INJEKČNÍ FUNKCE: CO TO JE, K ČEMU SLOUŽÍ A PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Prosté zobrazení je nějaký vztah prvků domény s jediným prvkem codomain. Také známý jako one-to-one funkce (1 - 1), které jsou součástí klasifikace funkcí s ohledem na způsob jejich prvky jsou příbuzné.

Prvek codomény může být pouze obrazem jednoho prvku domény, takže hodnoty závislé proměnné nelze opakovat.

Zdroj: Autor.

Jasným příkladem by bylo seskupení mužů s úkoly ve skupině A a ve skupině B všech šéfů. Funkce F bude ta, která spojuje každého pracovníka s jeho šéfem. Pokud je každý pracovník spojen s jiným šéfem prostřednictvím F, pak F bude injekční funkcí.

Aby bylo možné zvážit funkční injektáž, musí být splněny následující podmínky:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁) ≠ F (x ₂)

Toto je algebraický způsob rčení Pro každé x ₁ odlišné od x ₂ máme F (x ₁) odlišné od F (x ₂).

Na co jsou funkce vstřikování?

Injektivita je vlastnost nepřetržitých funkcí, protože zajišťují přiřazení obrazů pro každý prvek domény, což je základní aspekt v kontinuitě funkce.

Když nakreslíte čáru rovnoběžnou s osou X na grafu injekční funkce, graf by se měl dotknout pouze v jednom bodě, bez ohledu na to, v jaké výšce nebo velikosti Y je čára nakreslena. Toto je grafický způsob, jak otestovat injektivitu funkce.

Dalším způsobem, jak otestovat, zda je funkce injektivní, je řešení nezávislé proměnné X z hlediska závislé proměnné Y. Potom musí být ověřeno, zda doména tohoto nového výrazu obsahuje reálná čísla ve stejnou dobu jako pro každou hodnotu Y existuje jediná hodnota X.

Funkce nebo vztahy vztahů se řídí, mimo jiné, zápisem F: D _f → C _f

Co se čte F, které jde z D _f do C _f

Pokud se funkce F týká množin, doména a kodoména. Také známý jako počáteční a dokončovací sada.

Doména D _f obsahuje povolené hodnoty pro nezávislou proměnnou. Codomain C _F se skládá ze všech hodnot, které jsou k dispozici závislé proměnné. Prvky C _f spojené s D _f jsou známé jako rozsah funkce (R _f).

Kondicionování funkce

Někdy může být funkce, která není injektivní, vystavena určitým podmínkám. Tyto nové podmínky mohou z něj učinit injekční funkci. Jsou platné všechny druhy modifikací domény a codomény funkce, přičemž cílem je splnit vlastnosti injektivity v odpovídajícím vztahu.

Příklady injekčních funkcí s řešenými cviky

Příklad 1

Nechť je funkce F: R → R definována přímkou F (x) = 2x - 3

A:

Zdroj: Autor.

Je pozorováno, že pro každou hodnotu domény je v codomainu obraz. Tento obrázek je jedinečný, díky čemuž je F injekční funkcí. To platí pro všechny lineární funkce (funkce, jejichž nejvyšší stupeň proměnné je jedna).

Zdroj: Autor.

Příklad 2

Nechť je funkce F: R → R definována pomocí F (x) = x ² +1

Zdroj: Autor

Při kreslení vodorovné čáry se zjistí, že graf je nalezen vícekrát. Z tohoto důvodu není funkce F injektivní, pokud je definována R → R

Pokračujeme v kondici domény funkce:

F: R ⁺ U {0} → R

Zdroj: Autor

Nyní nezávislá proměnná nebere záporné hodnoty, tímto způsobem je zabráněno opakování výsledků a funkce F: R ⁺ U {0} → R definovaná F (x) = x ² + 1 je injektivní.

Dalším homologním řešením by bylo omezit doménu doleva, tj. Omezit funkci tak, aby brala pouze záporné a nulové hodnoty.

Pokračujeme v kondici domény funkce

F: R ^- U {0} → R

Zdroj: Autor

Nyní nezávislá proměnná nebere záporné hodnoty, tímto způsobem je zabráněno opakování výsledků a funkce F: R ^- U {0} → R definovaná F (x) = x ² + 1 je injektivní.

Trigonometrické funkce mají vlnové chování, kde je velmi časté najít opakování hodnot v závislé proměnné. Prostřednictvím specifického kondicionování, na základě předchozích znalostí těchto funkcí, můžeme zúžit doménu tak, aby splňovala podmínky injektivity.

Příklad 3

Nechť je funkce F: → R definována pomocí F (x) = Cos (x)

V intervalu cosine funkce mění své výsledky mezi nulou a jedním.

Zdroj: Autor.

Jak je vidět na grafu. Začíná od nuly na x = - π / 2, poté dosáhne maxima na nule. Po x = 0 se hodnoty začnou opakovat, až se vrátí k nule při x = π / 2. Tímto způsobem je známo, že F (x) = Cos (x) není vstřikovací pro interval.

Při studiu grafu funkce F (x) = Cos (x) jsou pozorovány intervaly, ve kterých se chování křivky přizpůsobuje kritériím injektivity. Například interval

Pokud se funkce mění, výsledky jsou od 1 do -1, aniž by se opakovala jakákoli hodnota v závislé proměnné.

Tímto způsobem je funkce F: → R definována F (x) = Cos (x). Je to injekční

Tam jsou nelineární funkce kde podobné případy nastanou. Pro výrazy racionálního typu, kde jmenovatel obsahuje alespoň jednu proměnnou, existují omezení, která brání injektivitě vztahu.

Příklad 4

Nechť je funkce F: R → R definována pomocí F (x) = 10 / x

Funkce je definována pro všechna reálná čísla kromě {0}, která má neurčitost (nelze ji vydělit nulou) .

Když se závislá proměnná přiblíží k nule zleva, vezme velmi velké záporné hodnoty a hned za nulu hodnoty závislé proměnné vezmou velká kladná čísla.

Toto přerušení způsobí výraz F: R → R definovaný F (x) = 10 / x

Nebuďte injekční.

Jak je vidět v předchozích příkladech, vyloučení hodnot v doméně slouží k „opravě“ těchto indeterminací. Pokračujeme tím, že z domény vyloučíme nulu a ponecháme počáteční a cílovou sadu definovanou takto:

R - {0} → R

Kde R - {0} symbolizuje realitu, s výjimkou sady, jejíž jediný prvek je nula.

Tímto způsobem je výraz F: R - {0} → R definovaný F (x) = 10 / x injektivní.

Příklad 5

Nechť je funkce F: → R definována F (x) = Sen (x)

V intervalu sine funkce mění své výsledky mezi nulou a jedním.

Zdroj: Autor.

Jak je vidět na grafu. Začíná od nuly na x = 0 a poté dosáhne maxima na x = π / 2. Po x = π / 2 se hodnoty začnou opakovat, až se vrátí k nule při x = π. Tímto způsobem je známo, že F (x) = Sen (x) není vstřikovací pro interval.

Při studiu grafu funkce F (x) = Sen (x) jsou pozorovány intervaly, ve kterých se chování křivky přizpůsobuje kritériím injektivity. Například interval

Pokud se funkce mění, výsledky jsou od 1 do -1, aniž by se opakovala jakákoli hodnota v závislé proměnné.

Tímto způsobem je funkce F: → R definována F (x) = Sen (x). Je to injekční

Příklad 6

Zkontrolujte, zda funkce F: → R definovaná F (x) = Tan (x)

F: → R definované F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R definovaná přímkou F (x) = 7x + 2

Reference

1. Úvod do logického a kritického myšlení. Merrilee H. Salmon. University of Pittsburgh
2. Problémy v matematické analýze. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Vratislavská univerzita. Polsko.
3. Prvky abstraktní analýzy. Mícheál O'Searcoid PhD. Katedra matematiky. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4.
4. Úvod do logiky a metodologie deduktivních věd. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University press.
5. Principy matematické analýzy. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Spain.