ALGEBRAICKÉ UVAŽOVÁNÍ (S ŘEŠENÝMI CVIČENÍMI) - MATEMATIKA - 2025

Algebraické zdůvodnění sestává v podstatě matematický argument, komunikuje pomocí speciálního jazyka, který dělá to v přísnější a obecné proměnné pomocí algebraické operace definovaná a navzájem. Charakteristikou matematiky je logická přísnost a abstraktní tendence použité v jejích argumentech.

To vyžaduje znát správnou „gramatiku“, kterou je třeba použít v tomto psaní. Algebraické uvažování se navíc vyhýbá nejasnostem v odůvodnění matematického argumentu, který je nezbytný pro prokázání jakéhokoli výsledku v matematice.

Algebraické proměnné

Algebraická proměnná je jednoduše proměnná (písmeno nebo symbol), která představuje určitý matematický objekt.

Například písmena x, y, z se často používají k reprezentaci čísel, která vyhovují dané rovnici; písmena p, qr reprezentující výrokové vzorce (nebo jejich velká písmena reprezentující konkrétní výroky); a písmena A, B, X atd., která představují sady.

Termín „proměnná“ zdůrazňuje, že dotyčný objekt není fixní, ale liší se. To je případ rovnice, ve které se proměnné používají k určení řešení, která jsou v zásadě neznámá.

Obecně lze algebraickou proměnnou považovat za písmeno, které představuje nějaký objekt, ať už je pevná nebo ne.

Stejně jako algebraické proměnné se používají k reprezentaci matematických objektů, můžeme také považovat symboly za reprezentaci matematických operací.

Například symbol „+“ představuje operaci „sčítání“. Dalšími příklady jsou různé symbolické zápisy logických spojiv v případě návrhů a sad.

Algebraické výrazy

Algebraický výraz je kombinací algebraických proměnných pomocí dříve definovaných operací. Příkladem toho jsou základní operace sčítání, odčítání, násobení a dělení mezi čísly nebo logické spojnice v propozicích a sadách.

Algebraické uvažování je zodpovědné za vyjádření matematického uvažování nebo argumentu pomocí algebraických výrazů.

Tato forma výrazu pomáhá zjednodušit a zkrátit psaní, protože využívá symbolické zápisy a umožňuje lepší porozumění úvahám, a to jasnějším a přesnějším způsobem.

Příklady

Podívejme se na některé příklady, které ukazují, jak se používá algebraické uvažování. Používá se velmi pravidelně k řešení logických a logických problémů, jak uvidíme brzy.

Uvažujme o dobře známém matematickém tvrzení „součet dvou čísel je komutativní“. Podívejme se, jak můžeme tento návrh vyjádřit algebraicky: vzhledem ke dvěma číslům „a“ a „b“ znamená tento návrh to, že a + b = b + a.

Zdůvodnění použité k interpretaci původního prohlášení a jeho vyjádření v algebraických termínech je algebraické uvažování.

Můžeme také zmínit slavný výraz „pořadí faktorů nemění produkt“, který odkazuje na skutečnost, že součin dvou čísel je také komutativní a je algebraicky vyjádřen jako axb = bxa.

Podobně, asociativní a distribuční vlastnosti pro sčítání a produkt, ve kterém jsou zahrnuty odčítání a dělení, mohou být (a jsou) vyjádřeny algebraicky.

Tento typ uvažování zahrnuje velmi široký jazyk a používá se v mnoha různých kontextech. V každém případě je v těchto kontextech nutné rozeznat vzorce, interpretovat věty a zobecnit a formalizovat jejich vyjádření v algebraických termínech a poskytnout platné a sekvenční zdůvodnění.

Řešená cvičení

Následuje několik logických problémů, které vyřešíme pomocí algebraického uvažování:

První cvičení

Jaké je číslo, které se z poloviny rovná jednomu?

Řešení

Pro vyřešení tohoto typu cvičení je velmi užitečné reprezentovat hodnotu, kterou chceme určit pomocí proměnné. V tomto případě chceme najít číslo, které, když vezmeme polovinu, vyústí v číslo jedna. Označme x x hledané číslo.

"Vyjmutí poloviny" z čísla znamená, že se dělí na 2. Takže výše uvedené lze vyjádřit algebraicky jako x / 2 = 1 a problém se scvrkne na vyřešení rovnice, která je v tomto případě lineární a velmi snadno řešitelná. Řešení pro x dostaneme, že řešení je x = 2.

Závěrem lze říci, že 2 je číslo, které se při polovině rovná 1.

Druhé cvičení

Kolik minut do půlnoci, pokud před 10 minutami 5/3 toho, co zbývá nyní?

Řešení

Označme „z“ počet minut do půlnoci (lze použít i jiné písmeno). To znamená, že právě teď existují „z“ minut do půlnoci. To znamená, že před 10 minutami chyběly „z + 10“ minuty o půlnoci, což odpovídá 5/3 toho, co nyní chybí; to znamená, (5/3) z.

Poté se problém scvrkne na řešení rovnice z + 10 = (5/3) z. Vynásobením obou stran rovnosti 3 dostaneme rovnici 3z + 30 = 5z.

Nyní, když seskupíme proměnnou "z" na jedné straně rovnosti, dostaneme 2z = 15, což znamená, že z = 15.

Takže je to 15 minut až půlnoci.

Třetí cvičení

V kmeni, který praktikuje výměnný obchod, existují tyto ekvivalence:

- Oštěp a náhrdelník jsou vyměněny za štít.

- Oštěp je ekvivalentní s nožem a náhrdelníkem.

- Dva štíty jsou vyměněny za tři jednotky nožů.

Kolik náhrdelníků odpovídá kopí?

Řešení

Sean:

Co = náhrdelník

L = kopí

E = štít

Cu = nůž

Máme tedy následující vztahy:

Co + L = E

L = Co + Cu

2E = 3Cu

Problém se tedy scvrkává na řešení soustavy rovnic. Přestože máme více neznámých než rovnic, lze tento systém vyřešit, protože nás nežádají o konkrétní řešení, ale jednu z proměnných jako funkci jiné. Musíme pouze vyjádřit slovo „Co“ ve smyslu slova „L“.

Z druhé rovnice máme, že Cu = L - Co. Substituování ve třetí rovnici dostaneme, že E = (3L - 3Co) / 2. Nakonec, nahrazením v první rovnici a zjednodušením se získá, že 5Co = L; to znamená, že oštěp se rovná pěti náhrdelníkům.

Reference

1. Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, JW (2013). Matematika: přístup k řešení problémů pro učitele základní školy. Editoři López Mateos.
2. Fuentes, A. (2016). ZÁKLADNÍ MATH. Úvod do počtu. Lulu.com.
3. García Rua, J., & Martínez Sánchez, JM (1997). Základní matematika. Ministerstvo školství.
4. Rees, PK (1986). Algebra. Reverte.
5. Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Tak snadné. Team Rock Press.
6. Smith, SA (2000). Algebra. Pearsonovo vzdělávání.
7. Szecsei, D. (2006). Základní matematika a před algebra (ilustrované vydání). Kariéra Press.