TROJÚHELNÍKY: HISTORIE, PRVKY, KLASIFIKACE, VLASTNOSTI - VĚDA - 2025

Tyto trojúhelníky jsou ploché a uzavřené geometrické obrazce, který se skládá ze tří stran. Trojúhelník je určen třemi čarami, které se protínají dva po dvou a vytvářejí spolu tři úhly. Trojúhelníkový tvar plný symboliky je přítomen v nesčetných objektech a jako konstrukční prvek.

Původ trojúhelníku je v historii ztracen. Z archeologických důkazů je známo, že to primitivní lidstvo dobře vědělo, protože archeologické pozůstatky potvrzují, že bylo použito v nástrojích a zbraních.

Obrázek 1. Trojúhelníky. Zdroj: Publicdomainpictures.

Je také zřejmé, že starověcí Egypťané měli solidní znalosti o geometrii a zejména o trojúhelníkovém tvaru. Projevily se v architektonických prvcích jeho monumentálních budov.

V Rhind papyrus najdete vzorce pro výpočet ploch trojúhelníků a lichoběžníků, stejně jako některé svazky a další koncepty základní trigonometrie.

Z jejich strany je známo, že Babyloňané dokázali vypočítat plochu trojúhelníku a dalších geometrických útvarů, které použili pro praktické účely, jako například rozdělení země. Byli také obeznámeni s mnoha vlastnostmi trojúhelníků.

Nicméně, to byli starověcí Řekové, kteří systematizovali mnoho geometrických konceptů převládajících dnes, ačkoli většina z těchto znalostí nebyla exkluzivní, protože to bylo jistě sdíleno s těmito dalšími starými civilizacemi.

Prvky trojúhelníku

Prvky libovolného trojúhelníku jsou uvedeny na následujícím obrázku. Existují tři: vrcholy, boky a úhly.

Obrázek 2. Zápis trojúhelníků a jejich prvků. Zdroj: Wikimedia Commons, upravený F. Zapatou

-Vertices: jsou průsečíky čar, jejichž segmenty určují trojúhelník. Na obrázku výše například přímka L _AC, která obsahuje segment AC, protíná linii L _AB, která obsahuje segment AB přesně v bodě A.

- Strany: mezi každou dvojicí vrcholů je nakreslen úsečka, která tvoří jednu stranu trojúhelníku. Tento segment lze označit koncovými písmeny nebo pomocí specifického písmene k jeho volání. V příkladu na obrázku 2 se strana AB nazývá také „c“.

- Úhly: Mezi každou stranou se společným vrcholem vzniká úhel, jehož vrchol se shoduje s vrcholem trojúhelníku. Obecně je úhel označen řeckým písmenem, jak bylo uvedeno na začátku.

Chcete-li vytvořit konkrétní trojúhelník s daným tvarem a velikostí, stačí mít jednu z následujících sad dat:

- Tři strany, zcela zřejmé v případě trojúhelníku.

- Dvě strany a úhel mezi nimi a okamžitě zbývající strana je nakreslena.

- Dva (vnitřní) úhly a strana mezi nimi. Po prodloužení jsou obě chybějící strany nakresleny a trojúhelník je připraven.

Zápis

Obecně se v notaci trojúhelníku používají následující konvence: vrcholy jsou označeny velkými latinskými písmeny, strany malými latinskými písmeny a úhly řeckými písmeny (viz obrázek 2).

Tímto způsobem je trojúhelník pojmenován podle svých vrcholů. Například trojúhelník vlevo na obrázku 2 je trojúhelník ABC a ten napravo trojúhelník A'B'C '.

Je také možné použít jiné zápisy; například úhel a na obrázku 2 je označen jako BAC. Všimněte si, že písmeno vrcholu jde uprostřed a písmena jsou psána proti směru hodinových ručiček.

Jindy se k označení úhlu používá stříška:

a = ∠A

Druhy trojúhelníků

Existuje několik kritérií pro třídění trojúhelníků. Nejobvyklejší je klasifikovat je podle míry jejich stran nebo podle míry jejich úhlů. V závislosti na míře jejich stran mohou být trojúhelníky: stupnice, rovnoramenné nebo rovnostranné:

-Scaleno: jeho tři strany jsou odlišné.

-Seznamuje: má dvě stejné strany a jednu jinou stranu.

-Equilátero: tři strany jsou si rovny.

Obrázek 3. Klasifikace trojúhelníků podle jejich stran. Zdroj: F. Zapata

Podle míry jejich úhlů jsou trojúhelníky pojmenovány takto:

- Překážka, je-li jeden z vnitřních úhlů větší než 90 °.

- Akutní úhel, když jsou tři vnitřní úhly trojúhelníku ostré, tj. Menší než 90 °

- Obdélník, pokud jeden z jeho vnitřních úhlů má hodnotu 90 °. Strany, které tvoří 90º, se nazývají nohy a strana opačná k pravému úhlu je propona.

Obrázek 4. Klasifikace trojúhelníků podle jejich vnitřních úhlů. Zdroj: F. Zapata.

Shoda trojúhelníků

Pokud mají dva trojúhelníky stejný tvar a stejnou velikost, říká se, že jsou shodné. Samozřejmě shoda souvisí s rovností, tak proč hovoří geometrie o „dvou shodných trojúhelnících“ místo „dvou stejných trojúhelníků“?

No, je výhodné použít termín „kongruence“, aby se držel pravdy, protože dva trojúhelníky mohou mít stejný tvar a velikost, ale mohou být v rovině orientovány odlišně (viz obrázek 3). Z hlediska geometrie by už nebyly přísně stejné.

Obrázek 5. Souběžné trojúhelníky, ale ne nutně stejné, protože jejich orientace v rovině je jiná. Zdroj: F. Zapata.

Kritéria shodnosti

Dva trojúhelníky jsou shodné, pokud nastane některá z následujících situací:

- Tři strany měří to samé (opět je to nejzřetelnější).

- Mají mezi sebou dvě stejné strany a se stejným úhlem.

-Mají dva identické vnitřní úhly a strana mezi těmito úhly měří stejnou.

Jak je vidět, jedná se o dva trojúhelníky, které splňují nezbytné podmínky, takže když jsou postaveny, jejich tvar a velikost jsou přesně stejné.

Kritéria shodnosti jsou velmi užitečná, protože v praxi musí být nespočet kusů a mechanických dílů vyráběno v sérii tak, aby jejich rozměry a tvar byly přesně stejné.

Podobnost trojúhelníků

Trojúhelník je podobný jinému, pokud má stejný tvar, i když má různé velikosti. K zajištění stejného tvaru je nutné, aby vnitřní úhly měly stejnou hodnotu a aby strany byly úměrné.

Obrázek 6. Dva podobné trojúhelníky: jejich velikosti se liší, ale jejich proporce jsou stejné. Zdroj: F. Zapata.

Trojúhelníky na obrázku 2 jsou také podobné, jako jsou ty na obrázku 6. Takto:

Pokud jde o strany, platí následující poměry podobnosti:

Vlastnosti

Základní vlastnosti trojúhelníků jsou následující:

- Součet vnitřních úhlů libovolného trojúhelníku je vždy 180 °.

- Pro jakýkoli trojúhelník se součet jeho vnějších úhlů rovná 360 °.

- Vnější úhel trojúhelníku se rovná součtu dvou vnitřních úhlů, které nesousedí s uvedeným úhlem.

Věty

Thalesova první věta

Jsou přičítány řeckému filozofovi a matematikovi Thalesovi z Milétu, který vyvinul několik teorémů souvisejících s geometrií. První z nich uvádí následující:

Obrázek 7. Thalesova věta. Zdroj: F. Zapata.

Jinými slovy:

a / a´ = b / b´ = c / c´

Thalesova první věta je aplikovatelná na trojúhelník, například máme modrý trojúhelník ABC vlevo, který je řezán červenými rovnoběžkami vpravo:

Obrázek 8. Thalesova věta a podobné trojúhelníky.

Fialový trojúhelník AB'C 'je podobný modrému trojúhelníku ABC, proto lze podle Thalesovy věty napsat následující:

AB´ / AC´ = AB / AC

A to je v souladu s tím, co bylo vysvětleno dříve v segmentu podobnosti trojúhelníků. Mimochodem, rovnoběžné čáry mohou být také svislé nebo rovnoběžné s přepážkou a podobné trojúhelníky se získají stejným způsobem.

Thalesova druhá věta

Tato věta se také týká trojúhelníku a kruhu se středem O, jako jsou níže uvedené. Na tomto obrázku je AC průměr obvodu a B je na něm bod, B se liší od A a B.

Thalesova druhá věta říká, že:

Obrázek 9. Thalesova druhá věta. Zdroj: Wikimedia Commons. Induktivní zátěž.

Pythagorova věta

Toto je jedna z nejslavnějších věty v historii. Je to kvůli řeckému matematikovi Pythagorasovi ze Samosu (569 - 475 př.nl) a je použitelné pro pravoúhlý trojúhelník. Říká tak:

Pokud vezmeme jako příklad modrý trojúhelník na obrázku 8 nebo fialový trojúhelník, protože oba jsou obdélníky, pak lze konstatovat, že

AC ² = AB ² + BC ² (modrý trojúhelník)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (fialový trojúhelník)

Oblast trojúhelníku

Plocha trojúhelníku je dána součinem jeho základny a a jeho výšky h, děleno 2. A trigonometricky lze tuto výšku napsat jako h = b sinθ.

Obrázek 10. Plocha trojúhelníku. Zdroj: Wikimedia Commons.

Příklady trojúhelníků

Příklad 1

Říká se, že díky jeho první větě se Thalesovi podařilo změřit výšku Velké pyramidy v Egyptě, jednoho ze 7 zázraků starověkého světa, změřením stínu, který promítal na zemi, a stínem promítnutým do tmy.

Toto je nástin postupu, který následuje Tales:

Obrázek 11. Schéma pro měření výšky Velké pyramidy podobností trojúhelníků. Zdroj: Wikimedia Commons. Dake

Thales správně předpokládal, že sluneční paprsky dopadají paralelně. S ohledem na to si představoval pravý velký trojúhelník vpravo.

Tam D je výška pyramidy a C je vzdálenost nad zemí měřená od středu ke stínu vrženému pyramidou na pouštní podlaze. Měření C může být náročné, ale je to jistě snazší než měření výšky pyramidy.

Vlevo je malý trojúhelník s nohami A a B, kde A je výška kolíku vedeného svisle do země a B je stín, který vrhá. Obě délky jsou měřitelné, stejně jako C (C se rovná délce stínu + polovina délky pyramidy).

Takže podobností trojúhelníků:

A / B = D / C

A výška Velké pyramidy se ukáže být: D = C. (A / B)

Příklad 2

Příhradové nosníky v občanské stavbě jsou konstrukce vyrobené z tenkých rovných tyčí ze dřeva nebo kovu, které se kříží a které se používají jako podpěra v mnoha budovách. Oni jsou také známí jako krovy, krovy nebo krovy.

V nich jsou vždy přítomny trojúhelníky, protože tyče jsou vzájemně propojeny v místech zvaných uzly, které lze fixovat nebo kloubově spojit.

Obrázek 12. Trojúhelník je přítomen v rámu tohoto můstku. Zdroj: PxHere.

Příklad 3

Metoda známá jako triangulace umožňuje získat umístění nepřístupných bodů, které znají jiné vzdálenosti, které se snadněji měří, za předpokladu, že je vytvořen trojúhelník, který zahrnuje požadované umístění mezi jeho vrcholy.

Například na následujícím obrázku chceme vědět, kde je loď v moři, označená jako B.

Obrázek 13. Triangulační schéma pro lokalizaci lodi. Zdroj: Wikimedia Commons. Colette

Nejprve se měří vzdálenost mezi dvěma body na pobřeží, které na obrázku jsou A a C. Dále se úhly α a β musí stanovit pomocí teodolitu, zařízení používaného k měření svislých a vodorovných úhlů.

Se všemi těmito informacemi je zabudován trojúhelník, v jehož horním vrcholu je loď. Zbývá spočítat úhel γ, pomocí vlastností trojúhelníků a vzdáleností AB a CB pomocí trigonometrie, k určení polohy lodi v moři.

Cvičení

Cvičení 1

Na obrázku jsou sluneční paprsky rovnoběžné. Tímto způsobem 5 metrů vysoký strom vrhá 6 metrů stín na zem. Stín budovy je zároveň 40 metrů. Podle Thalesovy první věty najděte výšku budovy.

Obrázek 14. Schéma řešeného cvičení 1. Zdroj: F. Zapata.

Řešení

Červený trojúhelník má strany 5 a 6 metrů, zatímco modrý má výšku H - výšku budovy - a základnu 40 metrů. Oba trojúhelníky jsou tedy podobné:

Cvičení 2

Musíte znát vodorovnou vzdálenost mezi dvěma body A a B, ale jsou umístěny na velmi nerovném terénu.

Přibližně ve středu (P _m) řečeného terénu vyniká výraznost 1,75 metrů. Pokud měřicí páska udává 26 metrů délky měřené od A do výběžku a 27 metrů od B do stejného bodu, najděte vzdálenost AB.

Obrázek 15. Schéma řešeného cvičení 2. Zdroj: Jiménez, R. Mathematics II. Geometrie a trigonometrie.

Řešení

Pythagorova věta je aplikována na jeden ze dvou pravoúhlých trojúhelníků na obrázku. Počínaje tím vlevo:

Hypotenuse = c = 26 metrů

Výška = a = 1,75 metrů

AP _m = (26 ² - 1,75 ²) ^1/2 = 25,94 m

Nyní aplikujte Pythagory na trojúhelník vpravo, tentokrát c = 27 metrů, a = 1,75 metrů. S těmito hodnotami:

BP _m = (27 ² - 1,75 ²) ^1/2 = 26,94 m

Vzdálenost AB je nalezena přidáním těchto výsledků:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.

Reference

1. Baldor, JA 1973. Rovinná a kosmická geometrie. Středoamerický kulturní.
2. Barredo, D. Geometrie trojúhelníku. Obnoveno z: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Matematika II. Geometrie a trigonometrie. Druhé vydání. Pearson.
4. Wentworth, G. Plane Geometry. Obnoveno z: gutenberg.org.
5. Wikipedia. Trojúhelník. Obnoveno od: es. wikipedia.org.