VĚCNÁ SOUPRAVA: DEFINICE, VZORCE A CVIČENÍ - FYZICKÝ - 2025

Faktoriál souprava je jednoduchý přístroj, který se skládá z uspořádání kladek s mnohonásobným účinkem síly. Tímto způsobem lze břemeno zvednout aplikováním pouze ekvivalentu zlomku hmotnosti na volný konec lana.

Skládá se ze dvou sad kladek: jedna, která je připevněna k podpěře, a druhá, která vyvíjí výslednou sílu na zatížení. Řemenice jsou namontovány na obecně kovovém rámu, který je podporuje.

Obrázek 1. Schéma soupravy faktorů. Zdroj: Pixabay

Obrázek 1 ukazuje faktoriální soupravu skládající se ze dvou skupin po dvou kladkách. Tyto typy uspořádání kladek se také nazývají řadové kladkostroje nebo kladkostroje.

Vzorce pro faktorové vybavení

Případ 1: Mobilní a pevná kladka

Abychom pochopili, proč toto uspořádání znásobuje vynaloženou sílu, začneme nejjednodušším případem, který se skládá z pevné kladky a mobilní kladky.

Obrázek 2. Dvouválcová souprava.

Na obrázku 2 máme kladku A připevněnou ke stropu pomocí podpěry. Řemenice A se může volně otáčet kolem své osy. Máme také řemenici B, která má držák připevněný k hřídeli řemenice, na kterém je uloženo zatížení. Řemenice B má kromě možnosti volně se otáčet kolem své osy také možnost vertikálního pohybu.

Předpokládejme, že jsme v rovnovážné situaci. Zvažte síly působící na řemenici B. Osa řemenice B nese celkovou hmotnost P směřující dolů. Kdyby to byla jediná síla na řemenici B, pak by to padlo, ale víme, že lano, které prochází touto kladkou, také vyvíjí dvě síly, které jsou T1 a T2, které směřují nahoru.

Aby se dosáhlo translační rovnováhy, musí se obě síly vzhůru rovnat hmotnosti nesené osou kladky B.

T1 + T2 = P

Ale protože kladka B je také v rotační rovnováze, pak T1 = T2. Síly T1 a T2 pocházejí z napětí působícího na řetězec, nazývaného T.

T1 = T2 = T. Substituování v předchozí rovnici tedy zůstává:

T + T = P

2T = P

Což znamená, že napětí působící na lano je pouze poloviční než hmotnost:

T = P / 2

Například, pokud by zatížení bylo 100 kg, stačilo by vyvinout sílu 50 kg na volný konec lana pro zvýšení zatížení konstantní rychlostí.

Případ 2: Dvě pohyblivé a dvě pevné kladky

Podívejme se nyní na napětí a síly působící na sestavu skládající se ze dvou uspořádání podpěr A a B se dvěma kladkami.

Obrázek 3. Síly na soupravě se 2 pevnými kladkami a 2 pohyblivými kladkami.

Podpěra B má možnost vertikálního pohybu a síly na ni působí:

- hmotnost P nákladu směřující svisle dolů.

- Dvě napětí na velké kladce a dvě napětí na malé kladce. Celkem čtyři napětí, všechna směřující nahoru.

Aby se dosáhlo translační rovnováhy, musí síly, které směřují svisle nahoru, odpovídat hodnotě zatížitelné směrem dolů. To znamená, že musí být splněno:

T + T + T + T = P

To znamená, 4 T = P

Z toho vyplývá, že působící síla T na volný konec lana je pouze čtvrtinou hmotnosti v důsledku zatížení, které se má zvednout., T = P / 4.

S touto hodnotou pro napětí T může být zátěž udržována statická nebo stoupat při konstantní rychlosti. Pokud by bylo použito napětí vyšší než tato hodnota, zatížení by se zrychlovalo vzhůru, což je podmínka, která je nutná k tomu, aby se uvolnilo z klidu.

Obecný případ: n pohyblivé řemenice n pevné řemenice

Podle toho, co bylo vidět v předchozích případech, existuje pro každou kladku mobilní sestavy pár vzhůru působících lanem, které prochází kladkou. Tato síla však nemůže být nic jiného než napětí, které působí na lano na volném konci.

Takže pro každou kladku mobilní sestavy bude existovat vzestupná vertikální síla, která má hodnotu 2T. Ale protože v pohybující se sestavě je n kladek, celková síla směřující svisle nahoru je:

2 n T

Pro vertikální vyvážení je nutné, aby:

2 n T = P

proto síla aplikovaná na volný konec je:

T = P / (2 n)

V tomto případě lze říci, že vynaložená síla T se na zatížení znásobí 2krát.

Například, kdybychom měli faktoriální soupravu se 3 pevnými a 3 pohyblivými kladkami, číslo n by se rovnalo 3. Na druhé straně, pokud by zatížení bylo P = 120 kg, pak by síla působící na volný konec byla T = 120 kg / (2 x 3) = 20 kg.

Řešená cvičení

Cvičení 1

Zvažte faktoriální soupravu složenou ze dvou pevných řemenic a dvou pohyblivých řemenic. Maximální napětí, které lano vydrží, je 60 kg. Určete, jaké je maximální zatížení, které lze umístit.

Řešení

Když je zátěž v klidu nebo se pohybuje konstantní rychlostí, její hmotnost P souvisí s tahem T působícím na lano pomocí následujícího vztahu:

P = 2 n T

Protože se jedná o soupravu se dvěma pohyblivými a dvěma pevnými kladkami, pak n = 2.

Maximální zatížení, které lze umístit, se získá, když T má maximální možnou hodnotu, což je v tomto případě 60 kg.

Maximální zatížení = 2 * 2 * 60 kg = 240 kg

Cvičení 2

Najděte vztah mezi napnutím lana a hmotností zátěže v soupravě se dvěma kladkami, ve které je zatížení zrychleno a.

Řešení

Rozdíl v tomto příkladu vzhledem k tomu, co bylo dosud pozorováno, spočívá v tom, že je třeba zvážit dynamiku systému. Navrhujeme tedy Newtonův druhý zákon k nalezení požadovaného vztahu.

Obrázek 4. Dynamika soupravy faktorů.

Na obrázku 4 nakreslíme žluté síly v důsledku napětí T lana. Pohyblivá část výtahu má celkovou hmotnost M. Bereme jako referenční systém jeden na úrovni první pevné kladky a kladný směrem dolů.

Y1 je poloha nejnižšího hřídele řemenice.

Použijeme Newtonův druhý zákon k určení zrychlení a1 pohyblivé části soupravy:

-4 T + Mg = M al

Protože hmotnost zátěže je P = Mg, kde g je zrychlení gravitace, lze výše uvedený vztah napsat:

-4T + P = P (al / g)

Pokud bychom chtěli určit napětí působící na lano, když je určité hmotnostní zatížení P zrychleno zrychlením a1, pak by předchozí vztah vypadal takto:

T = P (1 - al / g) / 4

Všimněte si, že pokud by systém byl v klidu nebo se pohyboval konstantní rychlostí, pak a1 = 0, a my bychom získali stejný výraz, jaký jsme získali v případě 2.

Cvičení 3

V tomto příkladu je použita stejná takeláž z cvičení 1, se stejným lanem, které nese maximální napětí 60 kg. Určité zatížení stoupá a zrychluje ho z klidu na 1 m / s za 0,5 s, za použití maximálního napětí lana. Najděte maximální hmotnost nákladu.

Řešení

Použijeme výrazy získané ve cvičení 2 a referenční systém na obrázku 4, ve kterém je kladný směr svislý směrem dolů.

Zrychlení zátěže je a1 = (-1 m / s - 0 m / s) / 0,5 s = -2 m / s ^ 2.

Hmotnost zatížení v kilogramové síle je dána vztahem

P = 4 T / (1 - al / g)

P = 4 x 60 kg / (1 + 2 / 9,8) = 199,3 kg

Jedná se o maximální možnou hmotnost nákladu bez přetržení lana. Je třeba si uvědomit, že získaná hodnota je menší než hodnota získaná v příkladu 1, u kterého se předpokládá, že zatížení má nulové zrychlení, tj. V klidu nebo při konstantní rychlosti.

Reference

1. Sears, Zemansky. 2016. Univerzitní fyzika s moderní fyzikou. 14. Vyd. Svazek 1. 101-120.
2. Resnick, R. (1999). Fyzický. 1. díl 3. vydání ve španělštině. Compañía Editorial Continental SA de CV 87-103.
3. Giancoli, D. 2006. Fyzika: Principy s aplikacemi. 6. Ed. Prentice Hall. 72 - 96.
4. Hewitte, Paule. 2012. Konceptuální fyzikální věda. 5. Ed. Pearson, 3,38-61.
5. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fyzika pro vědu a techniku. Svazek 1. 7. Ed. Cengage Learning. 100-119.