ORTHONORMÁLNÍ ZÁKLAD: VLASTNOSTI, PŘÍKLADY A CVIČENÍ - FYZICKÝ - 2025

Ortonormální báze je vytvořen s vektory na sebe kolmé, a jehož modul pružnosti je také 1 (jednotkové vektory). Připomeňme si, že báze B ve vektorovém prostoru V je definována jako sada lineárně nezávislých vektorů schopných generovat uvedený prostor.

Vektorový prostor je zase abstraktní matematická entita, mezi jejíž prvky patří vektory, obvykle spojené s fyzickými veličinami, jako je rychlost, síla a posunutí nebo také s maticemi, polynomy a funkcemi.

Obrázek 1. Pravoúhlá základna v rovině. Zdroj: Wikimedia Commons. Quartl.

Vektory mají tři charakteristické prvky: velikost nebo modul, směr a smysl. Orthonormální základna je zvláště užitečná pro jejich reprezentaci a práci s nimi, protože jakýkoli vektor, který patří do určitého vektorového prostoru V, může být psán jako lineární kombinace vektorů, které tvoří ortonormální základ.

Tímto způsobem jsou analyticky prováděny operace mezi vektory, jako je sčítání, odčítání a různé typy produktů definovaných v uvedeném prostoru.

Mezi nejpoužívanější základny ve fyzice patří základna tvořená jednotkovými vektory i, j a k, které představují tři charakteristické směry trojrozměrného prostoru: výška, šířka a hloubka. Tyto vektory jsou také známé jako jednotkové kanonické vektory.

Pokud jsou vektory namísto toho zpracovány v rovině, postačují dvě z těchto tří složek, zatímco u jednorozměrných vektorů je vyžadován pouze jeden.

Vlastnosti základen

1- A báze B je nejmenší možná sada vektorů, které generují vektorový prostor V.

2- Prvky B jsou lineárně nezávislé.

3 - Jakákoli báze B vektorového prostoru V umožňuje vyjádřit všechny vektory V jako jeho lineární kombinaci a tato forma je pro každý vektor jedinečná. Z tohoto důvodu je B také známý jako generující systém.

4- Stejný vektorový prostor V může mít různé základy.

Příklady bází

Zde je několik příkladů ortonormálních bází a bází obecně:

Kánonický základ v ℜ

Také se nazývá přirozená báze nebo standardní báze ℜ ⁿ, kde ℜ ⁿ je n-rozměrný prostor, například trojrozměrný prostor je ℜ ³. Hodnota n se nazývá dimenze vektorového prostoru a označuje se jako dim (V).

Všechny vektory patřící do ℜ ⁿ jsou reprezentovány uspořádanými n-reklamami. Pro prostor ℜ ⁿ je kanonickým základem:

e ₁ = <1,0,…, 0>; e ₂ = <0,1,…, 0>; …….. e _n = <0,0,…, 1>

V tomto příkladu jsme použili notaci s hranatými závorkami nebo „závorkami“ a tučně pro jednotkové vektory e ₁, e ₂, e ₃…

Kánonický základ v ℜ

Známé vektory i, j a k připouštějí stejnou reprezentaci a všechny tři z nich jsou dostatečné pro reprezentaci vektorů v ℜ ³:

i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>

To znamená, že základnu lze vyjádřit takto:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

Pro ověření, že jsou lineárně nezávislé, je determinant s nimi vytvořený nenulový a roven 1:

Rovněž musí být možné napsat jakýkoli vektor patřící do ℜ ³ jako jejich lineární kombinaci. Například síla, jejíž pravoúhlé složky jsou F _x = 4 N, _Fy = -7 N a F _z = 0 N, bude zapsána do vektorového tvaru takto:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

Proto i, j a k tvoří generátorový systém ℜ ³.

Jiné ortonormální báze v ℜ

Standardní základ popsaný v předchozí části není jediný ortonormální základ v ℜ ³. Zde máme například základy:

B ₁ = {; <- sin 9, cos 9, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>}

Lze ukázat, že tyto základny jsou ortorormální, proto si pamatujeme podmínky, které musí být splněny:

- Vektory, které tvoří základnu, musí být vůči sobě navzájem kolmé.

- Každá z nich musí být jednotná.

Můžeme to ověřit tím, že víme, že determinant, který tvoří, musí být nenulový a roven 1.

Základna B ₁, je právě to, že z válcových souřadnicích p, cp a Z, což je další způsob, jak vyjádřit vektorů v prostoru.

Obrázek 2. Válcové souřadnice. Zdroj: Wikimedia Commons. Matematický buff.

Řešená cvičení

- Cvičení 1

Ukažte, že základna B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0>; <0,0,1>} je ortonormální.

Řešení

Abychom ukázali, že vektory jsou vzájemně kolmé, použijeme skalární produkt, nazývaný také interní nebo tečkový produkt dvou vektorů.

Nechť dva vektory u a v, jejich tečkový produkt je definován:

u • v = uv cosθ

Pro rozlišení vektorů jejich modulů použijeme tučné tučně pro první a normální písmena pro druhé. θ je úhel mezi u a v, proto pokud jsou kolmé, znamená to, že θ = 90º a skalární součin je nula.

Alternativně, pokud jsou vektory uvedeny z hlediska jejich složek: u =x, u _y, u _z > y v =x, v _y, v _z >, skalární součin obou, který je komutativní, se vypočítá takto:

u • v = u _x.v _x + u _y.v _y + u _z.v _z

Tímto způsobem jsou skalární produkty mezi každou dvojicí vektorů:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5,0> • <0, 0,1> = 0

Pro druhou podmínku se vypočítá modul každého vektoru, který se získá:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ²)

Moduly každého vektoru jsou tedy:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0,1> │ = √ = 1

Proto jsou všechny tři jednotkové vektory. Konečně determinant, který tvoří, je nenulový a rovná se 1:

- Cvičení 2

Souřadnice vektoru w = <2, 3,1> napište výše jako základnu.

Řešení

K tomu se používá následující věta:

w = < w • V ₁ > v ₁ + < W • objem ₂ > v ₂ + < W • v ₃ > v ₃ +… < w • V _n > v _n

To znamená, že můžeme napsat vektoru v báze B, na základě koeficientů < w • V ₁ >, < w • V ₂ >,… < w • V _n >, pro které musíme počítat k označeným skalární produkty:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1,0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1,0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

Se získanými skalárními produkty se vytvoří matice nazývaná souřadná matice w.

Souřadnice vektoru w v základně B jsou proto vyjádřeny:

_B =

Matice souřadnic není vektor, protože vektor není stejný jako jeho souřadnice. Jedná se pouze o soubor čísel, která slouží k expresi vektoru v dané bázi, nikoli vektoru jako takového. Závisí také na vybrané základně.

Nakonec, podle věty, by vektor w byl vyjádřen takto:

W = (18/5) v ₁ + (1/5) V ₂ + V ₃

S: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; V ₂ = <- 4/5, 3 / 5,0>; v ₃ = <0,0,1>}, tj. vektory báze B.

Reference

1. Larson, R. Základy lineární algebry. 6. Edice. Cengage Learning.
2. Larson, R. 2006. Calculus. 7. Edice. Svazek 2. McGraw Hill.
3. Salas, J. Linear Algebra. Jednotka 10. Ortonormální základy. Obnoveno z: ocw.uc3m.es.
4. Sevilla University. Válcové souřadnice. Vektorové základny. Obnoveno z: laplace.us.es.
5. Wikipedia. Orthonormální základna. Obnoveno z: es.wikipedia.org.