ČÁSTEČNÉ DERIVÁTY: ZÁPIS, PŘÍKLADY A ŘEŠENÁ CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

K parciální derivace v závislosti na několika proměnných, jsou ty, které určují rychlost změny funkce, kdy jedna z proměnných má nekonečně variace, zatímco ostatní proměnné zůstávají beze změny.

Aby byla myšlenka konkrétnější, předpokládejme případ funkce dvou proměnných: z = f (x, y). Částečný derivát funkce f vzhledem k proměnné x se vypočítá jako obyčejný derivát vzhledem k x, ale vezme proměnnou y, jako by byla konstantní.

Obrázek 1. Funkce f (x, y) a její parciální derivace ∂ _x f y ∂ _y f v bodě P. (Vypracoval R. Pérez s geogebrou)

Zápis částečného derivátu

Částečná derivační operace funkce f (x, y) na proměnné x je označena některým z následujících způsobů:

V částečných derivátech se používá symbol ∂ (druh zaokrouhleného písmene d také nazývaného Jacobiho d), na rozdíl od obyčejného derivátu pro funkce jedné proměnné, ve které je písmeno d použito pro derivaci.

Obecně řečeno, částečný derivát vícerozměrné funkce, s ohledem na jednu z jejích proměnných, vede k nové funkci ve stejných proměnných původní funkce:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Výpočet a význam dílčího derivátu

Určení rychlosti změny nebo sklonu funkce pro určitý bod (x = a, y = b) ve směru rovnoběžném s osou X:

1 - Vypočítá se funkce ∂ _x f (x, y) = g (x, y), vezme se obyčejný derivát do proměnné x a nechá se proměnná y pevná nebo konstanta.

2- Pak je nahrazena hodnota bodu x = a a y = b, ve kterém chceme znát rychlost změny funkce ve směru x:

{Sklon ve směru x v bodě (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3 Pro výpočet rychlosti změny ve směru y na souřadnici bodu (A, B), první Spočítej ∂ _a f (x, y) = h (x, y).

4- Pak je bod (x = a, y = b) nahrazen v předchozím výsledku a získá se:

{Sklon ve směru y v bodě (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Příklady parciálních derivátů

Některé příklady dílčích derivátů jsou následující:

Příklad 1

Vzhledem k funkci:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Najděte dílčí derivace funkce f vzhledem k proměnné x a proměnné y.

Řešení:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

Všimněte si, že pro výpočet částečného derivátu funkce f vzhledem k proměnné x byl proveden běžný derivát vzhledem k x, ale proměnná y byla vzata, jako by byla konstantní. Podobně se při výpočtu parciálního derivátu f vzhledem k y proměnná x bere jako konstanta.

Funkce f (x, y) je plocha zvaná paraboloid znázorněná na obrázku 1 v okrové barvě.

Příklad 2

Najděte rychlost změny (nebo sklon) funkce f (x, y) z příkladu 1 ve směru osy X a osy Y pro bod (x = 1, y = 2).

Řešení: Chcete-li najít svahy ve směrech xay v daném bodě, jednoduše nahraďte hodnoty bodu funkcí ∂ _x f (x, y) a funkcí function _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _a f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

Obrázek 1 ukazuje tečnou čáru (v červené barvě) ke křivce určené průnikem funkce f (x, y) s rovinou y = 2, sklon této čáry je -2. Obrázek 1 také ukazuje tečnou čáru (zeleně) ke křivce, která definuje průnik funkce f s rovinou x = 1; Tento řádek má sklon -4.

Cvičení

Cvičení 1

Kuželové sklo v daném čase obsahuje vodu, takže povrch vody má poloměr r a hloubku h. Sklo má však ve spodní části malý otvor, skrz který se ztrácí voda rychlostí C kubických centimetrů za sekundu. Určete rychlost klesání z vodní hladiny v centimetrech za sekundu.

Řešení:

Nejprve je třeba si uvědomit, že objem vody v daném okamžiku je:

Objem je funkcí dvou proměnných, poloměru r a hloubky h: V (r, h).

Když se objem změní o nekonečně velké množství dV, změní se také poloměr r vodní hladiny a hloubka h vody podle následujícího vztahu:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Pokračujeme ve výpočtu dílčích derivátů V s ohledem na r a h:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Kromě toho poloměr r a hloubka h splňují následující vztah:

Dělíme oba členy časovým rozdílem dt:

dV / dt = πr ^ 2 (dh / dt)

Ale dV / dt je objem vody ztracené za jednotku času, o kterém je známo, že je C centimetrů za sekundu, zatímco dh / dt je rychlost klesání volného povrchu vody, která se bude nazývat v. To znamená, že vodní hladina v daném okamžiku klesá rychlostí v (v cm / s) danou:

v = C / (πr ^ 2).

Jako numerická aplikace předpokládejme, že r = 3 cm, h = 4 cm a rychlost úniku C je 3 cm ^ 3 / s. Pak rychlost klesání povrchu v tomto okamžiku je:

v = 3 / (n 3 ^ 2) = 0,11 cm / s = 1,1 mm / s.

Cvičení 2

Clairautova - Schwarzova věta uvádí, že pokud je funkce spojitá ve svých nezávislých proměnných a její dílčí deriváty s ohledem na nezávislé proměnné jsou také spojité, mohou být zaměněny deriváty druhého řádu. Zkontrolujte tuto větu o funkci

f (x, y) = x ^ 2 y, tj. musí být splněno y _xy f = ∂ _yx f.

Řešení:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f), zatímco ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Bylo prokázáno, že Schwarzova věta platí, protože funkce f a její dílčí derivace jsou spojitá pro všechna reálná čísla.

Reference

1. Frank Ayres, J. a Mendelson, E. (2000). Výpočet 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Výpočet s analytickou geometrií. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Výpočet. Mexiko: Pearsonovo vzdělávání.
4. Saenz, J. (2005). Diferenciální počet. Přepona.
5. Saenz, J. (2006). Integrální počet. Přepona.
6. Wikipedia. Parciální derivace. Obnoveno z: es.wikipedia.com