TEORIE FRONT: HISTORIE, MODEL, K ČEMU SLOUŽÍ A PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Teorie front je odvětví matematiky, která studuje jevy a chování v čekajících linek. Jsou definovány, když se uživatel, který požaduje určitou službu, rozhodne čekat na zpracování serveru.

Studujte prvky, které jsou přítomny v čekacích linkách jakéhokoli typu, ať už se jedná o lidské prvky, nebo o zpracování dat nebo operace. Jeho závěry se soustavně používají ve výrobních, registračních a zpracovatelských linkách.

Písmo Pexels

Jeho hodnoty slouží k parametrizaci procesů před jejich implementací a slouží jako klíčový organizační prvek pro správné řízení plánování.

Dějiny

Hlavní odpovědností za jeho vývoj byl dánský matematik Agner Kramp Erlang, který pracoval v telekomunikační telekomunikační společnosti v Kodani.

Agner zaznamenal rostoucí potřeby, které se objevují v systému poskytování telefonních služeb společnosti. Proto začalo studium matematických jevů, které lze kvantifikovat v systému čekací linky.

Jeho první oficiální publikací byl článek nazvaný Queuing Theory, který vyšel v roce 1909. Zaměřil se především na problém dimenzování linek a telefonních ústředen pro službu volání.

Model a prvky

Existují různé modely front, kde některé aspekty jsou zodpovědné za definování a charakterizaci každé z nich. Před definováním modelů jsou představeny prvky, které tvoří každý model fronty.

-Elementy

Zdroj vstupu nebo potenciální populace

Je to soubor možných uchazečů o službu. To platí pro jakýkoli typ proměnné, od lidských uživatelů po sady datových paketů. V závislosti na povaze souboru se dělí na konečné a nekonečné.

Ocas

Vztahuje se na sadu prvků, které již jsou součástí systému služeb. Které již souhlasily s vyčkáním na dostupnost operátora. Jsou ve stavu čekání na systémová řešení.

- Ocasní systém

Skládá se z trojice tvořené frontou, servisního mechanismu a disciplíny fronty. Dává strukturu systémovému protokolu a řídí výběrová kritéria pro prvky ve frontě.

- Servisní mechanismus

Je to proces, kterým je služba poskytována každému uživateli.

-Client

Je to jakýkoli prvek potenciální populace, který vyžaduje službu. Je důležité znát míru vstupu klientů a pravděpodobnost, že je zdroj vygeneruje.

-Časová kapacita

Označuje maximální kapacitu položek, které mohou čekat na doručení. Lze jej považovat za konečný nebo nekonečný, ve většině případů je podle kritérií praktičnosti nekonečný.

- Disciplína fronty

Je to protokol, kterým je určena objednávka, ve které je zákazníkovi doručen. Slouží jako kanál zpracování a objednávky pro uživatele, který je zodpovědný za jejich dispozice a pohyb ve frontě. Podle vašich kritérií to může být různých typů.

- FIFO: Z zkratky v angličtině First first first out, také známý jako FCFS first come first serve. Což znamená, první, první a první, první, které mají být doručeny. Obě formuláře označují, že první, který dorazí, bude první, který má být doručen.

- LIFO: Last in first out, známý také jako stack nebo LCFS last come first serve. Pokud je zákazníkovi, který dorazil naposledy, doručeno jako první.

- RSS: Náhodný výběr služby nazývané také služba SIRO v náhodném pořadí, kde jsou zákazníci vybíráni podle náhodných nebo náhodných kritérií.

Modely

Model fronty je třeba brát v úvahu 3 aspekty. Jedná se o následující:

- Rozdělení času mezi přílety: označuje míru, za kterou se jednotky přidávají do fronty. Jsou to funkční hodnoty a podléhají různým proměnným v závislosti na jejich povaze.

- Rozdělení času služby: čas, který server používá ke zpracování služby požadované klientem. Liší se podle počtu zavedených operací nebo postupů.

Tyto 2 aspekty mohou nabývat následujících hodnot:

M: exponenciální exponenciální distribuce (Markoviana).

D: Degenerovaná distribuce (konstantní časy).

E _k: Erlangova distribuce s tvarovým parametrem k.

G: Obecné rozdělení (jakékoli rozdělení).

- Počet serverů: Servisní brány otevřené a dostupné pro zpracování klientů. Jsou zásadní při strukturální definici každého modelu ve frontě.

Tímto způsobem jsou definovány modely zařazování do fronty, nejprve se iniciály rozdělí čas příjezdu a rozložení času služby velkými písmeny. Nakonec je studován počet serverů.

Poměrně častým příkladem je MM 1, který se vztahuje k exponenciálnímu typu příchodu a distribuce času služby při práci s jediným serverem.

Dalšími typy frontových modelů jsou mimo jiné MM s, MG 1, ME 1, DM 1.

Typy frontových systémů

Existuje několik typů frontových systémů, kde více proměnných slouží jako indikátory typu prezentovaného systému. Ale v zásadě se řídí počtem front a počtem serverů. Rovněž platí lineární struktura, které je uživatel vystaven pro získání služby.

- Fronta a server. Jedná se o obvyklou strukturu, kdy uživatel prostřednictvím systému příchodu vstupuje do fronty, kde po dokončení čekání podle disciplíny fronty je zpracováván jediným serverem.

- Jedna fronta a více serverů. Uživatel může na konci své čekací doby přejít na různé servery, které mohou být vykonavateli stejných procesů a mohou být soukromé pro různé procedury.

- Více front a více serverů. Struktura může být rozdělena pro různé procesy nebo sloužit jako široký kanál pro pokrytí vysoké poptávky po běžné službě.

- Fronta se sekvenčními servery. Uživatelé procházejí různými fázemi. Vstupují a vystupují ve frontě, a když je obsluhuje první server, přecházejí do nové fáze, která vyžaduje předchozí plnění provedená v první službě.

Terminologie

- λ: Tento symbol (Lambda) představuje v teorii front očekávanou hodnotu vstupů za časový interval.

- 1 / λ: Odpovídá očekávané hodnotě mezi časy příjezdu každého uživatele, který vstoupí do systému.

- μ: Symbol Mu odpovídá očekávanému počtu klientů, kteří dokončují službu za jednotku času. To platí pro každý server.

- 1 / μ: Provozní doba očekávaná systémem.

- ρ: Symbol Rho označuje faktor využití serveru. Používá se k měření, kolik času bude server zaneprázdněn zpracováním uživatelů.

ρ = λ / sμ

Pokud p> 1, bude systém přechodný, bude mít tendenci růst, protože míra užitečnosti serveru je pod počtem uživatelů vstupujících do systému.

Pokud p <1, systém zůstane stabilní.

K čemu je teorie

Byl vytvořen za účelem optimalizace procesů poskytování telefonních služeb. To vymezuje užitečnost s ohledem na jevy čekacích linek, kde se snaží snížit časové hodnoty a zrušit jakýkoli druh přepracování nebo nadbytečného procesu, který zpomaluje proces uživatelů a operátorů.

Písmo Pexels

Na složitějších úrovních, kde vstupní a servisní proměnné berou smíšené hodnoty, jsou výpočty prováděné mimo teorii front téměř nemyslitelné. Vzorce poskytnuté teorií otevřely pokročilý počet v této větvi.

Prvky přítomné ve vzorcích

- Pn: Hodnota vztahující se k pravděpodobnosti, že jednotky „n“ jsou v systému.

- Lq: Délka fronty nebo průměrná hodnota uživatelů v ní.

- Ls: Průměr jednotek v systému.

- Wq: Průměrná čekací doba ve frontě.

- Ws: Průměrná čekací doba v systému.

- _λ: Průměrný počet klientů, kteří vstupují do služby.

- Ws (t): Hodnota vztahující se k pravděpodobnosti, že zákazník v systému zůstane více než „t“ jednotek.

- Wq (t): Hodnota vztahující se k pravděpodobnosti, že zákazník zůstane ve frontě více než „t“ jednotek.

Příklady

Registr má jediný server pro zpracování pasů uživatelů, kteří přicházejí. Registru se účastní v průměru 35 uživatelů za hodinu. Server má kapacitu sloužit 45 uživatelům za hodinu. Dříve je známo, že uživatelé tráví ve frontě v průměru 5 minut.

Ty chceš vědět:

1. Průměrná doba, kterou každý uživatel stráví v systému
2. Průměrný počet zákazníků ve frontě

Máme λ = 35/45 zákazníků / minut

μ = 45/60 klientů / minuty

Wq = 5 minut

Část A

Průměrný čas v systému lze vypočítat pomocí Ws

Ws = Wq + 1 / μ = 5 minut + 1,33 = 6,33 minut

Tímto způsobem je definován celkový čas, který bude uživatel v systému, kde 5 minut bude ve frontě a 1,33 minut se serverem.

Část b

Lq = X x Wq

Lq = (0,78 klientských minut) x (5 minut) = 3,89 klientů

Ve frontě může být současně více než 3 klienti.

Reference

1. Řízení provozu. Editorial Vértice, 16. dubna. 2007
2. Teorie front nebo čekací linie. Germán Alberto Córdoba Barahona. Pontificia Universidad Javeriana, 2002
3. Teorie systémů řešila problémy. Roberto Sanchis Llopis. Publikace Universitat Jaume I, 2002
4. Kvantitativní metody průmyslové organizace II. Joan Baptista Fonollosa Guardiet, José María Sallán Laws, Albert Suñé Torrents. Univ. Politèc. od Catalunya, 2009
5. Teorie zásob a její aplikace. Editorial Pax-México, 1967