VARIGNONOVA VĚTA: PŘÍKLADY A ŘEŠENÁ CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Teorém Varignon stanoví, že pokud některý čtyřúhelník jsou neustále připojeni středy na bocích, rovnoběžník je generována. Tato věta byla formulována Pierrem Varignonem a publikována v roce 1731 v knize Prvky matematiky. “

K vydání knihy došlo několik let po jeho smrti. Protože to byl Varignon kdo představil tuto teorém, rovnoběžník je pojmenován po něm. Věta je založena na euklidovské geometrii a představuje geometrické vztahy kvadrilaterálů.

Co je Varignonova věta?

Varignon uvedl, že číslo, které je definováno středy čtyřúhelníku, vždy vyústí v rovnoběžník a plocha rovnoběžníku bude vždy polovinou plochy čtyřúhelníku, pokud je plochý a konvexní. Například:

Na obrázku je vidět čtyřúhelník s oblastí X, kde středy stran jsou reprezentovány E, F, G a H a po spojení tvoří rovnoběžník. Plocha čtyřúhelníku bude součtem ploch trojúhelníků, které se tvoří, a polovina z toho odpovídá ploše rovnoběžníku.

Protože plocha rovnoběžníku je polovinou plochy čtyřúhelníku, lze určit obvod rovnoběžníku.

Obvod se tedy rovná součtu délek úhlopříček čtyřúhelníku; je to proto, že středy čtyřúhelníku budou úhlopříčky rovnoběžníku.

Na druhé straně, pokud jsou délky úhlopříček čtyřúhelníku přesně stejné, rovnoběžník bude kosočtverec. Například:

Z obrázku je vidět, že spojením středů stran čtyřúhelníku se získá kosočtverec. Na druhé straně, pokud jsou úhlopříčky čtyřúhelníku kolmé, rovnoběžník bude obdélník.

Rovnoběžník bude také čtvercem, když má čtyřúhelník diagonály se stejnou délkou a jsou také kolmé.

Věta se nenaplňuje pouze v rovinných kvadrilaterálech, je implementována také v prostorové geometrii nebo ve velkých rozměrech; to znamená v těch kvadrilaterálech, které nejsou konvexní. Příkladem může být osmiúhelník, kde středy jsou centroidy každé tváře a tvoří rovnoběžník.

Tímto způsobem lze spojením středů různých čísel získat rovnoběžníky. Snadný způsob, jak ověřit, zda je to skutečně pravda, je, že protilehlé strany musí být při prodloužení rovnoběžné.

Příklady

První příklad

Rozšíření protilehlých stran, aby se ukázalo, že se jedná o rovnoběžník:

Druhý příklad

Spojením středních bodů kosočtverce se získá obdélník:

Věta je používána ve sjednocení bodů umístěných ve středu stran čtyřúhelníku a může být také použita pro jiné typy bodů, jako je trisekce, penta-řez nebo dokonce nekonečný počet sekcí (nth), aby se strany libovolného čtyřúhelníku rozdělily na úměrné úseky.

Řešená cvičení

Cvičení 1

Na obrázku máme čtyřúhelníkový ABCD oblasti Z, kde středy jeho stran jsou PQSR. Zkontrolujte, zda je vytvořen rovnoběžník Varignon.

Řešení

Je vidět, že spojení bodů PQSR tvoří Varignonův rovnoběžník, přesně proto, že středy čtyřúhelníku jsou uvedeny v prohlášení.

Abychom to demonstrovali, nejprve se spojí střední body PQSR, takže je vidět, že se vytvoří další čtyřúhelník. Chcete-li ukázat, že se jedná o rovnoběžník, stačí nakreslit přímku z bodu C do bodu A, takže je vidět, že CA je rovnoběžná s PQ a RS.

Stejně tak při rozšíření stran PQRS je vidět, že PQ a RS jsou rovnoběžné, jak ukazuje následující obrázek:

Cvičení 2

Máme obdélník tak, aby délky všech jeho stran byly stejné. Spojením středů těchto stran se vytvoří kosočtverec ABCD, který je dělen dvěma úhlopříčkami AC = 7 cm a BD = 10 cm, které se shodují s rozměry stran obdélníku. Určete oblasti kosočtverce a obdélníku.

Řešení

Vzpomeňte si, že plocha výsledného rovnoběžníku je polovinou čtyřúhelníku, oblast těchto lze určit s vědomím, že míra úhlopříček se kryje se stranami obdélníku. Musíte tedy:

AB = D

CD = d

_Obdélník = (AB _* CD) = (10 cm _* 7 cm) = 70 cm ²

A _kosočtverec = _obdélník / 2

_Kosočtverec = 70 cm ² /2 = 35 cm ²

Cvičení 3

Na obrázku je čtyřúhelník, který má spojení bodů EFGH, jsou uvedeny délky segmentů. Zjistěte, zda je spojení EFGH rovnoběžník.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

HR = 3,94 HA = 2,77

Řešení

Vzhledem k tomu, že jsou uvedeny délky segmentů, lze ověřit, zda mezi segmenty existuje přiměřenost; to znamená, že můžete vědět, zda jsou rovnoběžné a týkají se segmentů čtyřúhelníku takto:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Poté se kontroluje proporcionalita, protože:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Podobně při kreslení čáry z bodu B do bodu D je vidět, že EH je rovnoběžná s BD, stejně jako BD je rovnoběžná s FG. Na druhé straně je EF paralelní s GH.

Lze tedy určit, že EFGH je rovnoběžník, protože protilehlé strany jsou rovnoběžné.

Reference

1. Andres, T. (2010). Matematická olympiáda. Springer. New York.
2. Barbosa, JL (2006). Rovinná euklidovská geometrie. SBM. Rio de Janeiro.
3. Howar, E. (1969). Studium geometrie. Mexiko: hispánský - Američan.
4. Ramo, GP (1998). Neznámá řešení problémů s Fermat-Torricelli. ISBN - samostatná práce.
5. Vera, F. (1943). Prvky geometrie. Bogota
6. Villiers, M. (1996). Některá dobrodružství v euklidovské geometrii. Jižní Afrika.