YOUNGŮV MODUL: POČET, APLIKACE, PŘÍKLADY, CVIČENÍ - FYZICKÝ - 2025

The Youngův modul nebo modul pružnosti je konstanta vztahuje na pevnost v tahu nebo stlačení s příslušnou zvýšení nebo snížení délky, který má objekt pod těmito silami.

Vnější síly působící na objekty mohou nejen změnit svůj stav pohybu, ale jsou také schopné změnit svůj tvar nebo je dokonce rozbít nebo zlomit.

Obrázek 1. Pohyby kočky jsou plné pružnosti a elegance. Zdroj: Pixabay.

Youngův modul se používá ke studiu změn vyvolaných v materiálu, když je externě aplikována tahová nebo tlaková síla. Je velmi užitečný v předmětech jako je inženýrství nebo architektura.

Model vděčí za svůj název britskému vědci Thomasu Youngovi (1773-1829), který byl tím, kdo provedl studie materiálů navrhujících míru tuhosti různých materiálů.

Co je Youngův model?

Youngův model je mírou tuhosti. U materiálů s nízkou tuhostí (červená) je větší deformace při prodloužení nebo kompresním zatížení. Tigraan / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Kolik může být předmět deformován? To je něco, co inženýři často chtějí vědět. Odpověď bude záviset na vlastnostech materiálu a na jeho rozměrech.

Například můžete porovnat dvě tyče vyrobené z hliníku s různými rozměry. Každý z nich má jinou průřezovou plochu a délku a oba jsou vystaveny stejné tahové síle.

Očekávané chování bude následující:

- Čím větší je tloušťka (průřez) tyče, tím menší je napnutí.

- Čím delší je počáteční délka, tím větší je konečný úsek.

To dává smysl, protože zkušenost nakonec ukazuje, že snaha o deformaci gumičky není stejná jako snaha o provedení ocelové tyče.

Parametr nazývaný modul pružnosti materiálu je známkou jeho pružné reakce.

Jak se počítá?

Young byl doktorem a chtěl vědět, jakou roli hraje elasticita tepen při dobrém výkonu krevního oběhu. Ze svých zkušeností uzavřel následující empirický vztah:

Je možné graficky znázornit chování materiálu při působení stresu, jak ukazuje následující obrázek.

Obrázek 2. Graf napětí versus napětí pro materiál. Zdroj: vlastní výroba.

Z počátku do bodu A

V první části, která přechází od počátku k bodu A, je graf přímou čarou. Zde platí Hookeův zákon:

F = kx

Kde F je velikost síly, která vrací materiál do jeho původního stavu, x je deformace, kterou zažívá, a k je konstanta, která závisí na objektu vystaveném namáhání.

Zde uvažované deformace jsou malé a chování je dokonale elastické.

Od A do B

Od A do B se materiál chová také pružně, ale vztah mezi napětím a napětím již není lineární.

Od B do C

Mezi body B a C materiál podléhá trvalé deformaci, protože se nemůže vrátit do původního stavu.

Z C.

Pokud se materiál dále táhne od bodu C, nakonec se zlomí.

Matematicky lze Youngova pozorování shrnout takto:

Stres ∝ Kmen

Kde konstanta proporcionality je přesně modulem pružnosti materiálu:

Stres = modul pružnosti x deformace

Existuje mnoho způsobů, jak deformovat materiály. Tři nejběžnější typy stresu, kterému je předmět vystaven, jsou:

- Napnutí nebo protažení.

- Komprese.

- Řezání nebo stříhání.

Jedním stresem, kterému jsou materiály běžně vystaveny, například v civilní výstavbě nebo automobilových součástech, je trakce.

Vzorce

Když je předmět délky L napnutý nebo napnutý, je vystaven tahu, který způsobuje změnu jeho délky. Schéma této situace je znázorněno na obrázku 3.

To vyžaduje, aby síla velikosti F působila na jednotku plochy na její konce, aby způsobila roztahování, tak, aby se její nová délka stala L + DL.

Úsilí vynaložené k deformaci objektu bude právě tato síla na jednotku plochy, zatímco zkušební napětí je ΔL / L.

Obrázek 3. Předmět vystavený tahu nebo protažení, prodlužuje se. Zdroj: vlastní výroba.

Označení Youngova modulu jako Y a podle výše uvedeného:

Odpověď spočívá v tom, že kmen označuje relativní napětí vzhledem k původní délce. Není to stejné, jako se 1 m tyč rozpíná nebo zmenšuje o 1 cm, protože struktura 100 metrů dlouhá je stejně deformována o 1 cm.

Pro správné fungování součástí a konstrukcí existuje tolerance ohledně přípustných relativních deformací.

Rovnice pro výpočet deformace

Pokud je výše uvedená rovnice analyzována takto:

- Čím větší je plocha průřezu, tím menší je deformace.

- Čím delší je délka, tím větší je deformace.

- Čím vyšší je Youngův modul, tím nižší je deformace.

Jednotky napětí odpovídají newtonům / metr čtvereční (N / m ²). Jsou to také jednotky tlaku, které v mezinárodním systému nesou jméno Pascal. Na druhé straně je namáhání ΔL / L bezrozměrné, protože se jedná o kvocient mezi dvěma délkami.

Jednotky anglického systému jsou lb / in ² a používají se také velmi často. Konverzní faktor přejít z jedné na druhou, je: 14,7 lb / in ² = 1,01325 x 10 ⁵ Pa

To vede k tomu, že Youngův modul má také jednotky tlaku. Konečně lze výše uvedenou rovnici vyjádřit k vyřešení pro Y:

Ve vědě o materiálech je jejich pružná reakce na různá úsilí důležitá pro výběr nejvhodnějšího pro každou aplikaci, ať už se jedná o výrobu křídla letadla nebo automobilového ložiska. Charakteristiky materiálu, který má být použit, jsou rozhodující v očekávané reakci na něj.

Pro výběr nejlepšího materiálu je třeba znát napětí, kterému bude určitý kus vystaven; a následně vyberte materiál, který má vlastnosti nejvíce v souladu s návrhem.

Například křídlo letounu musí být silné, lehké a schopné ohybu. Materiály používané při stavbě budov musí do značné míry odolávat seismickým pohybům, ale musí mít také určitou flexibilitu.

Inženýři, kteří navrhují křídla letounu, a také ti, kteří volí konstrukční materiály, musí používat grafy namáhání napětím jako na obrázku 2.

Měření za účelem stanovení nejdůležitějších elastických vlastností materiálu lze provádět ve specializovaných laboratořích. Existují tedy standardizované testy, kterým jsou vzorky vystaveny, kterým jsou vystavena různá napětí, a výsledné deformace se měří.

Příklady

Jak již bylo uvedeno výše, Y nezávisí na velikosti nebo tvaru předmětu, ale na vlastnostech materiálu.

Další velmi důležitá poznámka: aby výše uvedená rovnice byla použitelná, musí být materiál izotropní, to znamená, že jeho vlastnosti musí zůstat po celou dobu nezměněny.

Ne všechny materiály jsou izotropní: existují takové, jejichž elastická odezva závisí na určitých směrových parametrech.

Deformace analyzovaná v předchozích segmentech je jen jedním z mnoha, kterému může být materiál vystaven. Například, pokud jde o tlakové napětí, je to opak tahového napětí.

Uvedené rovnice platí pro oba případy a hodnoty Y jsou téměř vždy stejné (izotropní materiály).

Pozoruhodnou výjimkou je beton nebo cement, který odolává stlačení lépe než tah. Proto musí být zesíleno, pokud je požadována odolnost proti roztažení. Ocel je materiál, který je k tomu určen, protože velmi dobře odolává protažení nebo tažení.

Příklady struktur vystavených stresu zahrnují stavební sloupy a oblouky, klasické stavební prvky v mnoha starověkých a moderních civilizacích.

Obrázek 4. Pont Julien, římská stavba z 3. př. Nl v jižní Francii.

Řešená cvičení

Cvičení 1

2,0 m dlouhý ocelový drát v hudebním nástroji má poloměr 0,03 mm. Když je kabel pod napětím 90 N: jak se mění jeho délka? Údaje: Youngův modul pružnosti oceli je 200 x 10 ⁹ N / m ²

Řešení

Je třeba vypočítat průřezovou plochu A = πR ² = π. (0,03 x 10 ^-3 M) ² = 2,83 x 10 ^-9 m ²

Stres je napětí na jednotku plochy:

Protože řetězec je pod napětím, znamená to, že se prodlužuje.

Nová délka je L = L _o + DL, kde L _o je počáteční délka:

L = 2,32 m

Cvičení 2

Mramorový sloup, jehož průřezová plocha je 2,0 m2 , nese hmotnost 25 000 kg. Nalézt:

a) Úsilí v páteři.

b) Kmen.

c) O kolik kratší je sloup, je-li jeho výška 12 m?

Řešení

a) Úsilí ve sloupci je způsobeno hmotností 25 000 kg:

P = mg = 25000 kg x 9,8 m / s ² = 245000 N

Snahou je proto:

b) Kmen je ΔL / L:

c) ΔL je změna délky daná:

DL = 2,45 x 10 ^-6 x 12 m = 2,94 x 10 ^-5 m = 0,0294 mm.

Neočekává se, že se mramorový sloup významně zmenší. Všimněte si, že ačkoliv Youngův modul je v mramoru nižší než v oceli a že sloupec také podporuje mnohem větší sílu, jeho délka se téměř nemění.

Na druhé straně je v provazci podle předchozího příkladu mnohem výraznější varianta, ačkoli ocel má mnohem vyšší Youngův modul.

Jeho velká plocha průřezu zasahuje do sloupu, a proto je mnohem méně deformovatelná.

O uživateli Thomas Young

1822 portrét Thomase Younga. Thomas Lawrence / Public Domain

Modul pružnosti je pojmenován podle Thomase Younga (1773-1829), všestranného britského vědce, který významně přispěl k vědě v mnoha oblastech.

Jako fyzik Young studoval nejen vlnovou povahu světla odhalenou slavným experimentem s dvojitým štěrbinou, ale byl také lékařem, lingvistou a dokonce pomohl rozluštit některé egyptské hieroglyfy na slavném kameni Rosetta.

Byl členem Královské společnosti, Královské švédské akademie věd, Americké akademie umění a věd nebo Francouzské akademie věd, mimo jiné vznešených vědeckých institucí.

Je však třeba poznamenat, že koncept modelu již dříve vyvinul Leonhar Euler (1707-1873) a že vědci, jako je Giordano Riccati (1709-1790), již provedli experiment, který by Youngův model uvedl do praxe..

Reference

1. Bauer, W. 2011. Fyzika pro strojírenství a vědy. Svazek 1. Mac Graw Hill. 422-527.
2. Giancoli, D. 2006. Fyzika: Principy s aplikacemi. Šesté vydání. Prentice Hall. 238–249.