. Zdroj: F. Zapata.

Gauss také našel vzorec určovat, které pravidelné polygony mají možnost být postaveny s pravítkem a kompasem, protože některé nemají přesnou euklidovskou konstrukci.

Vlastnosti heptadecagonu

Pokud jde o jeho vlastnosti, stejně jako jakýkoli mnohoúhelník, je důležitý součet jeho vnitřních úhlů. V pravidelném mnohoúhelníku s n stranami je součet dán:

Tato suma, vyjádřená v radiánech, vypadá takto:

Z výše uvedených vzorců lze snadno odvodit, že každý vnitřní úhel heptadecagonu má přesnou míru α danou:

Z toho vyplývá, že vnitřní úhel je zhruba:

Diagonály a obvod

Diagonály a obvod jsou další důležité aspekty. V jakémkoli polygonu je počet úhlopříček:

D = n (n - 3) / 2 a v případě heptadecagonu, n = 17, máme potom úhlopříčky D = 119.

Na druhé straně, pokud je známa délka každé strany heptadecagonu, pak je obvod pravidelného heptadecagonu nalezen jednoduše tak, že se přidá 17násobek této délky, nebo co je ekvivalentní 17násobku délky d každé strany:

P = 17 d

Obvod heptadecagon

Někdy je znám pouze poloměr r heptadecagonu, proto je nutné pro tento případ vyvinout vzorec.

Za tímto účelem se zavádí pojem apothem. Apothem je segment, který jde ze středu pravidelného polygonu do středu jedné strany. Apothem vzhledem k jedné straně je kolmý na tuto stranu (viz obrázek 2).

Obrázek 2. Jsou znázorněny části pravidelného mnohoúhelníku s poloměrem r a jeho apothem. (Vlastní zpracování)

Kromě toho je apothem úhel úhlu se středním vrcholem a stranami na dvou po sobě jdoucích vrcholech mnohoúhelníku, což umožňuje najít vztah mezi poloměrem r a stranou d.

Pokud se středový úhel DOE nazývá β a vezme-li se v úvahu, že apothem OJ je bisektor, máme EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), ze kterého máme vztah k nalezení délky d strany polygonu zná svůj poloměr r a středový úhel β:

d = 2 r Sen (β / 2)

V případě heptadecagonu β = 360 ° / 17 máme:

d = 2 r Sen (180 ° / 17) ≈ 0,3675 r

Nakonec se získá vzorec pro obvod heptadekagonu, známý jeho poloměr:

P = 34 r Sen (180 ° / 17) ≈ 6,2475 r

Obvod heptadecagonu je blízko obvodu obvodu, který jej obklopuje, ale jeho hodnota je menší, to znamená, že obvod ohraničené kružnice je Pcir = 2π r ≈ 6,2832 r.

Plocha

Pro stanovení plochy heptadecagonu se budeme odkazovat na obrázek 2, který ukazuje strany a apothem pravidelného mnohoúhelníku s n stranami. Na tomto obrázku má trojúhelník EOD plochu rovnou základně d (strana polygonu) krát výšce a (apothem polygon) děleno 2:

EOD plocha = (dxa) / 2

Takže s vědomím apothem a heptadecagon a jeho strana d, jeho oblast je:

Heptadekagonová plocha = (17/2) (dxa)

Oblast vzhledem k straně

Pro získání vzorce pro oblast heptadekagonu, který zná délku svých sedmnácti stran, je nutné získat vztah mezi délkou apothemové a boční d.

S odkazem na obrázek 2 se získá následující trigonometrický vztah:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, kde β je středový úhel DOE. Apothem a lze tedy vypočítat, pokud je známa délka d strany polygonu a středový úhel β:

a = (d / 2) Cotan (β / 2)

Pokud je tento výraz nyní nahrazen apothemem, máme ve vzorci pro oblast heptadecagonu získanou v předchozí sekci:

Heptadekagonová plocha = (17/4) (d ²) Cotan (β / 2)

B = 360 ° / 17 pro heptadecagon, takže konečně máme požadovaný vzorec:

Heptadekagonová plocha = (17/4) (d ²) Cotan (180 ° / 17)

Plocha vzhledem k poloměru

V předchozích sekcích byl nalezen vztah mezi stranou d pravidelného mnohoúhelníku a jeho poloměrem r, přičemž tento vztah byl následující:

d = 2 r Sen (β / 2)

Tento výraz pro d se vloží do výrazu získaného v předchozí sekci pro danou oblast. Jsou-li provedena příslušná substituce a zjednodušení, získá se vzorec, který umožňuje výpočet plochy heptadecagonu:

Heptadekagonová oblast = (17/2) (r ²) Sen (β) = (17/2) (r ²) Sen (360º / 17)

Přibližný výraz pro tuto oblast je:

Heptadekagonová plocha = 3,0706 (r ²)

Jak se dalo očekávat, tato oblast je o něco menší, než je plocha kružnice opsané v heptadecagon A _CIRC = π r ² ≈ 3,1416 r ². Přesněji řečeno, je to o 2% méně než u ohraničeného kruhu.

Příklady

Příklad 1

Pro zodpovězení otázky je třeba si pamatovat vztah mezi stranou a poloměrem pravidelného n-stranného mnohoúhelníku:

d = 2 r Sen (180 ° / n)

Pro heptadecagon n = 17, takže d = 0,3675 r, tj. Poloměr heptadecagonu je r = 2 cm / 0,3675 = 5,4423 cm nebo

Průměr 10,84444 cm.

Obvod 2 cm postranního heptadekagonu je P = 17 x 2 cm = 34 cm.

Příklad 2

Musíme se odvolat na vzorec uvedený v předchozí části, který nám umožňuje najít oblast heptadecagonu, když má délku d na jeho straně:

Heptadekagonová plocha = (17/4) (d ²) / Tan (180 ° / 17)

Nahrazením d = 2 cm v předchozím vzorci získáme:

Plocha = 90,94 cm

Reference

1. CEA (2003). Geometrické prvky: s cvičeními a kompasovou geometrií. University of Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. (2007). Objevte mnohoúhelníky. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Generalized Polygons. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Matematika 1. semestr Tacaná. IGER.
6. Geometrie jr. (2014). Polygony. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren a Hornsby. (2006). Matematika: Zdůvodnění a aplikace (desáté vydání). Pearsonovo vzdělávání.
8. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Redakční program.
9. Sada, M. 17-stranný pravidelný mnohoúhelník s pravítkem a kompasem. Obnoveno z: geogebra.org
10. Wikipedia. Heptadecagon. Obnoveno z: es.wikipedia.com