MOMENT SETRVAČNOSTI: VZORCE, ROVNICE A PŘÍKLADY VÝPOČTU - FYZICKÝ - 2025

Moment setrvačnosti tuhého tělesa s ohledem na určité ose otáčení představuje jeho odolnost vůči změnou jeho úhlové rychlosti kolem osy. Je úměrná hmotnosti a také umístění osy otáčení, protože tělo se v závislosti na své geometrii může otáčet snadněji kolem určitých os než v jiných.

Předpokládejme velký objekt (sestávající z mnoha částic), který se může otáčet kolem osy. Předpokládejme, že síla F působí tangenciálně na hmotový prvek Δm _i, který vytváří točivý moment nebo moment, daný τ _net = ∑ r _i x F _i. Vektor r _i je pozice Δm _i (viz obrázek 2).

Obrázek 1. Momenty setrvačnosti různých obrázků. Zdroj: Wikimedia Commons.

Tento moment je kolmý na rovinu otáčení (směr + k = opuštění papíru). Protože síla a vektor radiální polohy jsou vždy kolmé, produkt kříže zůstává:

τ _net = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i) k

Obrázek 2. Částice patřící rotační tuhé pevné látce. Zdroj: Serway, R. 2018. Fyzika pro vědu a techniku. Svazek 1. Cengage Learning.

Zrychlení a _i představuje tangenciální složku zrychlení, protože radiální zrychlení nepřispívá k točivému momentu. V závislosti na úhlové zrychlení α můžeme uvést, že:

Čistý točivý moment proto vypadá takto:

τ _net = ∑ Δm _i (a r _i ²) k = (∑ r _i ² Δm _i) α k

Úhlové zrychlení α je stejné pro celý objekt, není tedy ovlivněno indexem „i“ a může ponechat sumaci, což je přesně okamžik setrvačnosti objektu symbolizovaný písmenem I:

Toto je moment setrvačnosti diskrétního rozdělení hmoty. Když je distribuce spojitá, je součet nahrazen integrálem a Δm se stává hmotnostním diferenciem dm. Integrál se provádí přes celý objekt:

Jednotkami pro moment setrvačnosti v mezinárodním systému SI jsou kg xm ². Je to skalární a kladné množství, protože je součinem hmoty a čtverce vzdálenosti.

Příklady výpočtu

Rozšířený objekt, jako je sloupec, disk, koule nebo jiný, jehož hustota ρ je konstantní a je si vědom toho, že hustota je poměr hmotnost / objem, hmotnostní diferenciální dm je zapsán jako:

Nahrazující v integrálu pro moment setrvačnosti máme:

Jde o obecný výraz platný pro trojrozměrný objekt, jehož objem V a poloha r jsou funkce prostorových souřadnic x, y a z. Všimněte si, že je konstantní, hustota je mimo integrál.

Hustota ρ je také známá jako sypná hustota, ale pokud je objekt velmi plochý, jako například plech nebo velmi tenký a úzký jako tyč, lze použít i jiné formy hustoty:

- U velmi tenkého plechu je hustota, která se má použít, σ, povrchová hustota (hmotnost na jednotku plochy) a dA je plošný rozdíl.

- A pokud se jedná o tenkou tyč, kde je relevantní pouze délka, použije se lineární hustota hmotnosti λ a rozdíl délky podle osy použité jako reference.

V následujících příkladech jsou všechny objekty považovány za tuhé (nedeformovatelné) a mají jednotnou hustotu.

Moment setrvačnosti tenké tyče vzhledem k ose procházející jejím středem

Zde si spočítáme moment setrvačnosti tenké, tuhé, homogenní tyče délky L a hmoty M vzhledem k ose, která prochází médiem.

Nejprve je nutné vytvořit souřadnicový systém a postavit postavu s vhodnou geometrií, jako je tato:

Obrázek 3. Geometrie pro výpočet momentu setrvačnosti tenké tyče vzhledem k vertikální ose, která prochází jejím středem. Zdroj: F. Zapata.

Jako osa rotace byla zvolena osa x podél tyče a osa y. Postup pro stanovení integrálu také vyžaduje výběr hmotnostního rozdílu na liště, nazývaného dm, který má diferenciální délku dx a je umístěn v libovolné poloze x vzhledem ke středu x = 0.

Podle definice hustoty lineární hmotnosti λ:

Protože hustota je stejná, což platí pro M a L, platí také pro dm a dx:

Na druhé straně je hmotnostní prvek v poloze x, takže nahrazením této geometrie v definici máme určitý integrál, jehož limity jsou konce tyče podle souřadnicového systému:

Nahrazení lineární hustoty λ = M / L:

K nalezení momentu setrvačnosti tyče vůči jiné ose rotace, například té, která prochází jedním z jejích extrémů, můžete použít Steinerovu teorém (viz cvičení na konci) nebo provést přímý výpočet podobný tomu, který je zobrazen. zde, ale vhodně modifikovat geometrii.

Okamžik setrvačnosti disku vůči ose procházející jeho středem

Velmi tenký disk zanedbatelné tloušťky je plochý obrázek. Pokud je hmota rovnoměrně rozložena po celé ploše oblasti A, je hustota hmoty σ:

Jak dm, tak dA odpovídají hmotnosti a oblasti diferenciálního prstence znázorněného na obrázku. Budeme předpokládat, že celá sestava se otáčí kolem osy y.

Dokážete si představit, že disk je složen z mnoha soustředných prstenců o poloměru r, každý s příslušným momentem setrvačnosti. Přidáme-li příspěvky všech prstenů, dokud nedosáhneme poloměru R, budeme mít celkový moment setrvačnosti disku.

Obrázek 4. Geometrie pro výpočet momentu setrvačnosti disku vzhledem k axiální ose. Zdroj: F. Zapata.

Kde M představuje celou hmotnost disku. Plocha disku závisí na jeho poloměru r jako:

Odvození s ohledem na r:

Nahrazení výše uvedeného v definici I:

Nahrazením σ = M / (π.R ²) dostaneme:

Moment setrvačnosti pevné koule kolem průměru

Koule o poloměru R lze považovat za řadu disků naskládaných na sebe, kde každý disk s nekonečnou hmotností dm, poloměr r a tloušťka dz má moment setrvačnosti daný:

Pro nalezení tohoto rozdílu jsme jednoduše vzali vzorec z předchozí sekce a nahradili M a R dm a r. Disk, jako je tento, lze vidět v geometrii obrázku 5.

Obrázek 5. Geometrie pro výpočet momentu setrvačnosti pevné koule o poloměru R vzhledem k ose, která prochází průměrem. Zdroj: F. Zapata.

Sčítáním všech nekonečných momentů setrvačnosti naskládaných disků se získá celkový moment setrvačnosti koule:

Což odpovídá:

Chcete-li vyřešit integrál, musíte odpovídajícím způsobem vyjádřit dm. Jako vždy se dosahuje hustoty:

Svazek rozdílového disku je:

Výška disku je tloušťka dz, zatímco plocha základny je πr ², proto:

A nahrazení v navrhovaném integrálu by vypadalo takto:

Ale před integrací musíme pozorovat, že r - poloměr disku - závisí na z a R - poloměru koule -, jak je vidět na obrázku 5. Použití Pythagorovy věty:

Což nás vede k:

Chcete-li se integrovat do celé koule, poznamenáváme, že z se pohybuje mezi –R a R, proto:

S vědomím, že ρ = M / V = ​​M / je konečně dosaženo po zjednodušení:

Moment setrvačnosti pevného válce vzhledem k axiální ose

Pro tento předmět se používá metoda podobná té, která byla použita pro kouli, pouze tentokrát je snazší, když je válec představen, že je tvořen válcovými pouzdry o poloměru r, tloušťce dr a výšce H, jako by to byly vrstvy cibule..

Obrázek 6. Geometrie pro výpočet momentu setrvačnosti plného válce o poloměru R vzhledem k axiální ose. Zdroj: Serway, R. 2018. Fyzika pro vědu a techniku. Svazek 1. Cengage.

Objem dV válcové vrstvy je:

Hmotnost skořepiny je proto:

Tento výraz je nahrazen definicí momentu setrvačnosti:

Výše uvedená rovnice ukazuje, že moment setrvačnosti válce nezávisí na jeho délce, ale pouze na jeho hmotnosti a poloměru. Pokud by se L změnila, moment setrvačnosti kolem osové osy by zůstal stejný. Z tohoto důvodu se I válce shoduje s dříve vypočítaným tenkým diskem.

Moment setrvačnosti pravoúhlého plechu vzhledem k ose procházející jeho středem

Jako osa otáčení byla zvolena vodorovná osa y. Následující obrázek ukazuje geometrii potřebnou k provedení integrace:

Obrázek 7. Geometrie pro výpočet momentu setrvačnosti pravoúhlé desky vzhledem k ose rovnoběžné s fólií a procházející jejím středem. Zdroj: F. Zapata.

Červeně označený prvek oblasti je obdélníkový. Jeho plocha je základna x výška, proto:

Proto je hmotnostní rozdíl:

Pokud jde o vzdálenost od prvku plochy k ose otáčení, je to vždy z. Nahrazujeme to vše v rámci momentu setrvačnosti:

Nyní je hustota povrchové hmotnosti σ nahrazena:

A rozhodně to vypadá takto:

Všimněte si, že je jako tenká lišta.

Moment setrvačnosti čtvercového listu vzhledem k ose procházející jeho středem

U čtverce se stranou L v předchozím výrazu platném pro obdélník jednoduše nahraďte hodnotu b hodnotou L:

Moment setrvačných vět

Existují dvě zvláště užitečné věty, které zjednodušují výpočet momentů setrvačnosti vzhledem k jiným osám, které by jinak bylo obtížné najít kvůli nedostatku symetrie. Jedná se o tyto věty:

Steinerova věta

Rovněž se nazývá věta o rovnoběžných osách, týká se momentu setrvačnosti vzhledem k ose s jinou, která prochází středem hmoty objektu, pokud jsou osy rovnoběžné. K jeho aplikaci je nutné znát vzdálenost D mezi oběma osami a samozřejmě hmotnost M objektu.

Nechť I _z je moment setrvačnosti objektu rozšířeného vzhledem k ose z, I _CM moment setrvačnosti vzhledem k ose, která prochází středem hmoty (CM) uvedeného objektu, pak je uspokojeno, že:

Nebo v zápisu na následujícím obrázku: I _{z '} = I _z + Md ²

Obrázek 8. Steinerova věta nebo rovnoběžné osy. Zdroj: Wikimedia Commons. Jack See

Věta o kolmých osách

Tato věta je aplikována na rovinné povrchy a vypadá takto: moment setrvačnosti rovinného objektu kolem osy kolmé k němu je součtem momentů setrvačnosti kolem dvou os kolmých na první osu:

Obrázek 9. Věta o kolmých osách. Zdroj: F. Zapata.

Pokud má objekt symetrii tak, že I _x a I _y jsou si rovny, pak platí, že:

Cvičení vyřešeno

Najděte moment setrvačnosti tyče vzhledem k ose, která prochází jedním z jejích konců, jak je znázorněno na obrázku 1 (dole a napravo) a obrázku 10.

Obrázek 10. Moment setrvačnosti homogenní tyče kolem osy, která prochází jedním koncem. Zdroj: F. Zapata.

Řešení:

Už máme moment setrvačnosti tyče kolem osy, která prochází jejím geometrickým středem. Protože tyč je homogenní, její těžiště je v tomto bodě, takže toto bude naše I _CM, abychom použili Steinerovu teorém.

Pokud je délka tyče L, osa z je ve vzdálenosti D = L / 2, proto:

Reference

1. Bauer, W. 2011. Fyzika pro strojírenství a vědy. Svazek 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Základy fyziky. Pearson. 190-200.
3. Paralelní osa věta. Obnoveno z: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Fyzika pro vědu a techniku. Svazek 1. Cengage.
5. Sevilla University. Sférický moment setrvačnosti pevných látek. Obnoveno z: laplace.us.es.
6. Sevilla University. Moment setrvačnosti částicového systému. Obnoveno z: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Věta o paralelní ose. Obnoveno z: en.wikipedia.org