VÝCHOZÍ A NADMĚRNÁ APROXIMACE: CO TO JE A PŘÍKLADY - MATEMATIKA

Aproximace pod a nad je numerická metoda použitá pro stanovení hodnoty čísla podle různých stupnic přesnosti. Například číslo 235 623 je ve výchozím nastavení blízko 235,6 a nadbytek 235,7. Budeme-li považovat desetiny za hranici chyby.

Aproximace spočívá v nahrazení přesné figury jinou, kde by nahrazení mělo usnadnit operace matematického problému, zachování struktury a podstaty problému.

Zdroj: Pexels.

A ≈B

To čte; Přibližné B. Kde "A" představuje přesnou hodnotu a "B" přibližnou hodnotu.

Významná čísla

Hodnoty, s nimiž je definováno přibližné číslo, jsou známé jako významné hodnoty. V aproximaci příkladu byly získány čtyři významné hodnoty. Přesnost čísla je dána počtem významných čísel, které jej definují.

Nekonečné nuly, které mohou být umístěny napravo i vlevo od čísla, nejsou považovány za významné hodnoty. Umístění čárky nehraje žádnou roli při definování významných čísel čísla.

750385

…. 00.0075038500….

75,038500000…..

750385000…..

….. 000007503850000…..

Na čem to spočívá?

Metoda je celkem jednoduchá; zvolte vázanou chybu, což není nic jiného než číselný rozsah, ve kterém chcete řez provést. Hodnota tohoto rozsahu je přímo úměrná chybě chyby přibližného čísla.

Ve výše uvedeném příkladu vlastní 235 623 tisícin (623). Poté bylo provedeno přiblížení k desetinám. Nadměrná hodnota (235,7) odpovídá nejvýznamnější hodnotě v desetinách bezprostředně za původním číslem.

Na druhé straně výchozí hodnota (235,6) odpovídá nejbližší a nejvýznamnější hodnotě v desetinách, která je před původním číslem.

Numerická aproximace je v praxi s čísly docela běžná. Jiné široce používané metody jsou zaokrouhlování a zkrácení; které odpovídají různým kritériím pro přiřazení hodnot.

Rozpětí chyby

Při definování číselného rozsahu, který bude číslo pokrývat po aproximaci, definujeme také mezní hodnotu chyby, která doprovází obrázek. Toto bude označeno existujícím nebo významným racionálním číslem v přiřazeném rozsahu.

V počátečním příkladu mají hodnoty definované nadbytkem (235,7) a ve výchozím nastavení (235,6) přibližnou chybu 0,1. Ve statistických a pravděpodobnostních studiích jsou zpracovávány 2 typy chyb s ohledem na číselnou hodnotu; absolutní chyba a relativní chyba.

Váhy

Kritéria pro stanovení přibližných rozsahů mohou být velmi proměnlivá a úzce souvisí se specifikacemi prvku, který má být aproximován. V zemích s vysokou inflací nadměrné aproximace ignorují některá číselná rozmezí, protože jsou nižší než inflační stupnice.

Tímto způsobem, při inflaci větší než 100%, prodejce neupraví produkt z 50 $ na 55 $, ale přiblíží se mu 100 $, čímž ignoruje jednotky a desítky přímým přiblížením se ke stovkám.

Pomocí kalkulačky

Konvenční kalkulačky s sebou přinášejí režim FIX, kde uživatel může nakonfigurovat počet desetinných míst, která chtějí ve svých výsledcích získat. To generuje chyby, které je třeba vzít v úvahu při provádění přesných výpočtů.

Iracionální aproximace čísel

Některé hodnoty široce používané v numerických operacích patří do souboru iracionálních čísel, jejichž hlavní charakteristikou je neurčitý počet desetinných míst.

zdroj: Pexels.

Hodnoty jako:

π = 3,141592654….
e = 2,718281828…
√2 = 1,414213562…

Při experimentování jsou běžné a jejich hodnoty musí být definovány v určitém rozmezí, přičemž se berou v úvahu možné generované chyby.

Na co jsou?

V případě dělení (1 ÷ 3) je pozorováno prostřednictvím experimentů, že je třeba stanovit snížení počtu prováděných operací k definování čísla.

1 ÷ 3 = 0,3333333……

1 ÷ 3 3/10 = 0,3

1 ÷ 3 33/100 = 0,33

1 ÷ 3 333/1000 = 0,333

1 ÷ 3 3333/10000 = 0,3333

1 ÷ 3 333333….. / 10000….. = 0,3333333…..

Je prezentována operace, která může být udržována na neurčito, takže je třeba se v určitém okamžiku přiblížit.

V případě:

1 ÷ 3 333333….. / 10000….. = 0,3333333…..

Pro jakýkoli bod stanovený jako rozpětí chyby bude získáno číslo menší než přesná hodnota (1 ÷ 3). Tímto způsobem jsou všechny dříve provedené aproximace výchozí aproximace (1 ÷ 3).

Příklady

Příklad 1

Která z následujících čísel je výchozí aproximací 0,0127

0,13
0,012; Je to výchozí aproximace 0,0127
0,01; Je to výchozí aproximace 0,0127
0,0128

Příklad 2

Které z následujících čísel je nadměrná aproximace 23 435

24; je aproximace vyšší než 23 435
23.4
23,44; je aproximace vyšší než 23 435
23,5; je aproximace vyšší než 23 435

Příklad 3

Následující čísla definujte pomocí výchozí aproximace s určenou vázanou chybou.

547,2648…. Na tisíciny, stovky a desítky.

Tisíce: Tisíce tisícin odpovídají prvním třímístným číslům za čárkou, kde po 999 přichází jednotka. Přistoupíme k přibližně 547 264.

Stovky: Označeny prvními dvěma číslicemi po čárce, musí se setkat stovky, 99, aby dosáhly jednoty. Tímto způsobem se ve výchozím nastavení blíží k 547,26.

Desítky: V tomto případě je chyba chyb mnohem vyšší, protože rozsah aproximace je definován v rámci celých čísel. Když se ve výchozím nastavení v deseti dostanete, dostanete 540.

Příklad 4

Následující čísla definujte pomocí nadměrné aproximace se zadanou chybovou vazbou.

1204 27317 Za desetiny, stovky a jedna.

Desátky: Odkazuje na první číslici za čárkou, kde se jednotka skládá po 0,9. Přibližování se k desetinám navíc dává 1204,3.

Stovky: Opět je pozorována mezní hodnota chyby, jejíž rozsah je v celém čísle obrázku. Přibližování stovek nadbytek dává 1300. Tento údaj se výrazně liší od čísla 1204.27317. Z tohoto důvodu nejsou aproximace obvykle aplikovány na celočíselné hodnoty.

Jednotky: Nadměrným přiblížením k jednotce se získá 1205.

Příklad 5

Švadlena ořízne délku tkaniny 135,3 cm a vytvoří vlajku 7855 cm ². Kolik se druhá strana změří, pokud použijete konvenční pravítko, které se vyznačuje až do milimetrů.

Přibližte výsledky podle překročení a defektu.

Oblast vlajky je pravoúhlá a je definována:

A = strana x strana

strana = A / strana

strana = 7855 cm ² / 135,3 cm

strana = 58,05617147 cm

Díky zhodnocení pravidla můžeme získat data až do milimetrů, což odpovídá rozsahu desetinných míst vzhledem k centimetru.

Tedy 58 cm je výchozí přiblížení.

Zatímco 58.1 je nadměrná aproximace.

Příklad 6

Definujte 9 hodnot, které mohou být přesnými čísly v každé aproximaci:

34 071 výsledků z přibližně tisícin ve výchozím nastavení

34.07124 34.07108 34.07199

34.0719 34.07157 34.07135

34.0712 34.071001 34.07176

0,012 vyplývá z přibližně tisícin ve výchozím nastavení

0,011291 0,012099 0,01202

0,011233 0,011223 0,011255

0,01201 0,0112457 0,011297

23,9 vyplývá z přiblížení desetin přebytku

23,801 23,85555 23,81

23,89 23,8324 23,82

23,833 23,84 23,80004

58,37 je výsledkem sbližování setin podle přebytek

58.3605 58.36001 58.36065

58,3655 58,362 58,363

58,3623 58,361 58,3634

Příklad 7

Přibližně každé iracionální číslo podle uvedené hranice chyby:

π = 3,141592654….

Tisíce ve výchozím nastavení π = 3,141

Tisíce o přebytek π = 3,142

Stovky ve výchozím nastavení π = 3,14

Stovky překračující π = 3,15

Desítky ve výchozím nastavení π = 3.1

Desítky nadbytek π = 3.2

e = 2,718281828…

Tisíce ve výchozím nastavení e = 2,718

Tisíce o přebytek e = 2,719

Stovky ve výchozím nastavení e = 2,71

Stovky v nadbytku e = 2,72

Desítky ve výchozím nastavení e = 2,7

Desátky s přebytkem e = 2,8

√2 = 1,414213562…

Tisíce ve výchozím nastavení √2 = 1,414

Tisíce o přebytek √2 = 1,415

Stovky ve výchozím nastavení √2 = 1,41

Stovky přesahující √2 = 1,42

Desítky ve výchozím nastavení √2 = 1,4

Desítky nadbytek √2 = 1,5

1 ÷ 3 = 0,33333333…..

Tisíce ve výchozím nastavení 1 ÷ 3 = 0,332

Tisíce nad 1 ÷ 3 = 0,334

Stovky ve výchozím nastavení 1 ÷ 3 = 0,33

Stovky nad 1 ÷ 3 = 0,34

Desítky ve výchozím nastavení 1 ÷ 3 = 0,3

Desátky o přebytek 1 ÷ 3 = 0,4

Reference

Problémy v matematické analýze. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Vratislavská univerzita. Polsko.
Úvod do logiky a metodologie deduktivních věd. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University press.
The Aritmetic Teacher, Svazek 29. Národní rada učitelů matematiky, 1981. University of Michigan.
Učení a výuka teorie čísel: Výzkum v poznání a výuce / editoval Stephen R. Campbell a Rina Zazkis. Publikování Ablex 88 Post Road West, Westport CT 06881.
Bernoulli, J. (1987). Ars Conjectandi- 4ème partie. Rouen: IREM.

VÝCHOZÍ A NADMĚRNÁ APROXIMACE: CO TO JE A PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025