TECHNIKY POČÍTÁNÍ: TECHNIKY, APLIKACE, PŘÍKLADY, CVIČENÍ - DUDAS - 2025

K počítání techniky je řada metod pravděpodobnosti spočítat počet možných opatření v rámci souboru nebo několik sad objektů. Používají se při ručním provádění účtů z důvodu velkého počtu objektů a / nebo proměnných.

Například řešení tohoto problému je velmi jednoduché: představte si, že váš šéf žádá, abyste počítali nejnovější produkty, které dorazily za poslední hodinu. V tomto případě můžete jít a spočítat produkty jeden po druhém.

Představte si však, že problém je tento: váš šéf vás požádá, abyste spočítali, kolik skupin 5 produktů stejného typu lze vytvořit s těmi, které dorazily za poslední hodinu. V tomto případě je výpočet komplikovaný. Pro tento typ situace se používají tzv. Techniky počítání.

Tyto techniky jsou různé, ale nejdůležitější jsou rozděleny do dvou základních principů, kterými jsou multiplikativní a aditivní; permutace a kombinace.

Multiplikativní princip

Aplikace

Multiplikační princip spolu s aditivem je základem pro pochopení fungování technik počítání. V případě multiplikátoru se skládá z následujícího:

Představme si aktivitu, která zahrnuje určitý počet kroků (součet označíme jako „r“), kde první krok lze provést způsoby N1, druhý krok v N2 a krok „r“ v Nr způsobem. V tomto případě lze aktivitu provést z počtu tvarů vyplývajících z této operace: N1 x N2 x ……….x Nr tvarů

Proto se tento princip nazývá multiplikativní a znamená to, že každý z kroků, které jsou potřebné k provedení činnosti, musí být prováděn jeden po druhém.

Příklad

Představme si člověka, který chce vybudovat školu. Chcete-li to provést, zvažte, že základna budovy může být postavena dvěma různými způsoby, cementem nebo betonem. Pokud jde o stěny, mohou být vyrobeny z adobe, cementu nebo cihel.

Pokud jde o střechu, může být vyrobena z cementu nebo z pozinkovaného plechu. Konečný obraz lze konečně provést pouze jedním způsobem. Vyvstává následující otázka: Kolik způsobů, jak musí školu postavit?

Nejprve vezmeme v úvahu počet kroků, které by byly základna, stěny, střecha a barva. Celkem 4 kroky, takže r = 4.

Seznam N by byl následující:

N1 = způsoby, jak postavit základnu = 2

N2 = způsoby, jak postavit zdi = 3

N3 = způsoby výroby střechy = 2

N4 = způsoby malování = 1

Proto by se počet možných tvarů vypočítal pomocí výše uvedeného vzorce:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 způsobů školní docházky.

Aditivní princip

Aplikace

Tato zásada je velmi jednoduchá a spočívá ve skutečnosti, že v případě, že má několik alternativ k provedení stejné činnosti, možné způsoby spočívají v součtu různých možných způsobů provedení všech alternativ.

Jinými slovy, chceme-li provádět činnost se třemi alternativami, kde první alternativa může být provedena M způsoby, druhá N způsoby a poslední W způsoby, činnost může být provedena: M + N + ……… + Tvary W.

Příklad

Představme si tentokrát osobu, která si chce koupit tenisovou raketu. K tomu máte na výběr tři značky: Wilson, Babolat nebo Head.

Když jdete do obchodu, uvidíte, že raketu Wilson lze zakoupit s rukojetí ve dvou různých velikostech, L2 nebo L3 ve čtyřech různých modelech, a může být navlečená nebo rozpletená.

Raketa Babolat má naproti tomu tři úchyty (L1, L2 a L3), existují dva různé modely a může být také navlečená nebo rozpletená.

Raketa Head je k dispozici pouze s jednou rukojetí, L2, ve dvou různých modelech a pouze rozepnutou. Otázka zní: Kolik způsobů musí tato osoba koupit svou raketu?

M = Počet způsobů výběru rakety Wilson

N = Počet způsobů výběru rakety Babolat

W = Počet způsobů výběru rakety Head

Provádíme princip multiplikátoru:

M = 2 x 4 x 2 = 16 tvarů

N = 3 x 2 x 2 = 12 způsobů

W = 1 x 2 x 1 = 2 způsoby

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 způsobů výběru rakety.

Chcete-li vědět, kdy použít multiplikativní princip a aditivum, stačí se podívat na to, zda má aktivita řadu kroků, a pokud existuje několik alternativ, aditivum.

Permutace

Aplikace

Abychom pochopili, co to je permutace, je důležité vysvětlit, co je kombinace, abyste je mohli odlišit a vědět, kdy je použít.

Kombinace by byla uspořádáním prvků, ve kterých nás nezajímá pozice, kterou zaujímá každý z nich.

Permutace by na druhé straně byla uspořádáním prvků, o které se zajímáme v postavení, které zaujímá každý z nich.

Řekněme příklad, abychom lépe porozuměli rozdílu.

Příklad

Představme si třídu s 35 studenty a následující situace:

1. Učitel chce, aby mu tři jeho studenti pomohli udržet čistotu ve třídě nebo v případě potřeby rozdali ostatním studentům materiály.
2. Učitel chce jmenovat třídní delegáty (prezident, asistent a finančník).

Řešením by bylo toto:

1. Představme si, že hlasováním jsou Juan, María a Lucía vybráni, aby vyčistili třídu nebo dodali materiály. Je zřejmé, že mezi 35 možných studentů mohly být vytvořeny další tři skupiny.

Musíme si položit následující otázku: Je pořadí nebo postavení každého studenta důležité při jejich výběru?

Pokud o tom přemýšlíme, vidíme, že to opravdu není důležité, protože skupina bude mít na starosti oba úkoly stejně. V tomto případě jde o kombinaci, protože nás nezajímá poloha prvků.

1. Nyní si představme, že Juan je zvolen prezidentem, Maria jako asistentka a Lucia jako finančník.

V takovém případě by na objednávce záleželo? Odpověď zní ano, protože pokud změníme prvky, výsledek se změní. To znamená, že pokud místo prezidenta uvedeme Juana jako prezidenta, uvedeme ho jako asistenta a María jako prezidenta, konečný výsledek se změní. V tomto případě se jedná o permutaci.

Jakmile je rozdíl pochopen, získáme vzorce pro permutace a kombinace. Nejprve však musíme definovat pojem „n!“ (ene factorial), protože bude použit v různých vzorcích.

n! = produkt od 1 do n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……….. xn

Použití s ​​reálnými čísly:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3 628 800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

Vzorec pro permutace bude následující:

nPr = n! / (nr)!

S ním můžeme zjistit uspořádání, kde je pořadí důležité a kde prvky n jsou různé.

Kombinace

Aplikace

Jak jsme již dříve komentovali, kombinace jsou uspořádání, kde nám nezáleží na poloze prvků.

Jeho vzorec je následující:

nCr = n! / (nr)! r!

Příklad

Pokud existuje 14 studentů, kteří se chtějí dobrovolně uklidit ve třídě, kolik čistících skupin může být vytvořeno, pokud každá skupina musí být 5 lidí?

Řešením by tedy bylo toto:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 skupin

Řešená cvičení

Cvičení 1

Zdroj: Pixabay.com

Matka požádala Natálii, aby šla do obchodu s potravinami a koupila jí limonádu, aby se ochladila. Když Natalia požádá úředníka o drink, řekne jí, že existují čtyři příchutě nealkoholických nápojů, tři typy a tři velikosti.

Chuť nealkoholických nápojů může být: cola, citron, pomeranč a máta.

Druhy coly mohou být: normální, bez cukru, bez kofeinu.

Velikosti mohou být: malé, střední a velké.

Matka Natálie neuvedla, jaký druh nealkoholického nápoje chtěla. Kolik způsobů musí Natalia koupit nápoj?

Řešení

M = velikost a číslo typu, které můžete vybrat při výběru coly.

N = Počet velikostí a typů, které můžete vybrat při výběru citronové sody.

W = velikost a číslo typu, které můžete vybrat při výběru pomerančové sody.

Y = velikost a číslo typu, které můžete vybrat při výběru sody máty.

Provádíme princip multiplikátoru:

M = 3 × 3 = 9 způsobů

N = 3 × 3 = 9 způsobů

W = 3 × 3 = 9 způsobů

Y = 3 × 3 = 9 způsobů

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 způsobů výběru sodovky.

Cvičení 2

Zdroj: pixabay.com

Sportovní klub inzeruje semináře pro děti, které se mohou zdarma učit bruslit. Je zapsáno 20 dětí, takže se rozhodnou rozdělit je na dvě skupiny po deseti lidech, aby mohli instruktoři vyučovat třídy pohodlněji.

Na druhé straně se rozhodnou nakreslit, do které skupiny každé dítě spadne. Kolik různých skupin by mohlo dítě vstoupit?

Řešení

V tomto případě je způsob, jak najít odpověď, pomocí kombinované techniky, jejíž vzorec byl: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (počet dětí)

r = 10 (velikost skupiny)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10! / 10! 10! = 184 756 skupin.

Reference

1. Jeffrey, RC, pravděpodobnost a umění soudu, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, „Úvod do teorie pravděpodobnosti a jeho aplikací“, (sv. 1), 3. vydání, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Logické základy a měření subjektivní pravděpodobnosti". Acta Psychologica.
4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Úvod do matematické statistiky (6. vydání). Upper Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) Science of Conjecture: Evidence and Probability before Pascal, Johns Hopkins University Press.