- Vzorec
- Demonstrace
- Koeficienty interpolačního polynomu
- Výpočet přibližného integrálu v
- Přibližný výpočet integrálu v
- Chyba přiblížení
- Pracované příklady
- - Příklad 1
- Řešení
- Reference
Simpson ‚s pravidlem je způsob výpočtu, přibližně, určitých integrálů. Je založena na rozdělení integračního intervalu na sudý počet rovnoměrně rozmístěných dílčích intervalů.
Extrémní hodnoty dvou po sobě následujících dílčích intervalů definují tři body, podle kterých se hodí parabola, jejíž rovnice je polynomem druhého stupně.
Obrázek 1. V Simpsonově metodě je integrační interval rozdělen na sudý počet intervalů stejné šířky. Funkce je aproximována parabolou v každé 2 dílčích intervalech a integrál je aproximován součtem plochy pod paraboly. Zdroj: upv.es.
Potom se plocha pod křivkou funkce ve dvou po sobě jdoucích intervalech aproximuje plochou interpolačního polynomu. Přidáme-li příspěvek do oblasti pod parabolou všech po sobě jdoucích dílčích intervalů, máme přibližnou hodnotu integrálu.
Na druhou stranu, protože integrál paraboly lze vypočítat algebraicky přesně, je možné najít analytický vzorec pro přibližnou hodnotu určitého integrálu. Je známá jako Simpsonova formule.
Chyba takto získaného přibližného výsledku klesá s tím, jak je počet subdivizí n větší (kde n je sudé číslo).
Níže bude uveden výraz, který umožňuje odhad horní meze chyby aproximace k integrálu I, když se provede rozdělení n pravidelných podintervalů celkového intervalu.
Vzorec
Integrační interval je rozdělen do n podintervalů, kde n je sudé celé číslo. Šířka každé podoblasti bude:
h = (b - a) / n
Tímto způsobem je oddíl vytvořen v intervalu:
{X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}
Kde X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.
Vzorec, který umožňuje aproximovat definitivní integrál I spojité a výhodně hladké funkce v intervalu, je:
Demonstrace
Pro získání Simpsonova vzorce je funkce f (X) v každém podintervalu aproximována polynomem p (X) druhého stupně (parabola) druhého stupně, který prochází těmito třemi body:; a.
Pak se vypočte integrál polynomu p (x), ve kterém aproximuje integrál funkce f (X) v tomto intervalu.
Obrázek 2. Graf demonstrující Simpsonův vzorec. Zdroj: F. Zapata.
Koeficienty interpolačního polynomu
Rovnice paraboly p (X) má obecnou podobu: p (X) = AX 2 + BX + C. Jak parabola prochází body Q označenými červeně (viz obrázek), pak koeficienty A, B, C jsou určeny z následujícího systému rovnic:
A (-h) 2 - Bh + C = f (Xi)
C = f (Xi + 1)
A (h) 2 + Bh + C = f (Xi + 2)
Je vidět, že se stanoví koeficient C. K určení koeficientu A přidáme první a třetí rovnici získanou:
2 A h 2 + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).
Pak se nahradí hodnota C a A se vynuluje, přičemž zůstane:
A = / (2 h 2)
Pro stanovení koeficientu B se třetí rovnice odečte od první a B se vyřeší a získá:
B = = 2 h.
Souhrnně lze říci, že druhý stupeň polynomu p (X), který prochází body Qi, Qi + 1 a Qi + 2, má koeficienty:
A = / (2 h 2)
B = = 2 h
C = f (Xi + 1)
Výpočet přibližného integrálu v
Přibližný výpočet integrálu v
Jak již bylo řečeno, oddíl {X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn} se vytvoří na celkovém integračním intervalu s krokem h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, kde n je sudé číslo.
Chyba přiblížení
Všimněte si, že chyba klesá s čtvrtým výkonem počtu subdivizí v intervalu. Pokud například přejdete z podsekce n na 2n, pak se chyba sníží o faktor 1/16.
Horní mez chyby získané pomocí Simpsonovy aproximace lze získat ze stejného vzorce, přičemž čtvrtý derivát je nahrazen maximální absolutní hodnotou čtvrtého derivátu v intervalu.
Pracované příklady
- Příklad 1
Zvažte funkci f (X) = 1 / (1 + X 2).
Určete integrál funkce f (X) na intervalu pomocí Simpsonovy metody se dvěma pododděleními (n = 2).
Řešení
Bereme n = 2. Meze integrace jsou a = -1 ab = -2, takže oddíl vypadá takto:
X0 = -1; X1 = 0 a X2 = +1.
Simpsonův vzorec má proto následující podobu:
Obrázek 3. Příklad numerické integrace pomocí Simpsonova pravidla používajícího software. Zdroj: F. Zapata.
Reference
- Casteleiro, JM 2002. Souborný počet (ilustrovaná edice). Madrid: ESIC Editorial.
- UPV. Simpsonova metoda. Polytechnická univerzita ve Valencii. Obnoveno z: youtube.com
- Purcell, E. 2007. Deváté vydání Calculus. Prentice Hall.
- Wikipedia. Simpsonovo pravidlo. Obnoveno z: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Lagrangeova polynomiální interpolace. Obnoveno z: es.wikipedia.com