- Jaké jsou rozměry?
- Trojrozměrný prostor
- Čtvrtá dimenze a čas
- Souřadnice hypercube
- Rozvíjení hypercube
- Reference
Hypercube je krychle o rozměru n. Zvláštní případ čtyřrozměrné hypercube se nazývá tesseract. Hypercube nebo n-krychle sestává z přímých segmentů, všechny stejné délky, které jsou kolmé na jejich vrcholech.
Lidské bytosti vnímají trojrozměrný prostor: šířku, výšku a hloubku, ale nemůžeme si představit hypercube s rozměrem větším než 3.
Obrázek 1. 0-krychle je bod, pokud se tento bod rozprostírá ve směru a a tvoří 1-krychli, pokud tato 1-krychle protahuje vzdálenost a v pravoúhlém směru, máme 2-krychli (od strany x až a), pokud 2-krychle protáhne vzdálenost a v pravoúhlém směru, máme 3-krychli. Zdroj: F. Zapata.
Nanejvýš můžeme vytvořit projekce v trojrozměrném prostoru, abychom ji reprezentovali, podobně jako promítáme kostku na rovinu, která ji bude reprezentovat.
V dimenzi 0 je jediným číslem bod, takže 0-kostka je bod. 1-kostka je přímý segment, který je vytvořen pohybem bodu v jednom směru a a.
2-kostka je čtverec. Je konstruován posunutím 1-krychle (segment délky a) ve směru y, který je kolmý ke směru x, a.
3-krychle je obyčejná krychle. Je postaven z náměstí jeho pohybem ve třetím směru (z), který je kolmý na směr xay, vzdálenost a.
Obrázek 2. 4-krychle (tesseract) je rozšíření 3-krychle v pravoúhlém směru na tři konvenční prostorové směry. Zdroj: F. Zapata.
4-krychle je tesseract, který je postaven z 3-krychle pohybující se ortogonálně, vzdálenost a, směrem ke čtvrté dimenzi (nebo čtvrtému směru), kterou nemůžeme vnímat.
Tesseract má všechny své pravé úhly, má 16 vrcholů a všechny jeho okraje (celkem 18) mají stejnou délku a.
Je-li délka okrajů n-krychle nebo hypercube s rozměrem n 1, jedná se o jednotkovou hypercube, ve které nejdelší úhlopříčka měří √n.
Obrázek 3. N-krychle je získána z (n-1) krychle, která ji rozprostírá kolmo v další dimenzi. Zdroj: wikimedia commons.
Jaké jsou rozměry?
Rozměry jsou stupně volnosti nebo možné směry, ve kterých se objekt může pohybovat.
V dimenzi 0 není možné překládat a jediným možným geometrickým objektem je bod.
Dimenze v euklidovském prostoru je představována orientovanou čarou nebo osou, která definuje tuto dimenzi, nazývanou osou X. Rozdělení mezi dvěma body A a B je euklidovská vzdálenost:
d = √.
Ve dvou dimenzích je prostor reprezentován dvěma čarami, které jsou vůči sobě ortogonální, nazývané osa X a osa Y.
Poloha libovolného bodu v tomto dvourozměrném prostoru je dána dvojicí kartézských souřadnic (x, y) a vzdálenost mezi jakýmikoli dvěma body A a B bude:
d = √
Protože je to prostor, kde je naplněna geometrie Euclidu.
Trojrozměrný prostor
Trojrozměrný prostor je prostor, ve kterém se pohybujeme. Má tři směry: šířku, výšku a hloubku.
V prázdné místnosti kolmé rohy dávají tyto tři směry a ke každému z nich můžeme spojit osu: X, Y, Z.
Tento prostor je také euklidovský a vzdálenost mezi dvěma body A a B se vypočítá takto:
d = √
Lidské bytosti nemohou vnímat více než tři prostorové (nebo euklidovské) dimenze.
Avšak z přísně matematického hlediska je možné definovat n-rozměrný euklidovský prostor.
V tomto prostoru má bod souřadnice: (x1, x2, x3,….., xn) a vzdálenost mezi dvěma body je:
d = √.
Čtvrtá dimenze a čas
Ve skutečnosti je v teorii relativity čas považován za jeden další rozměr a je s ním spojena souřadnice.
Je však třeba objasnit, že tato souřadnice spojená s časem je imaginární číslo. Proto oddělení dvou bodů nebo událostí v časoprostoru není euklidovské, nýbrž spíše Lorentzova metrika.
Čtyřdimenzionální hyperkrychle (tesseract) nežije v časoprostoru, patří do čtyřrozměrného euklidovského hyperprostoru.
Obrázek 4. 3D projekce čtyřrozměrné hypercube v jednoduché rotaci kolem roviny, která rozděluje postavu zepředu doleva, zezadu doprava a shora dolů. Zdroj: Wikimedia Commons.
Souřadnice hypercube
Souřadnice vrcholů n-krychle vystředěné na počátku se získají provedením všech možných permutací následujícího výrazu:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…, ± 1)
Kde a je délka hrany.
- Objem n-krychle hrany a je: (a / 2) n (2 n) = a n.
- Nejdelší úhlopříčka je vzdálenost mezi protilehlými vrcholy.
- Následující jsou protilehlé vrcholy ve čtverci: (-1, -1) a (+1, +1).
-A v krychli: (-1, -1, -1) a (+1, +1, +1).
- Nejdelší úhlopříčka n-krychle měří:
d = √ = √ = 2√n
V tomto případě byla strana považována za a = 2. Pro n-krychli ze strany na jakoukoli to bude:
d = a√n.
- Tesseract má každý ze svých 16 vrcholů spojen se čtyřmi okraji. Následující obrázek ukazuje, jak jsou vrcholy spojeny v tesseract.
Obrázek 5. Je znázorněno 16 vrcholů čtyřrozměrné hypercube a jejich propojení. Zdroj: Wikimedia Commons.
Rozvíjení hypercube
Pravidelná geometrická postava, například mnohostěn, může být rozložena do několika obrazců menší rozměrnosti.
V případě 2-kostky (čtverec) ji lze rozdělit na čtyři segmenty, tj. Čtyři 1 kostky.
Podobně se 3 kostky mohou rozložit na šest 2 kostek.
Obrázek 6. N-krychle může být rozložena do několika (n-1) kostek. Zdroj: Wikimedia Commons.
4 kostka (tesseract) může být rozložena do osmi 3 kostek.
Následující animace ukazuje rozvinutí tesseractu.
Obrázek 7. 4-rozměrná hypercube může být rozložena do osmi trojrozměrných kostek. Zdroj: Wikimedia Commons.
Obrázek 8. Trojrozměrná projekce čtyřrozměrné hypercube provádějící dvojitou rotaci kolem dvou pravoúhlých rovin. Zdroj: Wikimedia Commons.
Reference
- Vědecká kultura. Hypercube, vizualizace čtvrté dimenze. Obnoveno z: Culturativeifica.com
- Epsilon. Čtyřrozměrná hypercube nebo tesseract. Obnoveno z: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. Způsob získání tesseractu z vývoje hypercube (4D). Obnoveno z: researchgate.net
- Wikibooky. Matematika, Polyhedra, Hypercubes. Obnoveno z: es.wikibooks.org
- Wikipedia. Hypercube. Obnoveno z: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Tesseract. Obnoveno z: en.wikipedia.com