FACTORING: METODY A PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Faktorizace je metoda, při které je polynom vyjádřena jako multiplikační faktor, které mohou být čísla nebo písmena nebo obojí. Faktory, které jsou společné pro termíny, jsou seskupeny dohromady a tímto způsobem je polynom rozložen na několik polynomů.

Když se tedy faktory násobí dohromady, výsledkem je původní polynom. Factoring je velmi užitečná metoda, pokud máte algebraické výrazy, protože ji lze převést na násobení několika jednoduchých pojmů; například: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Existují případy, kdy polynom nemůže být faktorován, protože mezi jeho členy neexistuje společný faktor; tyto algebraické výrazy jsou tedy dělitelné pouze samostatně a 1. Například: x + y + z.

V algebraickém výrazu je společný faktor největším společným dělitelem termínů, které jej skládají.

Faktoringové metody

Existuje několik faktoringových metod, které se používají v závislosti na případu. Některé z nich jsou následující:

Faktoring podle společného faktoru

V této metodě jsou identifikovány běžné faktory; to je, ty, které se opakují ve smyslu výrazu. Poté se aplikuje distribuční vlastnost, vezme se největší společný dělitel a faktoring je dokončen.

Jinými slovy, je identifikován společný faktor výrazu a každý člen je ním rozdělen; Výsledné termíny budou vynásobeny největším společným dělitelem, aby vyjádřily faktorizaci.

Příklad 1

Faktor (b ² x) + (b ² y).

Řešení

Nejprve najdeme společný faktor každého termínu, kterým je v tomto případě b ², a poté rozdělíme termíny společným faktorem takto:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

Faktorizace je vyjádřena vynásobením společného faktoru výslednými termíny:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

Příklad 2

Faktor (2a ² b ³) + (3ab ²).

Řešení

V tomto případě máme dva faktory, které se opakují v každém členu, které jsou „a“ a „b“ a které jsou povýšeny na moc. Aby je bylo možné faktorovat, jsou tyto dva termíny nejprve rozloženy ve své dlouhé formě:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Je vidět, že faktor „a“ se opakuje pouze jednou ve druhém termínu a faktor „b“ se v tomto opakuje dvakrát; takže v prvním funkčním období zbývá pouze 2, faktor „a“ a faktor „b“; zatímco ve druhém funkčním období zbývají pouze 3.

Časy opakování „a“ a „b“ se proto zapisují a násobí faktory, které zbývají z každého termínu, jak je znázorněno na obrázku:

Seskupení faktoringu

Protože ne ve všech případech je jednoznačně vyjádřen největší společný dělitel polynomu, je nutné provést další kroky, aby bylo možné polynom přepsat a tím i faktor.

Jedním z těchto kroků je seskupení pojmů polynomu do několika skupin a použití metody společného faktoru.

Příklad 1

Faktor ac + bc + ad + bd.

Řešení

Existují 4 faktory, kde jsou běžné dva: v prvním členu je to „c“ a ve druhém je to „d“. Tímto způsobem jsou dva termíny seskupeny a odděleny:

(ac + bc) + (ad + bd).

Nyní je možné použít metodu společného faktoru, přičemž každý člen vydělíme jeho společným faktorem a poté vynásobíme tento společný faktor výslednými pojmy:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Nyní dostaneme binomické pole, které je společné pro oba termíny. Chcete-li to faktor, je násoben zbývající faktory; tak musíte:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Kontrolní faktoring

Tato metoda se používá k faktoru kvadratických polynomů, také nazývaných trinomiální; to znamená ty, které jsou strukturovány jako ax ² ± bx + c, kde je hodnota „a“ jiná než 1. Tato metoda se také používá, když má trinomial tvar x ² ± bx + c a hodnotu „a“ = 1.

Příklad 1

Faktor x ² + 5x + 6.

Řešení

Máme kvadratický trinomiální tvar x ² ± bx + c. K tomu je třeba nejprve najít dvě čísla, která při vynásobení dají za výsledek hodnotu «c» (tj. 6) a jejich součet se rovná koeficientu «b», který je 5. Tato čísla jsou 2 a 3:

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Takto se výraz zjednoduší takto:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Každý člen je faktorován:

- Pro (x ² + 2x) se používá běžný termín: x (x + 2)

- Pro (3x + 6) = 3 (x + 2)

Výraz je tedy:

x (x +2) + 3 (x +2).

Vzhledem k tomu, že máme společný binomický řetězec, snižujeme jeho výraz zbývajícími podmínkami a musíme:

x ² + 5 x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Příklad 2

Faktor 4a ² + 12a + 9 = 0.

Řešení

Máme kvadratický trinomiální tvar osy ² ± bx + cy, který jej faktoruje, vynásobte celou expresi koeficientem x ²; v tomto případě 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

Nyní musíme najít dvě čísla, která, když se vynásobí, dávají jako výsledek hodnotu „c“ (což je 36) a která, když se sečtou, dá jako výsledek koeficient termínu „a“, který je 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Tímto způsobem je přepsán výraz, přičemž se bere v úvahu, že 4 ² a ² = 4a _* 4a. Distribuční vlastnost se proto vztahuje na každý termín:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Nakonec je výraz dělen koeficientem ²; to znamená, 4:

(4. + 6) _* (4. + 6) / 4 = ((4. + 6) / 2) _* ((4. + 6) / 2).

Výraz je následující:

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Factoring s významnými produkty

Existují případy, kdy se polynomy s výše uvedenými metodami plně zohlední, stává se velmi dlouhým procesem.

To je důvod, proč lze vytvořit výraz pomocí vzorců pozoruhodných produktů, a tím se proces stává jednodušším. Mezi nejpoužívanější produkty patří:

- Rozdíl dvou čtverců: (a ² - b ²) = (a - b) _* (a + b)

- Perfektní čtverec součtu: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Dokonalý čtverec rozdílu: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Rozdíl dvou kostek: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ²)

- Součet dvou kostek: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ²)

Příklad 1

Faktor (5 ² - x ²)

Řešení

V tomto případě je rozdíl dvou čtverců; proto platí pozoruhodný vzorec produktu:

(a ² - b ²) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ²) = (5 - x) _* (5 + x)

Příklad 2

Faktor 16x ² + 40x + 25 ²

Řešení

V tomto případě máte perfektní druhou mocninu součtu, protože můžete identifikovat dva termíny druhé mocniny a termín, který zůstává, je výsledkem vynásobení dvou druhou odmocninou prvního termínu, druhou odmocninou druhého termínu.

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

Pro zohlednění se počítají pouze druhé odmocniny prvního a třetího členu:

√ (16x ²) = 4x

√ (25 ²) = 5.

Pak jsou dva výsledné termíny vyjádřeny odděleny znaménkem operace a celý polynom je na druhou:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ².

Příklad 3

Faktor 27a ³ - b ³

Řešení

Výraz představuje odčítání, ve kterém jsou krychovány dva faktory. Pro jejich faktorování se použije vzorec pro pozoruhodný produkt rozdílu kostek, který je:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ²)

Tedy, faktorem je kořen krychle každého členu binomického členu odebrán a vynásoben druhou mocninou prvního členu plus součin prvního z druhého členu plus druhý termín na druhou.

27a ³ - b ³

³√ (27a ³) = 3a

√√ (-b ³) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ²)

Factoring s Ruffiniho vládou

Tato metoda se používá, pokud máte polynom vyšší než dva, abyste zjednodušili vyjádření několika polynomů nižšího stupně.

Příklad 1

Faktor Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Řešení

Nejprve hledáme čísla, která jsou děliteli 12, což je nezávislý pojem; Jedná se o ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 a ± 12.

Pak je x nahrazeno těmito hodnotami, od nejnižší k nejvyšší, a tak je určeno, s jakou z hodnot bude dělení přesné; to znamená, že zbývající část musí být 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 = 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

A tak dále pro každého dělitele. V tomto případě jsou zjištěné faktory pro x = -1 a x = 2.

Nyní se používá Ruffiniho metoda, podle které se koeficienty výrazu dělí na nalezené faktory, takže rozdělení je přesné. Polynomické termíny jsou řazeny od nejvyššího k nejnižšímu exponentu; v případě, že v posloupnosti chybí výraz s dalším stupněm, na jeho místo se umístí 0.

Koeficienty jsou umístěny ve schématu znázorněném na následujícím obrázku.

První koeficient je snížen a násoben dělitelem. V tomto případě je první dělitel -1 a výsledek je umístěn v dalším sloupci. Pak se hodnota koeficientu s tímto výsledkem, který byl získán, přidá svisle a výsledek se umístí níže. Tímto způsobem se proces opakuje až do posledního sloupce.

Poté se stejný postup opakuje znovu, ale s druhým dělitelem (což je 2), protože výraz lze stále zjednodušit.

Pro každý získaný kořen tedy bude mít polynom výraz (x - a), kde "a" je hodnota kořene:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Na druhou stranu je třeba tyto podmínky znásobit zbytkem Ruffiniho pravidla 1: 1 a -6, což jsou faktory, které představují stupeň. Tímto způsobem je vytvořený výraz: (x ² + x - 6).

Výsledkem faktorizace polynomu metodou Ruffini je:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Nakonec lze polynom stupně 2, který se objeví v předchozím výrazu, přepsat jako (x + 3) (x-2). Proto je konečná faktorizace:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Reference

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra a trigonometrie s analytickou geometrií. Pearsonovo vzdělávání.
2. J, V. (2014). Jak učit děti o faktoringu polynomu.
3. Manuel Morillo, AS (sf). Základní matematika s aplikacemi.
4. Roelse, PL (1997). Lineární metody pro polynomiální faktorizaci přes konečná pole: teorie a implementace. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Prsteny a faktorizace.