Bolzano teorém říká, že v případě, že funkce je spojitá v každém bodě uzavřeném intervalu a je přesvědčen, že obraz „a“ a „b“ (podle funkce) mají opačná znaménka, pak bude alespoň jeden bod " c "v otevřeném intervalu (a, b), tak, aby funkce vyhodnocená v" c "byla rovna 0.
Tato věta byla vyhlášena filozofem, teologem a matematikem Bernardem Bolzano v roce 1850. Tento vědec, narozený v dnešní České republice, byl jedním z prvních matematiků v historii, který formálně dokázal vlastnosti spojitých funkcí.
Vysvětlení
Bolzanoova věta je také známá jako věta o mezilehlých hodnotách, která pomáhá při určování specifických hodnot, zejména nul, určitých reálných funkcí skutečné proměnné.
V dané funkci f (x) pokračuje - to znamená, že f (a) a f (b) jsou spojeny křivkou -, kde f (a) je pod osou x (je záporná) a f (b) podle nad osou x (je kladná) nebo naopak, graficky bude na ose x mezní bod, který bude představovat mezilehlou hodnotu „c“, která bude mezi „a“ a „b“, a hodnotu f (c) bude rovna 0.
Při grafické analýze Bolzanovy věty je vidět, že pro každou spojitou funkci f definovanou v intervalu, kde f (a) * f (b) je menší než 0, bude v rámci této funkce alespoň jeden kořen „c“ této funkce intervalu (a, b).
Tato věta nestanoví počet bodů v tomto otevřeném intervalu, pouze uvádí, že existuje alespoň 1 bod.
Demonstrace
Pro prokázání Bolzanovy věty se předpokládá bez ztráty obecnosti, že f (a) <0 a f (b)> 0; tedy může existovat mnoho hodnot mezi „a“ a „b“, pro které f (x) = 0, ale musí být zobrazena pouze jedna.
Začneme hodnocením f ve středu (a + b) / 2. Pokud f ((a + b) / 2) = 0, pak zde končí důkaz; jinak je f ((a + b) / 2) pozitivní nebo negativní.
Jedna z polovin intervalu je vybrána tak, že znaky funkce hodnocené v extrémech jsou odlišné. Tento nový interval bude.
Nyní, pokud f vyhodnoceno ve středu není nula, provede se stejná operace jako předtím; to znamená, že je vybrána polovina tohoto intervalu, která splňuje podmínku označení. Nechť je to nový interval.
Pokud budete pokračovat v tomto procesu, budete mít dvě sekvence {an} a {bn}, například:
{an} roste a {bn} klesá:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ a ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Pokud vypočítáte délku každého intervalu, budete muset:
bl-al = (ba) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2².
….
bn-an = (ba) / 2 ^ n.
Proto je limit, jak se n blíží nekonečnu (bn-an), roven 0.
Pomocí toho, že {an} roste a je ohraničeno a {bn} je klesající a ohraničené, máme, že existuje hodnota «c» taková, že:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ a ≤….≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Limit an je „c“ a limit {bn} je také „c“. Proto, vzhledem k libovolnému δ> 0, vždy existuje „n“, takže interval je obsažen v intervalu (c-δ, c + δ).
Nyní musí být prokázáno, že f (c) = 0.
Je-li f (c)> 0, pak protože f je spojité, existuje ε> 0 takové, že f je pozitivní v celém intervalu (c - ε, c + ε). Jak je však uvedeno výše, existuje hodnota „n“ taková, že f se mění přihlašování a navíc je obsažena uvnitř (c - ε, c + ε), což je rozpor.
Pokud f (c) <0, pak protože f je spojité, existuje ε> 0 takové, že f je záporné v celém intervalu (c - ε, c + ε); ale existuje hodnota „n“ taková, že se f přihlašuje. Ukazuje se, že je obsažen uvnitř (c - ε, c + ε), což je také rozpor.
Proto f (c) = 0 a to je to, co jsme chtěli dokázat.
K čemu to je?
Podle jeho grafické interpretace se Bolzanoova věta používá k nalezení kořenů nebo nul v nepřetržité funkci, přes bisekci (aproximaci), což je metoda inkrementálního vyhledávání, která vždy dělí intervaly 2.
Poté se provede interval nebo kde dojde ke změně znaménka a proces se opakuje, dokud není interval menší a menší, aby bylo možné přiblížit se k požadované hodnotě; to je k hodnotě, kterou funkce dělá 0.
Stručně řečeno, pro použití Bolzanovy věty a nalezení kořenů, omezení nul funkce nebo nalezení řešení rovnice jsou provedeny následující kroky:
- Ověřuje se, zda je f spojitá funkce intervalu.
- Není-li interval zadán, musí se najít, kde je funkce spojitá.
- Je ověřeno, zda extrémy intervalu dávají opačné znaky, když jsou vyhodnoceny v f.
- Pokud nejsou získána opačná znaménka, musí být interval rozdělen do dvou dílčích intervalů pomocí středu.
- Vyhodnoťte funkci ve středu a ověřte, zda byla splněna Bolzanova hypotéza, kde f (a) * f (b) <0.
- V závislosti na znaménku (kladné nebo záporné) nalezené hodnoty se proces opakuje s novým podintervalem, dokud není výše uvedená hypotéza splněna.
Řešená cvičení
Cvičení 1
Zjistěte, zda funkce f (x) = x 2 - 2 má v intervalu alespoň jedno skutečné řešení.
Řešení
Máme funkci f (x) = x 2 - 2. Protože je polynom, znamená to, že je spojitá v jakémkoli intervalu.
Je žádáno, aby určilo, zda má reálné řešení v intervalu, takže nyní je nutné pouze nahradit extrémy intervalu ve funkci, abychom znali jejich znaménko a věděli, zda splňují podmínku odlišnosti:
f (x) = x 2 - 2
f (1) = 1 2 - 2 = -1 (negativní)
f (2) = 2 2 - 2 = 2 (pozitivní)
Znaménko f (1) ≠ znaménko f (2).
Tím je zajištěno, že existuje alespoň jeden bod „c“, který patří do intervalu, ve kterém f (c) = 0.
V tomto případě lze hodnotu „c“ snadno vypočítat takto:
x 2 - 2 = 0
x = ± √2.
Tedy √2 ≈ 1,4 patří do intervalu a splňuje, že f (√2) = 0.
Cvičení 2
Ukažte, že rovnice x 5 + x + 1 = 0 má alespoň jedno skutečné řešení.
Řešení
Nejprve si povšimněte, že f (x) = x 5 + x + 1 je polynomiální funkce, což znamená, že je spojitá na všech reálných číslech.
V tomto případě není zadán žádný interval, takže hodnoty musí být vybrány intuitivně, nejlépe blízko 0, pro vyhodnocení funkce a nalezení změn znaménka:
Pokud použijete interval, musíte:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (0) = 0,5 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 1 5 + 1 + 1 = 3> 0.
Protože nedochází ke změně znaménka, proces se opakuje s dalším intervalem.
Pokud použijete interval, musíte:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
f (0) = 0,5 + 0 + 1 = 1> 0.
V tomto intervalu dochází ke změně znaménka: znaménko f (-1) ≠ znaménka f (0), což znamená, že funkce f (x) = x 5 + x + 1 má alespoň jeden skutečný kořen «c» v intervalu tak, že f (c) = 0. Jinými slovy je pravda, že x 5 + x + 1 = 0 má skutečné řešení v intervalu.
Reference
- Bronshtein I, SK (1988). Manuál matematiky pro inženýry a studenty.. Redakční MIR.
- George, A. (1994). Matematika a mysl. Oxford University Press.
- Ilín V, PE (1991). Matematická analýza. Ve třech svazcích..
- Jesús Gómez, FG (2003). Učitelé středoškolského vzdělávání. Svazek II. ŠÍLENÝ.
- Mateos, ML (2013). Základní vlastnosti analýzy v R. Editores, 20. prosince.
- Piskunov, N. (1980). Diferenciální a integrální počet..
- Sydsaeter K, HP (2005). Matematika pro ekonomickou analýzu. Felix Varela.
- William H. Barker, RH (nd). Nepřetržitá symetrie: od Euklidu po Kleina. American Mathematical Soc.