VĚTA O EXISTENCI A JEDINEČNOSTI: DŮKAZ, PŘÍKLADY A CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2024

Existence a jednoznačnost věta zavádí nezbytné a dostatečné podmínky pro diferenciální rovnice prvního řádu s danou počáteční podmínky, aby řešení a pro toto řešení, že je pouze jeden.

Věta však nedává žádnou techniku ​​ani indikaci, jak najít takové řešení. Věta o existenci a jedinečnosti je také rozšířena na diferenciální rovnice vyššího řádu s počátečními podmínkami, které jsou známé jako Cauchyův problém.

Obrázek 1. Je ukázána diferenciální rovnice s počátečním stavem a jejím řešením. Věta o existenci a jedinečnosti zaručuje, že je to jediné možné řešení.

Formální vyjádření věty o existenci a jedinečnosti je následující:

„Pro diferenciální rovnici y '(x) = f (x, y) s počáteční podmínkou y (a) = b existuje alespoň jedno řešení v pravoúhlé oblasti roviny XY, která obsahuje bod (a, b), pokud f (x, y) je v této oblasti spojité. A pokud je částečná derivace f vzhledem k y: g = ∂f / ∂y spojitá v téže pravoúhlé oblasti, pak je řešení jedinečné v sousedství bodu (a, b) obsaženého v oblasti kontinuity fy G. "

Užitečnost této věty spočívá nejprve v poznání, které jsou oblasti roviny XY, ve kterých může řešení existovat, a také v tom, zda je nalezené řešení jediné možné, nebo jsou-li jiné.

Všimněte si, že v případě, že podmínka jedinečnosti není splněna, věta nemůže předpovědět, kolik řešení celkem Cauchyův problém má: možná je to jedno, dvě nebo více.

Důkaz o existenci a věty o jedinečnosti

Obrázek 2. Charles Émile Picard (1856-1941) je označen jedním z prvních důkazů věty o existenci a jedinečnosti. Zdroj: Wikimedia Commons.

Pro tuto teorém jsou známy dva možné důkazy, jeden z nich je důkaz Karla Émile Picarda (1856-1941) a druhý je díky Giuseppe Peanovi (1858-1932) na základě děl Augustina Louise Cauchyho (1789-1857)..

Je pozoruhodné, že nejoslnivější matematické mysli devatenáctého století se účastnily dokazování této věty, takže lze intuitivně říci, že ani jedno z nich není jednoduché.

K formálnímu prokázání věty je nutné nejprve vytvořit řadu pokročilejších matematických konceptů, jako jsou Lipschitzovy funkce typu, Banachovy prostory, Carathéodoryova věta o existenci a několik dalších, které jsou mimo rozsah článku.

Velká část diferenciálních rovnic, které se zabývají fyzikou, se zabývá souvislými funkcemi v zájmových oblastech, proto se omezíme na to, jak se věta aplikuje v jednoduchých rovnicích.

Příklady

- Příklad 1

Uvažujme následující diferenciální rovnici s počáteční podmínkou:

y '(x) = - y; s y (1) = 3

Existuje řešení tohoto problému? Je to jediné možné řešení?

Odpovědi

Nejprve je vyhodnocena existence řešení diferenciální rovnice a splňuje také počáteční podmínku.

V tomto příkladu f (x, y) = - a podmínka existence vyžaduje vědět, zda f (x, y) je spojité v oblasti roviny XY, která obsahuje bod souřadnic x = 1, y = 3.

Ale f (x, y) = - y je afinní funkce, která je spojitá v oblasti reálných čísel a existuje v celém rozsahu reálných čísel.

Proto se dospělo k závěru, že f (x, y) je spojitá v R ², takže teorém zaručuje existenci alespoň jedním roztokem.

S vědomím toho je nutné posoudit, zda je řešení jedinečné, nebo naopak, existuje-li více než jedno. K tomu je nutné vypočítat částečný derivát f s ohledem na proměnnou y:

Pak g (x, y) = -1, který je konstantní funkce, která je rovněž definována pro všechny R ² a je také spojitá tam. Z toho vyplývá, že věta o existenci a jedinečnosti zaručuje, že tento problém počáteční hodnoty má jedinečné řešení, i když nám to neříká, o co jde.

- Příklad 2

Zvažte následující obyčejnou diferenciální rovnici prvního řádu s počáteční podmínkou:

y '(x) = 2√y; a (0) = 0.

Existuje řešení tohoto problému (y)? Pokud ano, zjistěte, zda existuje jeden nebo více než jeden.

Odpověď

Uvažujeme funkci f (x, y) = 2 considery. Funkce f je definována pouze pro y≥0, protože víme, že zápornému číslu chybí skutečný kořen. Dále f (x, y) je spojitá v horní polorovině R ² je v ose X, tak na existenci a jedinečnost věta zaručuje alespoň jedno řešení v uvedené oblasti.

Nyní je počáteční podmínka x = 0, y = 0 na okraji oblasti řešení. Pak vezmeme parciální derivaci f (x, y) s ohledem na y:

∂f / ∂y = 1 / √y

V tomto případě funkce není definována pro y = 0, přesně tam, kde je počáteční podmínka.

Co nám věta říká? Říká nám, že ačkoli víme, že v horní polovině roviny osy X včetně osy X existuje alespoň jedno řešení, protože podmínka jedinečnosti není splněna, neexistuje žádná záruka, že bude existovat jedinečné řešení.

To znamená, že v oblasti kontinuity f (x, y) by mohlo existovat jedno nebo více řešení. A jako vždy, věta nám neříká, čím by mohla být.

Řešená cvičení

- Cvičení 1

Vyřešte Cauchyho problém v příkladu 1:

y '(x) = - y; s y (1) = 3.

Najděte funkci y (x), která vyhovuje diferenciální rovnici a počáteční podmínce.

Řešení

V příkladu 1 bylo zjištěno, že tento problém má řešení a je také jedinečný. K nalezení řešení je třeba nejprve poznamenat, že se jedná o diferenciální rovnici prvního stupně oddělitelných proměnných, která je psána následovně:

Rozdělení mezi oběma členy a mezi nimi, aby se oddělily proměnné, které máme:

Neurčitý integrál se používá u obou členů:

Řešení neurčitých integrálů máme:

kde C je konstanta integrace, která je určena počáteční podmínkou:

Nahrazení hodnoty C a přeskupení zůstává:

Použití následující vlastnosti logaritmů:

Výše uvedený výraz lze přepsat takto:

Exponenciální funkce se základnou e v obou členech se používá k získání:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

Což odpovídá:

y = 3e e ^-x

Toto je jedinečné řešení rovnice y '= -y s y (1) = 3. Graf tohoto řešení je znázorněn na obrázku 1.

- Cvičení 2

Najděte dvě řešení problému uvedeného v příkladu 2:

y '(x) = 2√ (y); a (0) = 0.

Řešení

Je to také rovnice oddělitelných proměnných, která, psaná v diferenciální podobě, vypadá takto:

dy / √ (y) = 2 dx

Vezmeme-li neurčitý integrál v obou členech, zůstává:

2 √ (y) = 2 x + C

Protože víme, že y≥0 v oblasti řešení máme:

y = (x + C) ²

Ale protože počáteční podmínka x = 0, y = 0 musí být splněna, pak konstanta C je nula a následující řešení zůstává:

y (x) = x ².

Toto řešení však není jedinečné, funkce y (x) = 0 je také řešením problému. Věta o existenci a jedinečnosti použitá na tento problém v příkladu 2 již předpověděla, že existuje více než jedno řešení.

Reference

1. Coddington, hraběte A; Levinson, Norman (1955), Teorie obyčejných diferenciálních rovnic, New York: McGraw-Hill.
2. Encyklopedie matematiky. Cauchy-Lipschitzova věta. Obnoveno z: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des aproximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 116, 1894, str. 454–457. Obnoveno z: gallica.bnf.fr.
4. Wikipedia. Picardova metoda postupných přiblížení. Obnoveno z: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Věta o Picardovi-Lindelöfovi. Obnoveno z: es.wikipedia.com.
6. Zill, D. 1986. Elementární diferenciální rovnice s aplikacemi Prentice Hall.