PRVOČÍSLA: CHARAKTERISTIKA, PŘÍKLADY, CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Tyto prvočísla, také nazýván primární absolutní, jsou ty, přirozená čísla, která jsou pouze dělitelné sebe a 1. Tato kategorie čísla, jako 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 a mnoho Plus.

Místo toho je složené číslo dělitelné samo sebou, 1 a alespoň jedním dalším číslem. Máme například 12, které je dělitelné 1, 2, 4, 6 a 12. Podle konvence 1 není zahrnuta do seznamu prvočísel nebo do seznamu sloučenin.

Obrázek 1. Některá prvočísla. Zdroj: Wikimedia Commons.

Znalost prvočísel sahá až do starověku; staří Egypťané je už používali a určitě byli známi už dávno.

Tato čísla jsou velmi důležitá, protože jakékoli přirozené číslo může být reprezentováno součinem prvočísel, přičemž toto zobrazení je jedinečné, s výjimkou pořadí faktorů.

Tato skutečnost je plně zakotvena v teorémi nazývaném základní věta aritmetiky, která uvádí, že čísla, která nejsou prvořadá, se nutně skládají z produktů čísel, která jsou prvočísla.

Charakteristika prvočísel

Zde jsou hlavní charakteristiky prvočísel:

-Jsou nekonečná, protože bez ohledu na to, jak velké je prvočíslo, vždy můžete najít větší číslo.

- Pokud prvočíslo p přesně nerozděluje další číslo a, pak se říká, že p a a jsou prvořadé navzájem. Když k tomu dojde, je jediným společným dělitelem 1.

Není nutné, aby byl absolutním prvkem. Například 5 je prvočíslo a ačkoli 12 není, obě čísla jsou prvořadá navzájem, protože obě mají 1 jako společného dělitele.

- Když prvočíslo p dělí sílu čísla n, také dělí n. Uvažujme 100, což je síla 10, konkrétně 10 ². Stává se, že 2 dělí 100 i 10.

-Všechna prvočísla jsou lichá s výjimkou 2, proto její poslední číslice je 1, 3, 7 nebo 9. 5 není zahrnuto, protože ačkoli je liché a prvočíslo, nikdy to není konečná číslice jiného prvočísla. Ve skutečnosti všechna čísla končící na 5 jsou násobky tohoto, a proto nejsou prvořadá.

-Pokud p je hlavní a dělitel součinu dvou čísel ab, pak p jedno dělí. Například prvočíslo 3 dělí produkt 9 x 11 = 99, protože 3 je dělitel 9.

Jak zjistit, zda je číslo prvočíslo

Primalita je jméno dané kvalitě bytí prvořadým. Francouzský matematik Pierre de Fermat (1601-1665) našel způsob, jak ověřit primalitu čísla, v takzvané malé větě Fermata, která říká:

"Vzhledem k prvočíselnému přirozenému číslu p a jakémukoli přirozenému číslu větším než 0 je pravda, že ^p - a je násobkem p, pokud je p prvočíslo".

Můžeme to potvrdit pomocí malých čísel, například předpokládejme, že p = 4, o kterém víme, že není prvočíslo a již = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

Číslo 1290 není přesně dělitelné 4, proto 4 není prvočíslo.

Udělejme nyní test s p = 5, což je primární a ya = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 je dělitelná 5, protože jakékoli číslo, které končí číslem 0 nebo 5, je. Ve skutečnosti 7760/5 = 1554. Protože Fermatova malá věta platí, můžeme zajistit, že 5 je prvočíslo.

Důkaz prostřednictvím věty je účinný a přímý s malými čísly, ve kterých lze operaci snadno provést, ale co dělat, když se od nás požaduje, abychom zjistili primalitu velkého počtu?

V takovém případě je číslo postupně rozděleno mezi všechna menší prvočísla, dokud není nalezeno přesné dělení nebo dokud není kvocient menší než dělitel.

Pokud je jakékoli dělení přesné, znamená to, že číslo je složené a pokud je kvocient menší než dělitel, znamená to, že číslo je prvořadé. Uvedeme to do praxe v řešeném cvičení 2.

Způsoby, jak najít prvočíslo

Existuje nekonečně mnoho prvočísel a neexistuje jediný vzorec, který by je určoval. Při pohledu na některá prvočísla, jako jsou tato:

3, 7, 31, 127…

Je pozorováno, že mají tvar 2 ⁿ - 1, kde n = 2, 3, 5, 7, 9… Zajistíme to:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Nemůžeme však zajistit, že 2 ⁿ - 1 je obecně prvořadá, protože existují určité hodnoty n, pro které nefunguje, například 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

A číslo 15 není prvořadé, protože končí v 5. Jeden z největších známých prvočísel, který byl nalezen počítačovými výpočty, má tvar 2 ⁿ - 1 s:

n = 57,885,161

Mersenneho formule nás ujišťuje, že 2 ^p - 1 je vždy nejlepší, pokud je p také prvořadý. Například 31 je prvořadý, takže je jisté, že 2 ³¹ - 1 je také prvořadý:

2 ³¹ - 1 = 2 147 483 647

Vzorec však umožňuje určit pouze některá prvočísla, ne všechna.

Eulerova formule

Následující polynom umožňuje hledat prvočísla za předpokladu, že n je mezi 0 a 39:

P (n) = n ² + n + 41

Později v části řešených cvičení je uveden příklad jeho použití.

Síto Eratosthenes

Eratosthenes byl fyzik a matematik ze starověkého Řecka, který žil ve 3. století před naším letopočtem. Vymyslel grafickou metodu nalezení prvočísel, která můžeme uvést do praxe s malými čísly, nazývá se Eratosthenesovým sítem (síto je jako síto).

- Čísla jsou umístěna v tabulce jako ta, která je zobrazena v animaci.

- sudá čísla jsou pak přeškrtnuta, s výjimkou 2, o kterých víme, že jsou prvořadá. Všichni ostatní jsou násobky tohoto, a proto nejsou prvořadí.

-Výsobky 3, 5, 7 a 11 jsou také označeny, všechny jsou vyloučeny, protože víme, že jsou prvotřídní.

- Násobky 4, 6, 8, 9 a 10 jsou již označeny, protože jsou složené, a proto násobky některých uvedených prvočísel.

- Konečně čísla, která zůstanou neoznačená, jsou prvořadá.

Obrázek 2. Animace Eratosthenesova síta. Zdroj: Wikimedia Commons.

Cvičení

- Cvičení 1

Pomocí Eulerova polynomu pro prvočísla najděte 3 čísla větší než 100.

Řešení

Toto je polynom, který Euler navrhl, aby našel prvočísla, která pracuje pro hodnoty n mezi 0 a 39.

P (n) = n ² + n + 41

Podle pokusu a chyby vybereme hodnotu n, například n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Protože n = 8 produkuje prvočíslo větší než 100, vyhodnotíme polynom pro n = 9 an = 10:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- Cvičení 2

Zjistěte, zda jsou následující čísla prvořadá:

a) 13

b) 191

Řešení

13 je dost malý na to, aby používal Fermatovu malou větu a pomocí kalkulačky.

Používáme a = 2, takže čísla nejsou příliš velká, ačkoli a = 3, 4 nebo 5 lze také použít:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 je dělitelná 2, protože je sudá, 13 je tedy prvořadá. Čtenář to může potvrdit provedením stejného testu s a = 3.

B. Řešení

191 je příliš velký na to, aby bylo možné dokázat teorémem a společnou kalkulačkou, ale můžeme najít rozdělení mezi každé prvočíslo. Vynecháme dělení 2, protože 191 není sudé a dělení nebude přesné nebo kvocient menší než 2.

Snažíme se dělit 3:

191/3 = 63 666…

A není to přesné, ani kvocient menší než dělitel (63 666… je větší než 3)

Pokračujeme tedy v pokusu rozdělit 191 mezi prvočísla 5, 7, 11, 13 a nedojde k přesnému dělení ani kvocientu menšímu než dělitel. Dokud není děleno 17:

191/17 = 11, 2352…

Protože to není přesné a 11.2352… je menší než 17, číslo 191 je prvořadé.

Reference

1. Baldor, A. 1986. Aritmetika. Kodex vydání a distribuce.
2. Prieto, C. Prvočísla. Obnoveno z: paginas.matem.unam.mx.
3. Vlastnosti prvočísel. Obnoveno z: mae.ufl.edu.
4. Smartick. Prvočísla: jak je najít s Eratosthenesovým sítem. Obnoveno z: smartick.es.
5. Wikipedia. Prvočíslo. Obnoveno z: es.wikipedia.org.