- Příklady stupně polynomu
- Tabulka 1. Příklady polynomů a jejich stupňů
- Postup při práci s polynomy
- Pořadí, zmenšení a dokončení polynomu
- Význam stupně polynomu sčítání a odčítání
- Řešená cvičení
- - Cvičení vyřešeno 1
- Řešení
- - Cvičení vyřešeno 2
- Řešení
- Reference
Stupeň polynomu v proměnné je dán termín, který má největší exponent, a v případě, že polynom má dvě nebo více proměnných, potom se stupeň je určen součtem exponentů každého termínu, tím větší částka je stupeň polynomu.
Podívejme se, jak určit stupeň polynomu praktickým způsobem.
Obrázek 1. Einsteinova slavná rovnice pro energii E je monomál absolutního stupně 1 pro proměnnou hmotu, označený m, protože rychlost světla c je považována za konstantní. Zdroj: Piqsels.
Předpokládejme, že polynom P (x) = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2. Tento polynom je jedna proměnná, v tomto případě je to proměnná x. Tento polynom se skládá z několika termínů, které jsou následující:
A co teď je exponent? Odpověď je 3. Proto P (x) je polynom stupně 3.
Pokud má dotyčný polynom více než jednu proměnnou, může být tento stupeň:
-Absolutní
- Ve vztahu k proměnné
Absolutní stupeň se nachází, jak je vysvětleno na začátku: přidání exponentů každého termínu a výběr největšího.
Místo toho je stupeň polynomu vzhledem k jedné z proměnných nebo písmen největší hodnotou exponentu, který má uvedené písmeno. Bod bude jasnější s příklady a řešenými cvičeními v následujících sekcích.
Příklady stupně polynomu
Polynomy lze klasifikovat podle stupně a mohou to být první stupeň, druhý stupeň, třetí stupeň atd. Pro příklad na obrázku 1 je energie hmotou prvního stupně monomiální.
Je také důležité si uvědomit, že počet termínů, které má polynom, je roven stupni plus 1. Tedy:
- Polynomy prvního stupně mají 2 termíny: a 1 x + a o
- Polynom druhého stupně má 3 termíny: 2 x 2 + a 1 x + a o
- Polynom třetího stupně má 4 termíny: 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a nebo
A tak dále. Pečlivý čtenář si všiml, že polynomy v předchozích příkladech jsou psány v sestupné podobě, to znamená, že nejprve umístí termín s největším stupněm.
Následující tabulka ukazuje různé polynomy, jedné i několika proměnných a jejich příslušných absolutních stupňů:
Tabulka 1. Příklady polynomů a jejich stupňů
| Polynom | Stupeň |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x + 3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| x-1 | jeden |
| x 5- bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 a 5 + 5x 2 a 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
Poslední dva polynomy mají více než jednu proměnnou. Z nich byl výraz s nejvyšším absolutním stupněm zvýrazněn tučně, aby čtenář mohl tento stupeň rychle zkontrolovat. Je důležité si uvědomit, že když proměnná nemá písemný exponent, rozumí se, že uvedený exponent je roven 1.
Například ve zvýrazněném výrazu ab 3 x 2 jsou tři proměnné, a to: a, b a x. V tomto termínu je a zvýšeno na 1, to je:
a = a 1
Proto ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
Protože exponent b je 3 a to x je 2, okamžitě vyplývá, že stupeň tohoto termínu je:
1 + 3 + 2 = 6
Y je absolutní stupeň polynomu, protože žádný jiný výraz nemá vyšší stupeň.
Postup při práci s polynomy
Při práci s polynomy je důležité věnovat pozornost stupni, protože nejprve a před provedením jakékoli operace je vhodné postupovat podle těchto kroků, v nichž stupeň poskytuje velmi důležité informace:
-Order polynom preferencí v klesajícím směru. Termín s nejvyšším stupněm je tedy vlevo a termín s nejnižším stupněm vpravo.
-Reduce podobné termíny, procedura, která spočívá v algebraickém přidání všech termínů stejné proměnné a stupně nalezených ve výrazu.
-Je-li to nutné, jsou polynomy dokončeny, vkládají se termíny, jejichž koeficient je 0, v případě, že chybí termíny s exponentem.
Pořadí, zmenšení a dokončení polynomu
Vzhledem k polynomu P (x) = 6x 2 - 5 x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7 -12, je požadováno, aby jej uspořádal v sestupném pořadí, omezil podobné termíny, pokud existují, a doplnilo chybějící termíny. pokud je přesný.
První věc, kterou je třeba hledat, je termín s největším exponentem, což je stupeň polynomu, který se ukáže jako:
x 7
Proto je P (x) stupně 7. Pak je uspořádán polynom, počínaje tímto termínem vlevo:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 2x + 3x + 7 -12
Nyní jsou podobné termíny redukovány, což jsou následující: - 2x a 3x na jedné straně. A 7 a -12 na straně druhé. Pro jejich snížení jsou koeficienty přidávány algebraicky a proměnná zůstane nezměněna (pokud se proměnná neobjeví vedle koeficientu, nezapomeňte, že x 0 = 1):
-2x + 3x = x
7 -12 = -5
Nahraďte tyto výsledky v P (x):
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5 x 4 - 3x 3 + 6 x 2 + x -5
Nakonec je polynom zkoumán, aby se zjistilo, zda některý exponent chybí, a skutečně chybí výraz, jehož exponentem je 6, proto je doplněn nulami jako je tento:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5 x 4 - 3x 3 + 6 x 2 + x - 5
Nyní je pozorováno, že polynom byl ponechán s 8 termy, protože, jak již bylo řečeno, počet podmínek je roven stupni + 1.
Význam stupně polynomu sčítání a odčítání
S polynomy můžete provádět operace sčítání a odčítání, ve kterých se sčítají nebo odečítají pouze stejné termíny, které jsou se stejnou proměnnou a se stejným stupněm. Pokud neexistují podobné termíny, sčítání nebo odčítání se jednoduše označí.
Jakmile bylo provedeno sčítání nebo odčítání, přičemž druhé je součtem opaku, stupeň výsledného polynomu je vždy stejný nebo menší než stupeň polynomu, který přidává nejvyšší stupeň.
Řešená cvičení
- Cvičení vyřešeno 1
Najděte následující částku a určete její absolutní stupeň:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3
Řešení
Je to polynom se dvěma proměnnými, takže je vhodné redukovat podobné termíny:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3 =
= A 3 + 3 a 3 + A 3 - 8ax 2 - 6AX 2 + 14ax 2 + 5a, 2 x - 5a 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5a 3 - 2x 3
Oba termíny mají stupeň 3 v každé proměnné. Absolutní stupeň polynomu je proto 3.
- Cvičení vyřešeno 2
Vyjádřete oblast následujícího geometrického útvaru jako polynom (obrázek 2 vlevo). Jaký je stupeň výsledného polynomu?
Obrázek 2. Vlevo je obrázek pro řešené cvičení 2 a napravo stejný obrázek rozložený na tři oblasti, jejichž výraz je znám. Zdroj: F. Zapata.
Řešení
Protože se jedná o oblast, musí být výsledný polynom stupně 2 v proměnné x. Pro určení vhodného výrazu pro danou oblast se obrázek rozloží na známé oblasti:
Plocha obdélníku a trojúhelníku jsou příslušně: základna x výška a základna x výška / 2
A 1 = x. 3x = 3x 2; A 2 = 5. x = 5x; A 3 = 5. (2x / 2) = 5x
Poznámka: základna trojúhelníku je 3x - x = 2x a jeho výška je 5.
Nyní jsou přidány tři získané výrazy, s tím máme oblast obrázku jako funkci x:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
Reference
- Baldor, A. 1974. Elementární algebra. Cultural Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Wikibooky. Polynomy. Obnoveno od: es. wikibooks.org.
- Wikipedia. Stupeň (polynom). Obnoveno z: es.wikipedia.org.
- Zill, D. 1984. Algebra a trigonometrie. Mac Graw Hill.